www.wikidata.de-de.nina.az

Plemelj Smithies Formeln Die nach Josip Plemelj und Frank Smithies sind Theoreme aus der Funktionalanalysis über die Dar

Plemelj-Smithies-Formeln

Die Plemelj-Smithies-Formeln (nach Josip Plemelj und Frank Smithies) sind Theoreme aus der Funktionalanalysis über die Darstellung von Operatordeterminanten wie der Fredholm-Determinante für Spurklasse-Operatoren und für den Spezialfall beschränkter linearer Operatoren mit endlichem Rang auf einem Banachraum . Die Theoreme geben eine explizite Formel zur Berechnung der Koeffizienten der Taylorentwicklung von an.

Aussage Bearbeiten

Sei ein Operator der Spurklasse und , dann ist die Determinante eine ganze Funktion und es gilt

wobei sich die Koeffizienten der Taylorentwicklung mit Hilfe von Determinanten

ausdrücken lassen.

Außerdem gilt für und hinreichend klein die folgende Formel:

Beweis-Skizze Bearbeiten

Die Idee besteht darin, den Beweis zunächst für den oben erwähnten Spezialfall von beschränkten Operatoren mit endlichem Rang durchzuführen und dann den Gültigkeitsbereich durch einen geeigneten Grenzübergang auf fortzusetzen.

Lemma zur Verkettung der Exponentialfunktion mit einer speziellen analytischen Potenzreihe Bearbeiten

Als Vorbereitung benötigen wir noch folgendes Lemma (siehe Gohberg et al. und Reed / Simon):

Seien und Funktionen, die in einer Umgebung von holomorph sind mit folgenden Taylorentwicklungen:

Sei weiterhin . Dann ist und für gilt folgende Darstellung:

Begründung:

Da in einer Umgebung von 0 die Gleichung gilt, kann man die Cauchy-Produktformel auf das Produkt der Potenzreihen von und anwenden:

Also

Die Aussage des Lemmas zeigt man nun durch Induktion über . Mit der Annahme, dass die Aussage des Lemmas für richtig ist, folgt die Gültigkeit für durch den Laplaceschen Entwicklungssatz, da die Summenformel für gerade der Entwicklung der Determinante für nach der ersten Spalte entspricht.

Beweis für Operatoren mit endlichem Rang Bearbeiten

Mit Hilfe des obigen Lemmas können wir nun den Beweis für Operatoren mit endlichem Rang führen (vgl. Gohberg et al. und Reed / Simon):

Sei ein Operator aus der Algebra der beschränkten linearen Operatoren mit endlichem Rang auf einem Banachraum .

Wenn wir die komplexen Eigenwerte von mit bezeichnen, dann lässt sich die Determinante für folgendermaßen darstellen:

Durch Anwenden des obigen Lemmas auf die gerade hergeleitete Darstellung von folgt unmittelbar die Gültigkeit der Plemlj-Smithies Formeln für Operatoren mit endlichem Rang.

Stetige Fortsetzung auf eingebettete Unteralgebren mit der Approximations-Eigenschaft Bearbeiten

Wir bezeichnen mit

  • die Algebra aller beschränkten linearen Operatoren
  • die Algebra aller beschränkten linearen Operatoren mit endlichem Rang

auf einem komplexen Banachraum

Eine Unteralgebra von heißt stetig eingebettet in , falls es eine Norm auf gibt, so dass

Zusätzlich fordern wir

  • Der Einfachheit halber nennen wir eine Unteralgebra eine eingebettete Unteralgebra, wenn die Norm auf die Bedingungen 1. und 2. erfüllt.
  • Falls zusätzlich dicht in bezüglich der Norm liegt, so sagen wir, dass die Approximationseigenschaft hat.

Man kann zunächst allgemein nachweisen, dass sich unter gewissen Voraussetzungen die Funktion für eingebettete Unteralgebren mit Approximationseigenschaft setig von nach fortsetzen lässt (siehe z. B. Gohberg et al.).

Speziell lässt sich nun zeigen, dass

  • die Menge der Operatoren der Spurklasse eine Unteralgebra von mit der Approximationseigenschaft ist (vgl. Gohberg et al.)
  • sich von stetig nach fortsetzen lässt vgl. Gohberg et al.

Alternative Formulierung der Plemelj-Smithies-Formeln mit Hilfe von Bell-Polynomen Bearbeiten

Ein Spezialfall der Formel von Faà di Bruno besagt, dass sich die Exponentialfunktion einer formalen Potenzreihe mit Hilfe von vollständigen Bell-Polynomen ausdrücken lässt:

Wenn man dies anstelle des obigen Lemmas auf die Darstellung von anwendet, so erhält man folgende alternative Darstellung für die Taylorkoeffizienten :

Korollar: Charakteristisches Polynom einer endlich-dimensionalen Matrix Bearbeiten

Ein besonders einfaches Beispiel für die Anwendung der Plemlj-Smithies-Formeln sind endlich-dimensionale Matrizen , da man für diese unmittelbar explizite Formeln für die Koeffienten des durch

definierten charakteristischen Polynoms der Matrix ableiten kann:

Da das charakteristische Polynom vom Grad ist, muss sein für , d. h. die Laurentwicklung reduziert sich zu einer endlichen Summe von Termen, die Potenzen von mit nicht-negativen Exponenten haben:

Durch Koeffizientenvergleich erkennt man:

Literatur Bearbeiten

  • Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Springer Basel AG, ISBN 978-3-0348-9551-4, doi:10.1007/978-3-0348-8401-3
  • Michael Reed, Barry Simon : IV: Analysis of Operators, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press INC., ISBN 0-12-585004-2
  • J. Plemelj : Zur Theorie der Fredholmschen Funktionalgleichung, Monat. für Math. und Phys 15, 1904, 93–128 doi:10.1007/BF01692293
  • F. Smithies : Integral Equations, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1965, ISBN 978-0-521-10003-8

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter I, Lemma 7.1
  2. Michael Reed, Barry Simon : IV: Analysis of Operators, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press INC., Chapter XIII.17, Lemma 7
  3. Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter I, Theorem 3.3
  4. Michael Reed, Barry Simon : IV: Analysis of Operators, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press INC., Chapter XIII.17, Lemma 6
  5. Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter II, Theorem 2.1
  6. Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter IV, Theorem 5.1
  7. Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik : Traces and Determinants of Linear Operators, Operator Theory Advances and Applications Vol. 116, Chapter IV, Theorem 5.2 und Vorbemerkungen auf p. 61

siehe auch: Fredholm-Determinante, Approximationseigenschaft, Banachalgebra, Spurklasse

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Plemelj Smithies Formeln nach Josip Plemelj und Frank Smithies sind Theoreme aus der Funktionalanalysis uber die Darstellung von Operatordeterminanten wie der Fredholm Determinante det I l A displaystyle det I lambda A fur Spurklasse Operatoren A S 1 displaystyle A in mathcal S 1 und fur den Spezialfall beschrankter linearer Operatoren mit endlichem Rang F B displaystyle mathcal F mathcal B auf einem Banachraum B displaystyle mathcal B Die Theoreme geben eine explizite Formel zur Berechnung der Koeffizienten der Taylorentwicklung von det I l A displaystyle det I lambda A an Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Beweis Skizze 2 1 Lemma zur Verkettung der Exponentialfunktion mit einer speziellen analytischen Potenzreihe 2 2 Beweis fur Operatoren mit endlichem Rang 2 3 Stetige Fortsetzung auf eingebettete Unteralgebren mit der Approximations Eigenschaft 3 Alternative Formulierung der Plemelj Smithies Formeln mit Hilfe von Bell Polynomen 4 Korollar Charakteristisches Polynom einer endlich dimensionalen Matrix 5 Literatur 6 EinzelnachweiseAussage BearbeitenSei A S 1 displaystyle A in mathcal S 1 nbsp ein Operator der Spurklasse und l C displaystyle lambda in mathbb C nbsp dann ist die Determinante det I l A displaystyle det I lambda A nbsp eine ganze Funktion und es gilt det I l A 1 k 1 C k A l k displaystyle det I lambda A 1 sum k 1 infty C k A lambda k nbsp wobei sich die Koeffizienten C k A displaystyle C k A nbsp der Taylorentwicklung mit Hilfe von Determinanten C k A 1 k tr A k 1 0 0 tr A 2 tr A k 2 0 tr A k 1 tr A k 2 tr A 1 tr A k tr A k 1 tr A 2 tr A displaystyle C k A frac 1 k begin vmatrix operatorname tr A amp k 1 amp 0 amp cdots amp 0 operatorname tr A 2 amp operatorname tr A amp k 2 amp ddots amp vdots vdots amp vdots amp ddots amp ddots amp 0 operatorname tr A k 1 amp operatorname tr A k 2 amp cdots amp operatorname tr A amp 1 operatorname tr A k amp operatorname tr A k 1 amp cdots amp operatorname tr A 2 amp operatorname tr A end vmatrix nbsp ausdrucken lassen Ausserdem gilt fur l lt R displaystyle lambda lt R nbsp und R gt 0 displaystyle R gt 0 nbsp hinreichend klein die folgende Formel det I l A exp k 1 1 k 1 k tr A k l k displaystyle det I lambda A exp left sum k 1 infty frac 1 k 1 k operatorname tr A k lambda k right nbsp Beweis Skizze BearbeitenDie Idee besteht darin den Beweis zunachst fur den oben erwahnten Spezialfall von beschrankten Operatoren mit endlichem Rang durchzufuhren und dann den Gultigkeitsbereich durch einen geeigneten Grenzubergang auf S 1 displaystyle mathcal S 1 nbsp fortzusetzen Lemma zur Verkettung der Exponentialfunktion mit einer speziellen analytischen Potenzreihe Bearbeiten Als Vorbereitung benotigen wir noch folgendes Lemma siehe Gohberg et al 1 und Reed Simon 2 Seien f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp Funktionen die in einer Umgebung von l 0 displaystyle lambda 0 nbsp holomorph sind mit folgenden Taylorentwicklungen f l n 0 a n n l n g l n 1 1 n 1 n b n l n displaystyle f lambda sum n 0 infty frac a n n lambda n qquad g lambda sum n 1 infty frac 1 n 1 n b n lambda n nbsp Sei weiterhin f l exp g l displaystyle f lambda operatorname exp g lambda nbsp Dann ist a 0 1 displaystyle a 0 1 nbsp und fur n 1 displaystyle n geq 1 nbsp gilt folgende Darstellung a n det b 1 n 1 0 0 b 2 b 1 n 2 b n 2 b 1 2 0 b n 1 b n 2 b 1 1 b n b n 1 b n 2 b 1 displaystyle a n operatorname det begin pmatrix b 1 amp n 1 amp 0 amp cdots amp cdots amp 0 b 2 amp b 1 amp n 2 amp ddots amp amp vdots vdots amp vdots amp ddots amp ddots amp ddots amp vdots b n 2 amp cdot amp cdots amp b 1 amp 2 amp 0 b n 1 amp b n 2 amp cdots amp cdots amp b 1 amp 1 b n amp b n 1 amp b n 2 amp cdots amp cdots amp b 1 end pmatrix nbsp Begrundung Da in einer Umgebung von 0 die Gleichung f l g l f l displaystyle f lambda g lambda f lambda nbsp gilt kann man die Cauchy Produktformel auf das Produkt der Potenzreihen von g displaystyle g nbsp und f displaystyle f nbsp anwenden n 1 a n n 1 l n 1 n 1 l n 1 k 1 n 1 k 1 b k a n k n k displaystyle sum limits n 1 infty frac a n n 1 lambda n 1 sum limits n 1 infty lambda n 1 left sum limits k 1 n 1 k 1 b k frac a n k n k right nbsp Also a n k 1 n 1 k 1 b k a n k n 1 n k n 1 2 displaystyle a n sum limits k 1 n 1 k 1 b k a n k frac n 1 n k n 1 2 ldots nbsp Die Aussage des Lemmas zeigt man nun durch Induktion uber n displaystyle n nbsp Mit der Annahme dass die Aussage des Lemmas fur a j 1 j n displaystyle a j 1 leq j leq n nbsp richtig ist folgt die Gultigkeit fur a n 1 displaystyle a n 1 nbsp durch den Laplaceschen Entwicklungssatz da die Summenformel fur a n 1 displaystyle a n 1 nbsp gerade der Entwicklung der Determinante fur a n 1 displaystyle a n 1 nbsp nach der ersten Spalte entspricht Beweis fur Operatoren mit endlichem Rang Bearbeiten Mit Hilfe des obigen Lemmas konnen wir nun den Beweis fur Operatoren mit endlichem Rang fuhren vgl Gohberg et al 3 und Reed Simon 4 Sei A displaystyle A nbsp ein Operator aus der Algebra der beschrankten linearen Operatoren mit endlichem Rang F B displaystyle mathcal F mathcal B nbsp auf einem Banachraum B displaystyle mathcal B nbsp Wenn wir die komplexen Eigenwerte von A displaystyle A nbsp mit m i i 1 n displaystyle mu i i 1 ldots n nbsp bezeichnen dann lasst sich die Determinante fur l lt 1 max i 1 n m i displaystyle lambda lt 1 bigl underset i 1 ldots n operatorname max mu i bigr nbsp folgendermassen darstellen det I l A i 1 n 1 l m i exp i 1 n log 1 l m i exp i 1 n k 1 1 k 1 k m i k l k exp k 1 1 k 1 k l k i 1 n m i k exp k 1 1 k 1 k l k tr A k displaystyle begin aligned det I lambda A prod i 1 n 1 lambda mu i amp operatorname exp left sum i 1 n operatorname log 1 lambda mu i right amp operatorname exp left sum i 1 n sum k 1 infty frac 1 k 1 k mu i k lambda k right amp operatorname exp left sum k 1 infty frac 1 k 1 k lambda k left sum i 1 n mu i k right right amp operatorname exp left sum k 1 infty frac 1 k 1 k lambda k operatorname tr A k right end aligned nbsp Durch Anwenden des obigen Lemmas auf die gerade hergeleitete Darstellung von det I l A displaystyle det I lambda A nbsp folgt unmittelbar die Gultigkeit der Plemlj Smithies Formeln fur Operatoren mit endlichem Rang Stetige Fortsetzung auf eingebettete Unteralgebren mit der Approximations Eigenschaft Bearbeiten Wir bezeichnen mit L B displaystyle mathcal L mathcal B nbsp die Algebra aller beschrankten linearen Operatoren F B displaystyle mathcal F mathcal B nbsp die Algebra aller beschrankten linearen Operatoren mit endlichem Rangauf einem komplexen Banachraum B displaystyle mathcal B nbsp Eine Unteralgebra D displaystyle mathcal D nbsp von L B displaystyle mathcal L mathcal B nbsp heisst stetig eingebettet in L B displaystyle mathcal L mathcal B nbsp falls es eine Norm D displaystyle cdot mathcal D nbsp auf D displaystyle mathcal D nbsp gibt so dass 1 A L B C A D displaystyle 1 A mathcal L B leq C A mathcal D nbsp Zusatzlich fordern wir 2 A B D C A D B D displaystyle 2 AB mathcal D leq C A mathcal D B mathcal D nbsp Der Einfachheit halber nennen wir eine Unteralgebra D displaystyle mathcal D nbsp eine eingebettete Unteralgebra wenn die Norm auf D displaystyle mathcal D nbsp die Bedingungen 1 und 2 erfullt Falls zusatzlich F D F D displaystyle mathcal F mathcal D mathcal F cap mathcal D nbsp dicht in D displaystyle mathcal D nbsp bezuglich der Norm D displaystyle cdot mathcal D nbsp liegt so sagen wir dass D displaystyle mathcal D nbsp die Approximationseigenschaft hat Man kann zunachst allgemein nachweisen dass sich unter gewissen Voraussetzungen die Funktion det I l A displaystyle operatorname det I lambda A nbsp fur eingebettete Unteralgebren D displaystyle mathcal D nbsp mit Approximationseigenschaft setig von F D displaystyle mathcal F mathcal D nbsp nach D displaystyle mathcal D nbsp fortsetzen lasst siehe z B Gohberg et al 5 Speziell lasst sich nun zeigen dass die Menge S 1 displaystyle mathcal S 1 nbsp der Operatoren der Spurklasse eine Unteralgebra von L B displaystyle mathcal L mathcal B nbsp mit der Approximationseigenschaft ist vgl Gohberg et al 6 sich det I l A displaystyle operatorname det I lambda A nbsp von F S 1 displaystyle mathcal F cap mathcal S 1 nbsp stetig nach S 1 displaystyle mathcal S 1 nbsp fortsetzen lasst vgl Gohberg et al 7 Alternative Formulierung der Plemelj Smithies Formeln mit Hilfe von Bell Polynomen BearbeitenEin Spezialfall der Formel von Faa di Bruno besagt dass sich die Exponentialfunktion einer formalen Potenzreihe mit Hilfe von vollstandigen Bell Polynomen ausdrucken lasst exp n 1 a n n x n n 0 B n a 1 a n n x n displaystyle exp left sum n 1 infty frac a n n x n right sum n 0 infty frac B n a 1 dots a n n x n nbsp Wenn man dies anstelle des obigen Lemmas auf die Darstellung von det I l A displaystyle operatorname det I lambda A nbsp anwendet so erhalt man folgende alternative Darstellung fur die Taylorkoeffizienten C k A displaystyle C k A nbsp C k A 1 k B k 0 tr A 1 tr A 2 2 tr A 3 1 k 1 k 1 tr A k displaystyle C k A frac 1 k mathcal B k Bigl 0 operatorname tr A 1 operatorname tr A 2 2 operatorname tr A 3 ldots 1 k 1 k 1 operatorname tr A k Bigr nbsp Korollar Charakteristisches Polynom einer endlich dimensionalen Matrix BearbeitenEin besonders einfaches Beispiel fur die Anwendung der Plemlj Smithies Formeln sind endlich dimensionale Matrizen A C n n displaystyle A in mathbb C n times n nbsp da man fur diese unmittelbar explizite Formeln fur die Koeffienten c k displaystyle c k nbsp des durch x A l det l I A k 1 n c k l k displaystyle chi A lambda det left lambda I A right sum k 1 n c k lambda k nbsp definierten charakteristischen Polynoms der Matrix ableiten kann 1 l n det l I A det I 1 l A 1 k 1 C k A 1 k 1 l k displaystyle frac 1 lambda n det left lambda I A right det left I left frac 1 lambda right A right 1 sum k 1 infty C k A 1 k frac 1 lambda k nbsp Da das charakteristische Polynom vom Grad n displaystyle n nbsp ist muss C k A 0 displaystyle C k A 0 nbsp sein fur k gt n displaystyle k gt n nbsp d h die Laurentwicklung reduziert sich zu einer endlichen Summe von Termen die Potenzen von l displaystyle lambda nbsp mit nicht negativen Exponenten haben det l I A k 0 n 1 k C k A l n k displaystyle det left lambda I A right sum k 0 n 1 k C k A lambda n k nbsp Durch Koeffizientenvergleich erkennt man c n k 1 k C k A displaystyle c n k 1 k C k A nbsp Literatur BearbeitenIsrael Gohberg Seymour Goldberg Nahum Krupnik Traces and Determinants of Linear Operators Operator Theory Advances and Applications Vol 116 Springer Basel AG ISBN 978 3 0348 9551 4 doi 10 1007 978 3 0348 8401 3 Michael Reed Barry Simon IV Analysis of Operators Methods of Modern Mathematical Physics Academic Press INC ISBN 0 12 585004 2 J Plemelj Zur Theorie der Fredholmschen Funktionalgleichung Monat fur Math und Phys 15 1904 93 128 doi 10 1007 BF01692293 F Smithies Integral Equations Cambridge University Press Cambridge UK 1965 ISBN 978 0 521 10003 8Einzelnachweise Bearbeiten Israel Gohberg Seymour Goldberg Nahum Krupnik Traces and Determinants of Linear Operators Operator Theory Advances and Applications Vol 116 Chapter I Lemma 7 1 Michael Reed Barry Simon IV Analysis of Operators Methods of Modern Mathematical Physics Academic Press INC Chapter XIII 17 Lemma 7 Israel Gohberg Seymour Goldberg Nahum Krupnik Traces and Determinants of Linear Operators Operator Theory Advances and Applications Vol 116 Chapter I Theorem 3 3 Michael Reed Barry Simon IV Analysis of Operators Methods of Modern Mathematical Physics Academic Press INC Chapter XIII 17 Lemma 6 Israel Gohberg Seymour Goldberg Nahum Krupnik Traces and Determinants of Linear Operators Operator Theory Advances and Applications Vol 116 Chapter II Theorem 2 1 Israel Gohberg Seymour Goldberg Nahum Krupnik Traces and Determinants of Linear Operators Operator Theory Advances and Applications Vol 116 Chapter IV Theorem 5 1 Israel Gohberg Seymour Goldberg Nahum Krupnik Traces and Determinants of Linear Operators Operator Theory Advances and Applications Vol 116 Chapter IV Theorem 5 2 und Vorbemerkungen auf p 61siehe auch Fredholm Determinante Approximationseigenschaft Banachalgebra Spurklasse Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Plemelj Smithies Formeln amp oldid 236930956