Die Gleichung, in der das charakteristische Polynom gleich null gesetzt wird, wird manchmal Säkulargleichung genannt. Ihre Lösungen sind die Eigenwerte der Matrix bzw. der linearen Abbildung. Eine Matrix, in ihr charakteristisches Polynom eingesetzt, ergibt die Nullabbildung (Satz von Cayley-Hamilton).
DefinitionBearbeiten
Das charakteristische Polynom einer quadratischen -Matrix mit Einträgen aus einem Körper wird definiert durch:
Hierbei bezeichnet die -dimensionale Einheitsmatrix und die Determinante. Die Matrix wird auch als charakteristische Matrix von bezeichnet.
Die Definition des charakteristischen Polynoms als ist ebenfalls gebräuchlich. Für ungerades unterscheidet sie sich durch den Faktor von der obigen Definition, das heißt, das Polynom ist dann nicht mehr normiert.
wobei eine Darstellungsmatrix des Endomorphismus bzgl. einer Basis ist. Das charakteristische Polynom von hängt nicht von der gewählten Basis ab.
Das charakteristische Polynom ist ein normiertes Polynom-ten Grades aus dem Polynomring. Die Notation für das charakteristische Polynom ist sehr uneinheitlich, andere Varianten sind beispielsweise oder bei Bourbaki.
Zusammenhang mit EigenwertenBearbeiten
Das charakteristische Polynom spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix, denn die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Auch wenn man zum expliziten Berechnen des charakteristischen Polynoms immer eine Basis und damit eine Darstellungsmatrix auswählt, hängen das Polynom wie auch die Determinante nicht von dieser Wahl ab.
Um zu zeigen, dass die Eigenwerte gerade die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, geht man folgendermaßen vor:
Es sei und eine -Matrix über . Dann gelten die folgenden Äquivalenzen:
Es gibt ein mit .
Es gibt ein mit .
Der Kern von besteht nicht nur aus dem Nullvektor, d. h.
Die durch induzierte lineare Abbildung ist nicht injektiv
ist nicht invertierbar.
ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms von .
Numerisches BeispielBearbeiten
Gesucht ist das charakteristische Polynom der Matrix
Gemäß der obigen Definition rechnet man wie folgt:
Damit sind 1, −1 und 4 die Nullstellen des charakteristischen Polynoms und somit auch die Eigenwerte der Matrix . Da jede Nullstelle die Multiplizität 1 hat, ist in diesem Beispiel das charakteristische Polynom zugleich das Minimalpolynom.
Formeln für die KoeffizientenBearbeiten
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms zu charakterisieren. In den folgenden Darstellungen ist die sogenannte Spur einer quadratischen Matrix
Charakterisierung der Koeffizienten als Lösung eines linearen GleichungssystemsBearbeiten
Die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms kann man durch Lösen des folgenden linearen Gleichungssystem ermitteln.
Da die Koeffizienten-Matrix eine linke untere Dreiecksmatrix ist, kann das lineare Gleichungssystem sukzessive durch Vorwärtseinsetzen gelöst werden und es lässt sich folgende allgemeine Formel für die angeben:
Darstellung der Koeffizienten durch DeterminantenBearbeiten
Man kann nun entweder durch Anwenden der Cramerschen Regel auf das obige LGS oder -- völlig unabhängig davon -- mit Hilfe der Plemelj-Smithies-Formeln folgende Darstellung gewinnen:
Darstellung der Koeffizienten mit Hilfe von Bell-PolynomenBearbeiten
Das Minimalpolynom einer linearen Abbildung teilt deren charakteristisches Polynom.
Ist eine -Matrix und eine -Matrix so gilt .
sowie der Regel
folgt
LiteraturBearbeiten
Oliver Deiser, Caroline Lasser: Erste Hilfe in Linearer Algebra: Überblick und Grundwissen mit vielen Abbildungen und Beispielen. Springer, 2015, ISBN 978-3-642-41627-9, S. 204 ff
WeblinksBearbeiten
Wikiversity: Einführung zum charakteristischen Polynom auf Wikiversity – Kursmaterialien
Das charakteristische Polynom CP ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra Dieses Polynom das fur quadratische Matrizen und Endomorphismen endlichdimensionaler Vektorraume definiert ist gibt Auskunft uber einige Eigenschaften der Matrix bzw der linearen Abbildung Die Gleichung in der das charakteristische Polynom gleich null gesetzt wird wird manchmal Sakulargleichung genannt Ihre Losungen sind die Eigenwerte der Matrix bzw der linearen Abbildung Eine Matrix in ihr charakteristisches Polynom eingesetzt ergibt die Nullabbildung Satz von Cayley Hamilton Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Zusammenhang mit Eigenwerten 3 Numerisches Beispiel 4 Formeln fur die Koeffizienten 4 1 Charakterisierung der Koeffizienten als Losung eines linearen Gleichungssystems 4 2 Darstellung der Koeffizienten durch Determinanten 4 3 Darstellung der Koeffizienten mit Hilfe von Bell Polynomen 4 4 Beispiele 4 5 Spezialfalle 5 Algorithmen zur Ermittlung der Koeffizienten 6 Eigenschaften 7 Literatur 8 WeblinksDefinition BearbeitenDas charakteristische Polynom xA displaystyle chi A nbsp einer quadratischen n n displaystyle n times n nbsp Matrix A displaystyle A nbsp mit Eintragen aus einem Korper K displaystyle mathbb K nbsp wird definiert durch xA l det lEn A displaystyle chi A lambda det lambda E n A nbsp Hierbei bezeichnet En displaystyle E n nbsp die n displaystyle n nbsp dimensionale Einheitsmatrix und det displaystyle det nbsp die Determinante Die Matrix lEn A displaystyle lambda E n A nbsp wird auch als charakteristische Matrix von A displaystyle A nbsp bezeichnet Die Definition des charakteristischen Polynoms als det A lEn displaystyle det A lambda E n nbsp ist ebenfalls gebrauchlich Fur ungerades n displaystyle n nbsp unterscheidet sie sich durch den Faktor 1 displaystyle 1 nbsp von der obigen Definition das heisst das Polynom ist dann nicht mehr normiert Ist V displaystyle V nbsp ein n displaystyle n nbsp dimensionaler K displaystyle mathbb K nbsp Vektorraum und f V V displaystyle varphi colon V to V nbsp ein Endomorphismus dann ist das charakteristische Polynom xf displaystyle chi varphi nbsp gegeben durch xf l det l idV f xA l displaystyle chi varphi lambda det lambda cdot mathrm id V varphi chi A lambda nbsp wobei A displaystyle A nbsp eine Darstellungsmatrix des Endomorphismus f displaystyle varphi nbsp bzgl einer Basis ist Das charakteristische Polynom von f displaystyle varphi nbsp hangt nicht von der gewahlten Basis ab Das charakteristische Polynom ist ein normiertes Polynom n displaystyle n nbsp ten Grades aus dem Polynomring K l displaystyle mathbb K lambda nbsp Die Notation fur das charakteristische Polynom ist sehr uneinheitlich andere Varianten sind beispielsweise CPA l displaystyle operatorname CP A lambda nbsp oder bei Bourbaki PcA l displaystyle operatorname Pc A lambda nbsp Zusammenhang mit Eigenwerten BearbeitenDas charakteristische Polynom spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix denn die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms Auch wenn man zum expliziten Berechnen des charakteristischen Polynoms immer eine Basis und damit eine Darstellungsmatrix auswahlt hangen das Polynom wie auch die Determinante nicht von dieser Wahl ab Um zu zeigen dass die Eigenwerte gerade die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind geht man folgendermassen vor Es sei l K displaystyle lambda in mathbb K nbsp und A displaystyle A nbsp eine n n displaystyle n times n nbsp Matrix uber K displaystyle mathbb K nbsp Dann gelten die folgenden Aquivalenzen l displaystyle lambda nbsp ist ein Eigenwert von A displaystyle A nbsp dd displaystyle Leftrightarrow nbsp Es gibt ein x Kn x 0 displaystyle x in mathbb K n x neq 0 nbsp mit Ax lx displaystyle Ax lambda x nbsp displaystyle Leftrightarrow nbsp Es gibt ein x Kn x 0 displaystyle x in mathbb K n x neq 0 nbsp mit lE A x 0 displaystyle lambda E A x 0 nbsp displaystyle Leftrightarrow nbsp Der Kern von lE A displaystyle lambda E A nbsp besteht nicht nur aus dem Nullvektor d h ker lE A 0 displaystyle mathrm ker lambda E A neq 0 nbsp displaystyle Leftrightarrow nbsp Die durch lE A displaystyle lambda E A nbsp induzierte lineare Abbildung ist nicht injektiv lE A displaystyle Leftrightarrow lambda E A nbsp ist nicht invertierbar det lE A 0 displaystyle Leftrightarrow det lambda E A 0 nbsp displaystyle Leftrightarrow nbsp l displaystyle lambda nbsp ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms von A displaystyle A nbsp Numerisches Beispiel BearbeitenGesucht ist das charakteristische Polynom der Matrix A 101221421 displaystyle A begin pmatrix 1 amp 0 amp 1 2 amp 2 amp 1 4 amp 2 amp 1 end pmatrix nbsp Gemass der obigen Definition rechnet man wie folgt xA l det lE A det l 10 1 2l 2 1 4 2l 1 l3 4l2 l 4 l 1 l 1 l 4 displaystyle begin aligned chi A lambda amp det lambda E A amp det begin pmatrix lambda 1 amp 0 amp 1 2 amp lambda 2 amp 1 4 amp 2 amp lambda 1 end pmatrix amp lambda 3 4 lambda 2 lambda 4 amp lambda 1 lambda 1 lambda 4 end aligned nbsp Damit sind 1 1 und 4 die Nullstellen des charakteristischen Polynoms xA l displaystyle chi A lambda nbsp und somit auch die Eigenwerte der Matrix A displaystyle A nbsp Da jede Nullstelle die Multiplizitat 1 hat ist in diesem Beispiel das charakteristische Polynom zugleich das Minimalpolynom Formeln fur die Koeffizienten BearbeitenEs gibt verschiedene Moglichkeiten die Koeffizienten cn k displaystyle c n k nbsp des charakteristischen Polynoms xA l displaystyle chi A lambda nbsp zu charakterisieren In den folgenden Darstellungen ist tr A i 1naii displaystyle textstyle mathrm tr A sum i 1 n a ii nbsp die sogenannte Spur einer quadratischen Matrix A Rn n displaystyle A in R n times n nbsp Charakterisierung der Koeffizienten als Losung eines linearen Gleichungssystems Bearbeiten Die Koeffizienten cn k displaystyle c n k nbsp des charakteristischen Polynoms kann man durch Losen des folgenden linearen Gleichungssystem ermitteln 100 0tr A20 tr A2tr A3 0 tr An 1tr An 2 tr An cn 1cn 2cn 3 c0 tr A tr A2 tr A3 tr An displaystyle left begin matrix 1 amp 0 amp 0 amp cdots amp 0 operatorname tr A amp 2 amp 0 amp ddots amp vdots operatorname tr A 2 amp operatorname tr A amp 3 amp ddots amp 0 vdots amp vdots amp ddots amp ddots amp vdots operatorname tr A n 1 amp operatorname tr A n 2 amp cdots amp operatorname tr A amp n end matrix right left begin matrix c n 1 0 21cm c n 2 0 21cm c n 3 0 21cm vdots c 0 end matrix right left begin matrix operatorname tr A 0 21cm operatorname tr A 2 0 21cm operatorname tr A 3 0 21cm vdots operatorname tr A n end matrix right nbsp Dies lasst sich damit begrunden dass das System eine kompakte aquivalente Formulierung des Algorithmus von Faddejew Leverrier ist Da die Koeffizienten Matrix eine linke untere Dreiecksmatrix ist kann das lineare Gleichungssystem sukzessive durch Vorwartseinsetzen gelost werden und es lasst sich folgende allgemeine Formel fur die cn k displaystyle c n k nbsp angeben cn k 1k tr Ak i 1k 1tr Ai cn k i 1k i 1ktr Ai cn k i displaystyle begin aligned c n k amp frac 1 k left operatorname tr A k sum i 1 k 1 operatorname tr A i cdot c n k i right amp frac 1 k sum i 1 k operatorname tr A i cdot c n k i end aligned nbsp Darstellung der Koeffizienten durch Determinanten Bearbeiten Man kann nun entweder durch Anwenden der Cramerschen Regel auf das obige LGS oder vollig unabhangig davon mit Hilfe der Plemelj Smithies Formeln folgende Darstellung gewinnen cn k 1 kk tr Ak 10 0tr A2tr Ak 2 0tr Ak 1tr Ak 2 tr A1tr Aktr Ak 1 tr A2tr A displaystyle c n k frac 1 k k begin vmatrix operatorname tr A amp k 1 amp 0 amp cdots amp 0 operatorname tr A 2 amp operatorname tr A amp k 2 amp ddots amp vdots vdots amp vdots amp ddots amp ddots amp 0 operatorname tr A k 1 amp operatorname tr A k 2 amp cdots amp operatorname tr A amp 1 operatorname tr A k amp operatorname tr A k 1 amp cdots amp operatorname tr A 2 amp operatorname tr A end vmatrix nbsp Darstellung der Koeffizienten mit Hilfe von Bell Polynomen Bearbeiten Ebenfalls aus den Plemelj Smithies Formeln folgt folgende aquivalente Darstellung mit vollstandigen Bell Polynomen cn k 1 kk Bk 0 tr A 1 tr A2 2 tr A3 1 k 1 k 1 tr Ak displaystyle c n k frac 1 k k mathcal B k Bigl 0 operatorname tr A 1 operatorname tr A 2 2 operatorname tr A 3 ldots 1 k 1 k 1 operatorname tr A k Bigr nbsp Beispiele Bearbeiten 1 Beispiel n 1 displaystyle n 1 nbsp Es ist B0 1 displaystyle mathcal B 0 1 nbsp und B1 x1 x1 displaystyle mathcal B 1 x 1 x 1 nbsp Daraus folgt c1 c1 0 1 00 B0 1 displaystyle c 1 c 1 0 frac 1 0 0 mathcal B 0 1 nbsp c0 c1 1 1 11 B1 0 tr A tr A displaystyle c 0 c 1 1 frac 1 1 1 mathcal B 1 left 0 operatorname tr A right operatorname tr A nbsp xA l l tr A displaystyle chi A lambda lambda operatorname tr A nbsp 2 Beispiel n 2 displaystyle n 2 nbsp Es ist B0 1 displaystyle mathcal B 0 1 nbsp B1 x1 x1 displaystyle mathcal B 1 x 1 x 1 nbsp und B2 x1 x2 x12 x2 displaystyle mathcal B 2 x 1 x 2 x 1 2 x 2 nbsp Daraus folgt c2 c2 0 1 00 B0 1 displaystyle c 2 c 2 0 frac 1 0 0 mathcal B 0 1 nbsp c1 c2 1 1 11 B1 0 tr A tr A displaystyle c 1 c 2 1 frac 1 1 1 mathcal B 1 left 0 operatorname tr A right operatorname tr A nbsp c0 c2 2 1 22 B2 0 tr A 1 tr A2 12 tr A 2 tr A2 displaystyle c 0 c 2 2 frac 1 2 2 mathcal B 2 left 0 operatorname tr A 1 operatorname tr A 2 right frac 1 2 left operatorname tr A 2 operatorname tr A 2 right nbsp xA l l2 tr Al 12 tr A 2 tr A2 displaystyle chi A lambda lambda 2 operatorname tr A lambda frac 1 2 left operatorname tr A 2 operatorname tr A 2 right nbsp 3 Beispiel n 3 displaystyle n 3 nbsp Es ist B0 1 displaystyle mathcal B 0 1 nbsp B1 x1 x1 displaystyle mathcal B 1 x 1 x 1 nbsp B2 x1 x2 x12 x2 displaystyle mathcal B 2 x 1 x 2 x 1 2 x 2 nbsp und B3 x1 x2 x3 x13 3x1x2 x3 displaystyle mathcal B 3 x 1 x 2 x 3 x 1 3 3x 1 x 2 x 3 nbsp Daraus folgt c3 c3 0 1 00 B0 1 displaystyle c 3 c 3 0 frac 1 0 0 mathcal B 0 1 nbsp c2 c3 1 1 11 B1 0 tr A tr A displaystyle c 2 c 3 1 frac 1 1 1 mathcal B 1 left 0 operatorname tr A right operatorname tr A nbsp c1 c3 2 1 22 B2 0 tr A 1 tr A2 12 tr A 2 tr A2 displaystyle c 1 c 3 2 frac 1 2 2 mathcal B 2 left 0 operatorname tr A 1 operatorname tr A 2 right frac 1 2 left operatorname tr A 2 operatorname tr A 2 right nbsp c0 c3 3 1 33 B3 0 tr A 1 tr A2 2 tr A3 16 tr A 3 3tr Atr A2 2tr A3 displaystyle c 0 c 3 3 frac 1 3 3 mathcal B 3 left 0 operatorname tr A 1 operatorname tr A 2 2 operatorname tr A 3 right frac 1 6 left operatorname tr A 3 3 operatorname tr A operatorname tr A 2 2 operatorname tr A 3 right nbsp xA l l3 tr Al2 12 tr A 2 tr A2 l 16 tr A 3 3tr Atr A2 2tr A3 displaystyle chi A lambda lambda 3 operatorname tr A lambda 2 frac 1 2 left operatorname tr A 2 operatorname tr A 2 right lambda frac 1 6 left operatorname tr A 3 3 operatorname tr A operatorname tr A 2 2 operatorname tr A 3 right nbsp Spezialfalle Bearbeiten Es gelten stets folgende Beziehungen cn 1 displaystyle c n 1 nbsp cn 1 tr A displaystyle c n 1 operatorname tr A nbsp c0 1 ndet A displaystyle c 0 1 n operatorname det A nbsp Algorithmen zur Ermittlung der Koeffizienten BearbeitenMit Hilfe geeigneter Verfahren wie z B dem Algorithmus von Faddejew Leverrier oder dem Algorithmus von Samuelson Berkowitz lassen sich die Koeffizienten von xA l displaystyle chi A lambda nbsp auch automatisiert z B in einem Computerprogramm ermitteln Eigenschaften BearbeitenDie charakteristischen Polynome zweier ahnlicher Matrizen sind gleich Die Umkehrung ist jedoch im Allgemeinen nicht richtig Die Matrix A displaystyle A nbsp und ihre Transponierte besitzen dasselbe charakteristische Polynom Nach dem Satz von Cayley Hamilton ist eine Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms xA A 0 displaystyle chi A left A right 0 nbsp Das Minimalpolynom einer linearen Abbildung teilt deren charakteristisches Polynom Ist A displaystyle A nbsp eine m n displaystyle m times n nbsp Matrix und B displaystyle B nbsp eine n m displaystyle n times m nbsp Matrix so gilt xAB l ln xBA l lm displaystyle chi AB lambda lambda n chi BA lambda lambda m nbsp Beweis Aus den Matrixgleichungen lEm A0En EmABlEn lEm AB0BlEn displaystyle begin pmatrix lambda E m amp A 0 amp E n end pmatrix begin pmatrix E m amp A B amp lambda E n end pmatrix begin pmatrix lambda E m AB amp 0 B amp lambda E n end pmatrix nbsp lEm0 BEn EmABlEn lEmlA0lEn BA displaystyle begin pmatrix lambda E m amp 0 B amp E n end pmatrix begin pmatrix E m amp A B amp lambda E n end pmatrix begin pmatrix lambda E m amp lambda A 0 amp lambda E n BA end pmatrix nbsp sowie der Regel det T0SW det T det W displaystyle det begin pmatrix T amp 0 S amp W end pmatrix det T det W nbsp folgt det lEm AB ln det EmABlEn lm det lEn BA lm displaystyle det lambda E m AB lambda n det begin pmatrix E m amp A B amp lambda E n end pmatrix lambda m det lambda E n BA lambda m nbsp Literatur BearbeitenOliver Deiser Caroline Lasser Erste Hilfe in Linearer Algebra Uberblick und Grundwissen mit vielen Abbildungen und Beispielen Springer 2015 ISBN 978 3 642 41627 9 S 204 ffWeblinks Bearbeiten nbsp Wikiversity Einfuhrung zum charakteristischen Polynom auf Wikiversity Kursmaterialien Online Tool zum Berechnen des Charakteristischen Polynoms Charakteristisches Polynom in einem Online Skript der Uni Gottingen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Charakteristisches Polynom amp oldid 236315099
