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Potenzgesetz Statistik Ein Potenzgesetz engl power law beschreibt die Beziehung von zwei beobachteten Größen x displayst

Potenzgesetz (Statistik)

Ein Potenzgesetz (engl. power law) beschreibt die Beziehung von zwei beobachteten Größen und durch eine Potenzfunktion der Form

Die empirisch ermittelte relative Häufigkeit von deutschen Städten mit der Einwohnerzahl (gelb) kann durch ein Potenzgesetz: beschrieben werden (blau). Dem liegt eine Pareto-Verteilung zugrunde.

Eine Größe ändert sich dabei mit der Potenz der anderen Größe, unabhängig von dem Ausgangswert der beiden Größen.

Solche Funktionen kommen in der Natur häufig vor. Der Flächeninhalt eines quadratischen Grundstücks wächst mit der zweiten Potenz der Seitenlänge. Verdoppelt man die Seitenlänge, so erhält man die vierfache Fläche. Ein anderes Beispiel ist, dass die Schwerkraft mit dem Quadrat der Entfernung abnimmt. Potenzgesetze wurden auch bei der Untersuchung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen gefunden. Ein oft genanntes Beispiel ist die Pareto-Verteilung.

Potenzgesetze gehören zu den Skalengesetzen. Sie beschreiben die Skaleninvarianz vieler natürlicher Phänomene.

Grundlagen Bearbeiten

Potenzgesetze werden mit Methoden der Statistik gefunden. Unter Statistik versteht man die Zusammenfassung bestimmter Methoden zur Analyse empirischer Daten. In der induktiven Statistik leitet man aus den Daten einer Stichprobe Eigenschaften einer Grundgesamtheit ab.

Potenzgesetze beschreiben polynomielle Abhängigkeiten zwischen zwei Größen und der Form

Dabei ist der Vorfaktor und der Exponent des Potenzgesetzes, und die durch angedeuteten Zusatzterme werden als vernachlässigbar angenommen und weggelassen.

Der Wert von ist meist weniger relevant – man interessiert sich eher für den Exponenten des Potenzgesetzes, da dieser bestimmt, ob mit steigendem ab- oder zunimmt und mit welcher Geschwindigkeit. Insbesondere kann der Vorfaktor in den Exponenten integriert werden.  wird dazu umgeformt zu .

Ob eine gegebene Verteilung durch eine Potenzfunktion angenähert werden kann, zeigt sich bei einer doppelt-logarithmischen Auftragung: Ist der Graph der Funktion eine Gerade, so ist eine Näherung durch eine Potenzfunktion möglich. Die Steigung der Gerade ist dann ihr Exponent. Eine detaillierte Herleitung und Beispiel findet sich im Artikel Pareto-Verteilung.

Die Pareto-Verteilung ist eine Verteilung mit schweren Rändern. Anschaulich besagt der Begriff, dass auf den „Rändern“ oder „Verteilungsenden“ der Verteilung mehr Masse liegt als beispielsweise bei der Normalverteilung.

Beispiele Bearbeiten

Funktionale Beziehungen zwischen Eingangs- und Ausgangsgröße Bearbeiten

Wahrscheinlichkeitsverteilungen Bearbeiten

Pareto-Verteilung Bearbeiten

Die Pareto-Verteilung wurde zunächst zur Beschreibung der Einkommensverteilung Italiens verwendet. Pareto-verteilte Größen weisen das aus dem Pareto-Prinzip (auch 80-zu-20-Regel) bekannte Phänomen der Ungleichverteilung auf: Kleinere Werte sind recht häufig, große Werte hingegen sehr selten. Im Städte-Beispiel (siehe Abbildung in der Einleitung) tragen wenige Großstädte überproportional zur Gesamtbevölkerung bei.

Zipfsches Gesetz Bearbeiten

Das Zipfsche Gesetz ist ein Modell, mit dessen Hilfe man bei bestimmten Größen, die in eine Rangfolge gebracht werden, deren Wert aus ihrem Rang abschätzen kann. Die vereinfachte Aussage des Zipfschen Gesetzes lautet: Wenn die Elemente einer Menge – beispielsweise die Wörter eines Textes – nach ihrer Häufigkeit geordnet werden, ist die Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens umgekehrt proportional zum Platz auf der Häufigkeitsliste.

Netzwerktheorie Bearbeiten

Die Gradverteilung eines Barabási-Albert-Netzwerks mit 200.000 Knoten und maximalem Grad von 882.

Potenzgesetze treten bei der Häufigkeitsverteilung von Knotengraden in skalenfreien Netzen auf. László Barabási und Réka Albert haben drei verschiedene reale Netzwerke untersucht. In allen drei Netzen fanden sie nahezu identische Potenzgesetze. Außerdem haben sie das Barabási-Albert-Modell entwickelt, das durch Anwendung der sogenannten bevorzugten Bindung den Aufbau von realen Netzen nachbildet, deren Häufigkeitsverteilungen ebenfalls einem Potenzgesetz folgen.

Größenverteilung von Objekten bei exponentiellem Wachstum von Anzahl und Ausdehnung Bearbeiten

Ein Potenzgesetz der Größenverteilung ergibt sich bei exponentiellem Wachstum, wenn sowohl die Anzahl als auch die Ausdehnung der zu messenden Objekte exponentiell wächst. Die Größenverteilung der Objekte zu einem beliebigen Zeitpunkt gehorcht dann einem Potenzgesetz:

Beispielsweise sei die Anzahl von Städten zum Zeitpunkt eine exponentiell wachsende Größe:

Die Ausdehnung einer zum Zeitpunkt gegründeten Stadt zum Zeitpunkt sei ebenso exponentiell wachsend:

Für die Ausdehnung der Städte gilt folglich die Wahrscheinlichkeitsaussage

Durch Logarithmieren und Umformen ergibt sich daraus:

Die Wahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt , dass eine zufällige Stadt vor einem gewählten Zeitpunkt gegründet worden ist, beträgt

Verwendet man diese Formel für die Berechnung der Verteilungsfunktion (setze ), so ergibt sich die Verteilungsfunktion

Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte für die Ausdehnung (Ableitung der Verteilungsfunktion; „Größenverteilung“) ist folglich von der gesuchten Form:

das heißt mit .

Weitere Beispiele Bearbeiten

  • Lotkas Gesetz – Verteilung der Anzahl von wissenschaftlichen Zeitschriftenartikeln auf Autoren
  • Lewis Fry Richardson – Verteilung der Anzahl von Konflikten, bezogen auf ihre Größe, gemessen an der Zahl der Opfer

Ähnliche Verteilungen Bearbeiten

Benoît Mandelbrot untersuchte 1961 Daten zur Einkommensverteilung in der Gesellschaft, die einem Potenzgesetz folgten. Er zeichnete für einen Vortrag ein Diagramm dazu. Auf der Vortragsreise sah er zufällig ein Diagramm zur Analyse von Preissprüngen von US-Baumwollpreisen. Er erkannte eine Ähnlichkeit zwischen beiden Diagrammen. Deshalb untersuchte er danach die historischen Daten zu US-Baumwollpreisen. Er konnte zeigen, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Preissprünge eine Lévy-Verteilung ist. Dieses Ergebnis hatte großen Einfluss auf die Entwicklung von neuen Methoden zur Risikoanalyse von Finanzinstrumenten.

Literatur Bearbeiten

  • Yule, G. U.: A mathematical theory of evolution based upon the conclusions of Dr J.C. Willis, FRS. Philos. Trans. R. Soc. Lond. B 213 (1924), 21–87
  • Willis, J. C.: Age and area. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1922
  • Fermi, Enrico: On the Origin of the Cosmic Radiation. Phys. Rev. 75 (1949), S. 1169–1174
  • Zipf, George Kingsley (1949): Human Behavior and The Principles of Least Effort. Addison-Wesley, Cambridge, MA 1949

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Benoît Mandelbrot, Richard Hudson: Fraktale und Finanzen. Piper-Verlag GmbH, München 2005, ISBN 3-492-04632-0, S. 38–39.
  2. Dirk Brockmann: Im Wald vor lauter Bäumen. 3. Auflage. dtv Verlagsgesellschaft, München 2021, ISBN 978-3-423-28299-4, S. 84–88.
  3. Benoît Mandelbrot, Richard Hudson: Fraktale und Finanzen. Piper-Verlag GmbH, München 2005, ISBN 3-492-04632-0, S. 207–237.
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Potenzgesetz engl power law beschreibt die Beziehung von zwei beobachteten Grossen x displaystyle x und y displaystyle y durch eine Potenzfunktion der FormDie empirisch ermittelte relative Haufigkeit y displaystyle y von deutschen Stadten mit der Einwohnerzahl x displaystyle x gelb kann durch ein Potenzgesetz y 380969 x 2 31 displaystyle y 380969 cdot x 2 31 beschrieben werden blau Dem liegt eine Pareto Verteilung zugrunde y a x b displaystyle y a cdot x b Eine Grosse andert sich dabei mit der Potenz der anderen Grosse unabhangig von dem Ausgangswert der beiden Grossen Solche Funktionen kommen in der Natur haufig vor Der Flacheninhalt eines quadratischen Grundstucks wachst mit der zweiten Potenz der Seitenlange Verdoppelt man die Seitenlange so erhalt man die vierfache Flache Ein anderes Beispiel ist dass die Schwerkraft mit dem Quadrat der Entfernung abnimmt Potenzgesetze wurden auch bei der Untersuchung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen gefunden Ein oft genanntes Beispiel ist die Pareto Verteilung 1 Potenzgesetze gehoren zu den Skalengesetzen Sie beschreiben die Skaleninvarianz vieler naturlicher Phanomene Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 Beispiele 2 1 Funktionale Beziehungen zwischen Eingangs und Ausgangsgrosse 2 2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen 2 2 1 Pareto Verteilung 2 2 2 Zipfsches Gesetz 2 2 3 Netzwerktheorie 2 2 4 Grossenverteilung von Objekten bei exponentiellem Wachstum von Anzahl und Ausdehnung 2 2 5 Weitere Beispiele 3 Ahnliche Verteilungen 4 Literatur 5 EinzelnachweiseGrundlagen BearbeitenPotenzgesetze werden mit Methoden der Statistik gefunden Unter Statistik versteht man die Zusammenfassung bestimmter Methoden zur Analyse empirischer Daten In der induktiven Statistik leitet man aus den Daten einer Stichprobe Eigenschaften einer Grundgesamtheit ab Potenzgesetze beschreiben polynomielle Abhangigkeiten zwischen zwei Grossen y displaystyle y nbsp und x displaystyle x nbsp der Form y a x b displaystyle y a cdot x b dotsb nbsp Dabei ist a displaystyle a nbsp der Vorfaktor und b displaystyle b nbsp der Exponent des Potenzgesetzes und die durch displaystyle dotsb nbsp angedeuteten Zusatzterme werden als vernachlassigbar angenommen und weggelassen Der Wert von a displaystyle a nbsp ist meist weniger relevant man interessiert sich eher fur den Exponenten des Potenzgesetzes da dieser bestimmt ob y displaystyle y nbsp mit steigendem x displaystyle x nbsp ab oder zunimmt und mit welcher Geschwindigkeit Insbesondere kann der Vorfaktor in den Exponenten integriert werden y a x b displaystyle y a cdot x b nbsp wird dazu umgeformt zu y x b log x a displaystyle y x b log x a nbsp Ob eine gegebene Verteilung durch eine Potenzfunktion angenahert werden kann zeigt sich bei einer doppelt logarithmischen Auftragung Ist der Graph der Funktion eine Gerade so ist eine Naherung durch eine Potenzfunktion moglich Die Steigung der Gerade ist dann ihr Exponent Eine detaillierte Herleitung und Beispiel findet sich im Artikel Pareto Verteilung Die Pareto Verteilung ist eine Verteilung mit schweren Randern Anschaulich besagt der Begriff dass auf den Randern oder Verteilungsenden der Verteilung mehr Masse liegt als beispielsweise bei der Normalverteilung Beispiele BearbeitenFunktionale Beziehungen zwischen Eingangs und Ausgangsgrosse Bearbeiten Beziehung zwischen Seitenlange und Flacheninhalt eines Quadrats Stevenssche Potenzfunktion Beziehung zwischen der menschlichen Empfindungsstarke und der Reizstarke Kleibers Gesetz Beziehung zwischen Masse und Stoffwechsel von TierenWahrscheinlichkeitsverteilungen Bearbeiten Pareto Verteilung Bearbeiten Die Pareto Verteilung wurde zunachst zur Beschreibung der Einkommensverteilung Italiens verwendet Pareto verteilte Grossen weisen das aus dem Pareto Prinzip auch 80 zu 20 Regel bekannte Phanomen der Ungleichverteilung auf Kleinere Werte sind recht haufig grosse Werte hingegen sehr selten Im Stadte Beispiel siehe Abbildung in der Einleitung tragen wenige Grossstadte uberproportional zur Gesamtbevolkerung bei Zipfsches Gesetz Bearbeiten Das Zipfsche Gesetz ist ein Modell mit dessen Hilfe man bei bestimmten Grossen die in eine Rangfolge gebracht werden deren Wert aus ihrem Rang abschatzen kann Die vereinfachte Aussage des Zipfschen Gesetzes lautet Wenn die Elemente einer Menge beispielsweise die Worter eines Textes nach ihrer Haufigkeit geordnet werden ist die Wahrscheinlichkeit p displaystyle p nbsp ihres Auftretens umgekehrt proportional zum Platz n displaystyle n nbsp auf der Haufigkeitsliste Netzwerktheorie Bearbeiten nbsp Die Gradverteilung eines Barabasi Albert Netzwerks mit 200 000 Knoten und maximalem Grad von 882 Potenzgesetze treten bei der Haufigkeitsverteilung von Knotengraden in skalenfreien Netzen auf Laszlo Barabasi und Reka Albert haben drei verschiedene reale Netzwerke untersucht In allen drei Netzen fanden sie nahezu identische Potenzgesetze Ausserdem haben sie das Barabasi Albert Modell entwickelt das durch Anwendung der sogenannten bevorzugten Bindung den Aufbau von realen Netzen nachbildet deren Haufigkeitsverteilungen ebenfalls einem Potenzgesetz folgen 2 Grossenverteilung von Objekten bei exponentiellem Wachstum von Anzahl und Ausdehnung Bearbeiten Ein Potenzgesetz der Grossenverteilung ergibt sich bei exponentiellem Wachstum wenn sowohl die Anzahl als auch die Ausdehnung der zu messenden Objekte exponentiell wachst Die Grossenverteilung der Objekte zu einem beliebigen Zeitpunkt gehorcht dann einem Potenzgesetz Beispielsweise sei die Anzahl von Stadten zum Zeitpunkt t displaystyle t nbsp eine exponentiell wachsende Grosse n t e n t displaystyle n t e nu t nbsp Die Ausdehnung einer zum Zeitpunkt t i displaystyle t i nbsp gegrundeten Stadt zum Zeitpunkt t displaystyle t nbsp sei ebenso exponentiell wachsend k i e m t t i 1 displaystyle k i e mu t t i in 1 infty nbsp Fur die Ausdehnung k i displaystyle k i nbsp der Stadte gilt folglich die Wahrscheinlichkeitsaussage P k i t lt k P e m t t i lt k displaystyle P k i t lt k P e mu t t i lt k nbsp Durch Logarithmieren und Umformen ergibt sich daraus P k i t lt k P m t t i lt ln k P t t i lt ln k 1 m 1 P t i t ln k 1 m displaystyle P k i t lt k P mu t t i lt ln k P t t i lt ln k 1 mu 1 P t i leq t ln k 1 mu nbsp Die Wahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt t displaystyle t nbsp dass eine zufallige Stadt i displaystyle i nbsp vor einem gewahlten Zeitpunkt t 0 displaystyle t 0 nbsp gegrundet worden ist betragt P t t i lt t 0 n t 0 n t e n t 0 e n t e n t 0 t displaystyle P t t i lt t 0 frac n t 0 n t frac e nu t 0 e nu t e nu t 0 t nbsp Verwendet man diese Formel fur die Berechnung der Verteilungsfunktion setze t 0 t ln k 1 m displaystyle t 0 t ln k 1 mu nbsp so ergibt sich die Verteilungsfunktion P k i t lt k 1 e n t ln k 1 m t 1 e ln k n m 1 1 k n m displaystyle P k i t lt k 1 e nu t ln k 1 mu t 1 e ln k nu mu 1 frac 1 k nu mu nbsp Die zugehorige Wahrscheinlichkeitsdichte fur die Ausdehnung Ableitung der Verteilungsfunktion Grossenverteilung ist folglich von der gesuchten Form p k a k 1 n m k 1 displaystyle p k a cdot k 1 nu mu k in 1 infty nbsp das heisst mit a 1 m n displaystyle a 1 mu nu nbsp Weitere Beispiele Bearbeiten Lotkas Gesetz Verteilung der Anzahl von wissenschaftlichen Zeitschriftenartikeln auf Autoren Lewis Fry Richardson Verteilung der Anzahl von Konflikten bezogen auf ihre Grosse gemessen an der Zahl der OpferAhnliche Verteilungen BearbeitenBenoit Mandelbrot untersuchte 1961 Daten zur Einkommensverteilung in der Gesellschaft die einem Potenzgesetz folgten Er zeichnete fur einen Vortrag ein Diagramm dazu Auf der Vortragsreise sah er zufallig ein Diagramm zur Analyse von Preissprungen von US Baumwollpreisen Er erkannte eine Ahnlichkeit zwischen beiden Diagrammen Deshalb untersuchte er danach die historischen Daten zu US Baumwollpreisen Er konnte zeigen dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Preissprunge eine Levy Verteilung ist Dieses Ergebnis hatte grossen Einfluss auf die Entwicklung von neuen Methoden zur Risikoanalyse von Finanzinstrumenten 3 Literatur BearbeitenYule G U A mathematical theory of evolution based upon the conclusions of Dr J C Willis FRS Philos Trans R Soc Lond B 213 1924 21 87 Willis J C Age and area Cambridge Univ Press Cambridge 1922 Fermi Enrico On the Origin of the Cosmic Radiation Phys Rev 75 1949 S 1169 1174 Zipf George Kingsley 1949 Human Behavior and The Principles of Least Effort Addison Wesley Cambridge MA 1949Einzelnachweise Bearbeiten Benoit Mandelbrot Richard Hudson Fraktale und Finanzen Piper Verlag GmbH Munchen 2005 ISBN 3 492 04632 0 S 38 39 Dirk Brockmann Im Wald vor lauter Baumen 3 Auflage dtv Verlagsgesellschaft Munchen 2021 ISBN 978 3 423 28299 4 S 84 88 Benoit Mandelbrot Richard Hudson Fraktale und Finanzen Piper Verlag GmbH Munchen 2005 ISBN 3 492 04632 0 S 207 237 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Potenzgesetz Statistik amp oldid 233187280