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Rankine Hugoniot Bedingung Die oder auch Rankine Hugoniot Gleichung nach William John Macquorn Rankine und Pierre Henri

Rankine-Hugoniot-Bedingung

Die Rankine-Hugoniot-Bedingung oder auch Rankine-Hugoniot-Gleichung (nach William John Macquorn Rankine und Pierre-Henri Hugoniot) beschreibt das Verhalten von Stoßwellen durch eine eindimensionale hyperbolische Erhaltungsgleichung:

mit

Gegeben zwei Zustände und links und rechts eines Stoßes, besagt die Bedingung, dass die Stoßgeschwindigkeit die Gleichung

erfüllt. Im Falle einer skalaren Gleichung liefert dies direkt die Stoßgeschwindigkeit

Bei Systemen mit ist die Situation schwieriger.

  • Im Falle einer linearen Gleichung ergibt sich die Bedingung, dass die Stoßgeschwindigkeit ein Eigenwert der Matrix sein muss und die Differenz der Zustände ein Eigenvektor von . Dies ist nicht immer möglich, was dann bedeutet, dass diese Zustände durch eine Sequenz von Unstetigkeiten verbunden sind.
  • Dies kann auch auf nichtlineare Gleichungen angewandt werden, wobei dann zu beachten ist, dass sich hier die Stoßgeschwindigkeiten mit der Zeit ändern.

Umgekehrt bezeichnet man bei Systemen die Menge der Zustände, die mit einem gegebenen festen Zustand durch einen einzigen Stoß verbunden werden können, als Hugoniot-Lokus.

Beispiele Bearbeiten

Advektionsgleichung in 1D Bearbeiten

Eine sehr einfache Erhaltungsgleichung ist gegeben durch den skalaren Fluss:

Die Sprungbedingung ergibt somit sofort: .

Burgersgleichung in 1D Bearbeiten

Die Burgersgleichung ist definiert über den folgenden Fluss:

Die Sprungbedingung ergibt somit: .

Euler-Gleichungen Bearbeiten

Im Falle der Euler-Gleichungen ergeben sich spezielle Beziehungen. Elimination der Geschwindigkeit führt auf:

mit

Wird nun die Zustandsgleichung für das ideale Gas verwendet:

mit

so ergibt sich

Da die Drücke stets positiv sind, folgt daraus für das Dichteverhältnis:

Für Luft mit beträgt das maximale Dichteverhältnis ungefähr 6. Dieses Ergebnis ist anschaulich nachvollziehbar, da eine Zunahme des Drucks auch zu einer Temperaturzunahme führt, die der Dichtezunahme teilweise entgegenwirkt. Während die Stoßstärke (der Überdruck) beliebig groß werden kann, erreicht das Dichteverhältnis also einen endlichen Grenzwert.

Allerdings kann hohe Temperatur bei starken Stößen zur Dissoziation oder sogar zur Ionisation und damit zur Zunahme der thermodynamischen Freiheitsgrade und damit wiederum zu einem kleineren Wert von führen. Daher kann in realen Gasen die Obergrenze für das Dichteverhältnis wesentlich höher sein als in idealem Gas.

Die ersten beiden Erhaltungssätze folgen aus den Eulergleichungen bzw. führen zu diesen. Mit ihnen können die Sprungbedingungen für die Geschwindigkeit und die Dichte (bzw. den Druck) an der Stoßfront dargestellt werden. Die zentrale Idee von Rankine und Hugoniot war nun die Nutzung des dritten Erhaltungssatzes (der Energieerhaltung), um damit eine Sprungbedingung für die Entropie zu formulieren. Diese ist an der Stoßfront unstetig:

Daraus folgt, dass eine Stoßwelle kein adiabatischer (oder isentroper) Prozess mehr ist, sondern die Enthalpieänderung auch eine Entropiekomponente enthält (hugoniotsche Adiabate, auch als Stoßadiabate bekannt):

im Gegensatz zu

für eine rein adiabatische Verdichtung.

Literatur Bearbeiten

  • H. Hugoniot: On the Propagation of Motion in Bodies and in Perfect Bodies in Particular, 1887, I. Journal de l'Ecole Polytechnique, Band 57, Seiten 3–97.
  • M. A. Meyers: Dynamic Behaviour of Materials, 1994, John Wiley & Sons, New York, ISBN 0-471-58262-X.
  • Randall J. LeVeque: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, 2002, Cambridge Texts in Applied Mathematics, ISBN 0-521-00924-3.
  • W. J. M. Rankine: On the Thermodynamic Theory of Waves of Finite Longitudinal Disturbance, 1870, Philosophical Transactions, London/Edinburgh, Band 160, Seiten 270–288.

Weblinks Bearbeiten

  • Stanley P. Marsh: LASL Shock Hugoniot Data. In: Los Alamos Series on Dynamic Material Properties. University of California Press, Berkeley and Los Angeles, California, 1980, ISBN 0-520-04008-2 (PDF-Datei; 25 MB).
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Veröffentlichungsdatum:
Die Rankine Hugoniot Bedingung oder auch Rankine Hugoniot Gleichung nach William John Macquorn Rankine und Pierre Henri Hugoniot beschreibt das Verhalten von Stosswellen durch eine eindimensionale hyperbolische Erhaltungsgleichung u t f u x 0 displaystyle u t f u x 0 mit der Geschwindigkeit u displaystyle u Gegeben zwei Zustande u L displaystyle u L und u R displaystyle u R links und rechts eines Stosses besagt die Bedingung dass die Stossgeschwindigkeit s displaystyle s die Gleichung f u L f u R s u L u R displaystyle f u L f u R s cdot u L u R erfullt Im Falle einer skalaren Gleichung u R 1 displaystyle left u in mathbb R 1 right liefert dies direkt die Stossgeschwindigkeit s f u L f u R u L u R displaystyle Leftrightarrow s frac f u L f u R u L u R Bei Systemen mit u R n n 2 displaystyle u in mathbb R n n geq 2 ist die Situation schwieriger Im Falle einer linearen Gleichung u t A u x 0 displaystyle u t A cdot u x 0 ergibt sich die Bedingung dass die Stossgeschwindigkeit ein Eigenwert der Matrix A displaystyle A sein muss und die Differenz u L u R displaystyle u L u R der Zustande ein Eigenvektor von A displaystyle A Dies ist nicht immer moglich was dann bedeutet dass diese Zustande durch eine Sequenz von Unstetigkeiten verbunden sind Dies kann auch auf nichtlineare Gleichungen angewandt werden wobei dann zu beachten ist dass sich hier die Stossgeschwindigkeiten mit der Zeit andern Umgekehrt bezeichnet man bei Systemen die Menge der Zustande die mit einem gegebenen festen Zustand durch einen einzigen Stoss verbunden werden konnen als Hugoniot Lokus Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 1 1 Advektionsgleichung in 1D 1 2 Burgersgleichung in 1D 1 3 Euler Gleichungen 2 Literatur 3 WeblinksBeispiele BearbeitenAdvektionsgleichung in 1D Bearbeiten Eine sehr einfache Erhaltungsgleichung ist gegeben durch den skalaren Fluss f R R x a x mit a R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R x mapsto ax quad textrm mit a in mathbb R nbsp Die Sprungbedingung ergibt somit sofort s a displaystyle s a nbsp Burgersgleichung in 1D Bearbeiten Die Burgersgleichung ist definiert uber den folgenden Fluss f R R x 1 2 x 2 displaystyle f colon mathbb R to mathbb R x mapsto frac 1 2 x 2 nbsp Die Sprungbedingung ergibt somit s u L u R 2 displaystyle s frac u L u R 2 nbsp Euler Gleichungen Bearbeiten Im Falle der Euler Gleichungen ergeben sich spezielle Beziehungen Elimination der Geschwindigkeit fuhrt auf 2 h R h L p R p L 1 r L 1 r R displaystyle 2 cdot left h R h L right left p R p L right cdot left frac 1 rho L frac 1 rho R right nbsp mit dem Druck p displaystyle p nbsp der Dichte r displaystyle rho nbsp der spezifischen Enthalpie h p r e displaystyle h frac p rho e nbsp Das wird als hugoniotsche Adiabate bezeichnet s u der inneren Energie pro Masse spezifische Grosse e displaystyle e nbsp Wird nun die Zustandsgleichung fur das ideale Gas verwendet p r k 1 e displaystyle p rho cdot kappa 1 cdot e nbsp dd mit dem Adiabatenexponenten k displaystyle kappa nbsp so ergibt sich p L p R k 1 k 1 r R r L k 1 r R r L k 1 r L r R p L k 1 p R k 1 p L k 1 p R k 1 displaystyle Rightarrow frac p L p R frac kappa 1 kappa 1 cdot frac rho R rho L kappa 1 cdot frac rho R rho L kappa 1 quad Leftrightarrow quad frac rho L rho R frac p L cdot kappa 1 p R cdot kappa 1 p L cdot kappa 1 p R cdot kappa 1 nbsp Da die Drucke stets positiv sind folgt daraus fur das Dichteverhaltnis r R r L k 1 k 1 displaystyle Rightarrow frac rho R rho L leq frac kappa 1 kappa 1 nbsp Fur Luft mit k 1 4 displaystyle kappa approx 1 4 nbsp betragt das maximale Dichteverhaltnis ungefahr 6 Dieses Ergebnis ist anschaulich nachvollziehbar da eine Zunahme des Drucks auch zu einer Temperaturzunahme fuhrt die der Dichtezunahme teilweise entgegenwirkt Wahrend die Stossstarke der Uberdruck beliebig gross werden kann erreicht das Dichteverhaltnis also einen endlichen Grenzwert Allerdings kann hohe Temperatur bei starken Stossen zur Dissoziation oder sogar zur Ionisation und damit zur Zunahme der thermodynamischen Freiheitsgrade und damit wiederum zu einem kleineren Wert von k displaystyle kappa nbsp fuhren Daher kann in realen Gasen die Obergrenze fur das Dichteverhaltnis wesentlich hoher sein als in idealem Gas Die ersten beiden Erhaltungssatze folgen aus den Eulergleichungen bzw fuhren zu diesen Mit ihnen konnen die Sprungbedingungen fur die Geschwindigkeit und die Dichte bzw den Druck an der Stossfront dargestellt werden Die zentrale Idee von Rankine und Hugoniot war nun die Nutzung des dritten Erhaltungssatzes der Energieerhaltung um damit eine Sprungbedingung fur die Entropie zu formulieren Diese ist an der Stossfront unstetig S 1 S 0 gt 0 displaystyle S 1 S 0 gt 0 nbsp Daraus folgt dass eine Stosswelle kein adiabatischer oder isentroper Prozess mehr ist sondern die Enthalpieanderung auch eine Entropiekomponente enthalt hugoniotsche Adiabate auch als Stossadiabate bekannt d H 1 2 d p r T d S displaystyle rm d H int 1 2 frac rm d p rho T cdot rm d S nbsp im Gegensatz zu d H 1 2 d p r displaystyle rm d H int 1 2 frac rm d p rho nbsp fur eine rein adiabatische Verdichtung Literatur BearbeitenH Hugoniot On the Propagation of Motion in Bodies and in Perfect Bodies in Particular 1887 I Journal de l Ecole Polytechnique Band 57 Seiten 3 97 M A Meyers Dynamic Behaviour of Materials 1994 John Wiley amp Sons New York ISBN 0 471 58262 X Randall J LeVeque Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems 2002 Cambridge Texts in Applied Mathematics ISBN 0 521 00924 3 W J M Rankine On the Thermodynamic Theory of Waves of Finite Longitudinal Disturbance 1870 Philosophical Transactions London Edinburgh Band 160 Seiten 270 288 Weblinks BearbeitenStanley P Marsh LASL Shock Hugoniot Data In Los Alamos Series on Dynamic Material Properties University of California Press Berkeley and Los Angeles California 1980 ISBN 0 520 04008 2 PDF Datei 25 MB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rankine Hugoniot Bedingung amp oldid 238144782