Die Fredholm Determinante ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis der den Begriff der Determinante eines endlichdimensionalen linearen Operators verallgemeinert Die Fredholm Determinante hat Anwendungen in der Theorie der Zufallsmatrizen und der mathematischen Physik Die Funktion ist nach Erik Ivar Fredholm benannt der sie beim Studium von Integralgleichungen einfuhrte Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Herleitung nach Fredholm 4 QuellenDefinition BearbeitenSei J 1 displaystyle J 1 nbsp die Familie aller Spurklasseoperatoren uber einem C n displaystyle mathbb C n nbsp wertigen Hilbertraum Sei K J 1 displaystyle K in J 1 nbsp und Id displaystyle operatorname Id nbsp der Identitatsoperator dann ist die Fredholm Determinante det Id K displaystyle operatorname det operatorname Id K nbsp definiert als det Id K j 0 tr K j displaystyle operatorname det operatorname Id K sum limits j 0 infty operatorname tr K wedge j nbsp Zur Erlauterung der rechten Seite sei e i i I displaystyle e i i in I nbsp eine Orthonormalbasis des zugrunde liegenden Hilbertraums H displaystyle H nbsp mit einer wohlgeordneten Menge I displaystyle I nbsp Das j displaystyle j nbsp fache aussere Produkt H j displaystyle H wedge j nbsp ist der Hilbertraum mit Orthonormalbasis e i 1 e i j i 1 lt lt i j i k I displaystyle e i 1 wedge ldots wedge e i j i 1 lt ldots lt i j i k in I nbsp Dann ist der durch K j e i 1 e i j K e i 1 K e i j displaystyle K wedge j e i 1 wedge ldots wedge e i j colon Ke i 1 wedge ldots wedge Ke i j nbsp definierte Operator K j H j H j displaystyle K wedge j colon H wedge j rightarrow H wedge j nbsp ebenfalls ein Spurklasseoperator und man kann die Spur tr K j displaystyle operatorname tr K wedge j nbsp bilden Damit ist die rechte Seite obiger Definition erklart Diese Definition stammt von Alexander Grothendieck Es gibt mehrere gleichwertige Definitionen der Fredholm Determinante jede mit Vor und Nachteilen Fur weitere Berechnungen eignet sich aber vor allem die Definition uber die Grassmann Algebra 1 Eigenschaften BearbeitenWenn K displaystyle K nbsp ein Integraloperator mit stetigem Integralkern G displaystyle G nbsp ist dann lasst sich der Ausdruck umschreiben zu 2 tr K j 1 j l 1 l j 1 n R j det G l s l t x s x t s t 1 j d x 1 d x j displaystyle operatorname tr K wedge j frac 1 j sum limits l 1 dots l j 1 n int mathbb R j det G l s l t x s x t s t 1 dots j mathrm d x 1 cdots mathrm d x j nbsp wo bei G l s l t displaystyle G l s l t nbsp die Darstellung von G displaystyle G nbsp bezuglich einer Schur Basis bezeichnet Herleitung nach Fredholm BearbeitenSeien f x u x C 0 1 displaystyle f x u x in C 0 1 nbsp und K x y displaystyle K x y nbsp ein Integralkern auf dem Produktraum Fredholm studierte die Integralgleichung 3 f x I K u x u x 0 1 K x y u y d y displaystyle f x I K u x u x int 0 1 K x y u y mathrm d y nbsp Er ersetzte das Integral in der Gleichung durch eine riemannsche Summe und diskretisierte f displaystyle f nbsp als f i f i n displaystyle f i f i n nbsp Somit entstand ein System von n displaystyle n nbsp linearen Gleichungen der Form f i u i 1 n j K i j u j displaystyle f i u i frac 1 n sum limits j K ij u j nbsp Das kann man nun als Matrix Vektor Produkt I h K i j u displaystyle I hK ij u nbsp verstehen wobei h 1 n displaystyle h 1 n nbsp Sei nun D 1 n displaystyle D 1 n nbsp die Determinante dieser Matrix in Relation zur Diskretisierungslange dann gilt durch Taylorentwicklung D 1 n m 0 n a m h m m 0 n 1 m d d h m D h h 0 h m displaystyle D 1 n sum limits m 0 n a m h m sum limits m 0 n frac 1 m left frac mathrm d mathrm d h right m D h h 0 h m nbsp und somit D 1 n 1 1 n i K i j 1 n 2 i j det K i i K i j K j i K j j displaystyle D 1 n 1 frac 1 n sum limits i K ij frac 1 n 2 sum limits i j operatorname det begin pmatrix K ii amp K ij K ji amp K jj end pmatrix cdots nbsp oder kompakt det I n 1 K D 1 n k 0 1 n k 1 k det K x i x j 1 i j k d x 1 d x k displaystyle operatorname det left I n 1 K right D 1 n sum k 0 infty left frac 1 n right k frac 1 k int cdots int operatorname det K x i x j 1 i j k mathrm d x 1 cdots mathrm d x k nbsp und somit det I a K k 0 a k k det K x i x j 1 i j k d x 1 d x k displaystyle operatorname det left I alpha K right sum k 0 infty frac alpha k k int cdots int operatorname det K x i x j 1 i j k mathrm d x 1 cdots mathrm d x k nbsp Quellen Bearbeiten Issa Karambal Veerle Ledoux Simon J A Malham Jitse Niesen Introductory Fredholm theory and computation Abgerufen am 16 April 2021 Issa Karambal Veerle Ledoux Simon J A Malham Jitse Niesen Introductory Fredholm theory and computation Abgerufen am 16 April 2021 Rui Dong Fredholm Determinant Abgerufen am 16 April 2021 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fredholm Determinante amp oldid 231151438
