Das Neumannsche Prinzip ist ein Symmetrieprinzip Es verknupft die Struktur eines Kristalls mit seinen physikalischen Eigenschaften Das Neumannsche Prinzip besagt dass die Symmetrie der physikalischen Eigenschaften eines Kristalls die Symmetrieelemente der Punktgruppe des Kristalls enthalten muss Franz Ernst Neumann formulierte dieses Prinzip im Rahmen seiner Lehrveranstaltungen an der Universitat von Konigsberg 1873 74 In gedruckter Form wurde es 1885 veroffentlicht 1 Die endgultige Fassung stammt aus dem beruhmten Lehrbuch der Krystallphysik seines Schulers Woldemar Voigt Dieser verweist dabei auf einen Artikel Neumann s aus dem Jahr 1833 bei dem Neumann dieses Prinzip schon implizit angewendet hat Pierre Curie erweiterte dieses Prinzip 1894 zum Curie Prinzip Durch die Darstellungstheorie werden diese Uberlegungen auf eine erweiterte mathematische Grundlage gestellt Inhaltsverzeichnis 1 Erlauterung 2 Beispiel 2 1 Tensoren 1 Stufe 2 2 Tensoren 2 Stufe 3 Einzelnachweise 4 Literatur 5 WeblinksErlauterung BearbeitenDie physikalischen Eigenschaften eines Kristalls sind im Allgemeinen anisotrop Sie hangen sowohl von der Richtung der einwirkenden Kraft als auch von der Richtung der untersuchten Wirkung ab Daher werden diese Eigenschaften mit Hilfe von Tensoren beschrieben Das Neumannsche Prinzip verlangt dass jede Symmetrieabbildung des Kristalls auch eine Symmetrieabbildung dieses Tensors sein muss Diese Symmetrieuberlegungen fuhren dazu dass sich die Anzahl der unabhangigen Elemente eines Tensors in hohersymmetrischen Kristallen verringert und seine Hauptachsen in Richtung der Kristallachsen liegen Beispiele Da die Richtungsabhangigkeit der Wachstumsgeschwindigkeit des Kristalls dem Neumannschen Prinzip unterliegt spiegeln die Kristallflachen die Punktgruppe des Kristalls wider So kann man schon anhand der Kristallform auf das Kristallsystem und die Kristallklasse schliessen Eine oft erwahnte Folge des Neumannschen Prinzips ist dass in einem Kristall der ein Inversionszentrum besitzt kein piezoelektrischer Effekt existieren kann Das Neumannsche Prinzip bestimmt nur die Mindestsymmetrie des Tensors Der Tensor kann aber durchaus uber zusatzliche Symmetrien verfugen So ist der Deformationstensor aufgrund seiner Definition grundsatzlich zentrosymmetrisch Beispiel BearbeitenEine Folge des Neumannschen Prinzips ist dass in dem Achsensystem das durch die konventionelle Elementarzelle gegeben ist die Eigenschaftstensoren eine durch die jeweilige Kristallklasse bestimmte Form haben In den folgenden Tabellen ist im monoklinen Kristallsystem die monokline Achse in die kristallographische c Achse gelegt 1st setting Tensoren 1 Stufe Bearbeiten Der pyroelektrische Effekt wird durch einen polaren Vektor beschrieben Entsprechend musste der pyromagnetische Effekt durch einen axialen Vektor beschrieben werden Dazu liegen bislang aber keine Untersuchungen vor Die Punktgruppen mit einem nicht verschwindenden Element eines polaren Vektors nennt man auch polare Punktgruppen Allgemeine Form von Vektoren und Pseudovektoren Kristallsystem Kristallklasse Komponenten eines Vektors Anzahl unabhangiger Komponenten Komponenten eines Pseudovektors Anzahl unabhangiger KomponentenTriklin 1 displaystyle 1 nbsp v 1 v 2 v 3 displaystyle begin pmatrix v 1 v 2 v 3 end pmatrix nbsp 3 p 1 p 2 p 3 displaystyle begin pmatrix p 1 p 2 p 3 end pmatrix nbsp 31 displaystyle bar 1 nbsp 0 0 0 displaystyle begin pmatrix 0 0 0 end pmatrix nbsp 0 p 1 p 2 p 3 displaystyle begin pmatrix p 1 p 2 p 3 end pmatrix nbsp 3Monoklin 2 displaystyle 2 nbsp 0 0 v 3 displaystyle begin pmatrix 0 0 v 3 end pmatrix nbsp 1 0 0 p 3 displaystyle begin pmatrix 0 0 p 3 end pmatrix nbsp 1m displaystyle m nbsp v 1 v 2 0 displaystyle begin pmatrix v 1 v 2 0 end pmatrix nbsp 2 0 0 p 3 displaystyle begin pmatrix 0 0 p 3 end pmatrix nbsp 12 m displaystyle 2 m nbsp 0 0 0 displaystyle begin pmatrix 0 0 0 end pmatrix nbsp 0 0 0 p 3 displaystyle begin pmatrix 0 0 p 3 end pmatrix nbsp 1Orthorhombisch 222 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Warmeausdehnung und die Dielektrizitatskonstante werden durch einen symmetrischen Tensor 2 Stufe beschrieben Ohne weitere Einschrankungen hat dieser Tensor 6 unabhangige Komponenten und eine beliebige Lage zu den Kristallachsen In den einzelnen Kristallsystemen nimmt er aufgrund des Neumannschen Prinzips folgende Form an Kristallsystem Tensorflache Schema der Komponenten Bezug zu den Hauptwerten Anzahl unabhangiger KomponentenTriklin Dreiachsiges Ellipsoid in beliebiger Lage ϵ 11 ϵ 12 ϵ 13 ϵ 12 ϵ 22 ϵ 23 ϵ 13 ϵ 23 ϵ 33 displaystyle begin pmatrix epsilon 11 amp epsilon 12 amp epsilon 13 epsilon 12 amp epsilon 22 amp epsilon 23 epsilon 13 amp epsilon 23 amp epsilon 33 end pmatrix nbsp 6Monoklin Dreiachsiges Ellipsoid eine Hauptachse parallel zur b Achse ϵ 11 0 ϵ 13 0 ϵ 22 0 ϵ 13 0 ϵ 33 displaystyle begin pmatrix epsilon 11 amp 0 amp epsilon 13 0 amp epsilon 22 amp 0 epsilon 13 amp 0 amp epsilon 33 end pmatrix nbsp ϵ 22 ϵ b displaystyle epsilon 22 epsilon b nbsp 4Orthorhombisch Dreiachsiges Ellipsoid Hauptachsen parallel zu den Gitterachsen ϵ 11 0 0 0 ϵ 22 0 0 0 ϵ 33 displaystyle begin pmatrix epsilon 11 amp 0 amp 0 0 amp epsilon 22 amp 0 0 amp 0 amp epsilon 33 end pmatrix nbsp ϵ 11 ϵ a displaystyle epsilon 11 epsilon a nbsp ϵ 22 ϵ b displaystyle epsilon 22 epsilon b nbsp ϵ 33 ϵ c displaystyle epsilon 33 epsilon c nbsp 3Tetragonal Trigonal Hexagonal Rotationsellipsoid Rotationsachse parallel zu c ϵ 11 0 0 0 ϵ 11 0 0 0 ϵ 33 displaystyle begin pmatrix epsilon 11 amp 0 amp 0 0 amp epsilon 11 amp 0 0 amp 0 amp epsilon 33 end pmatrix nbsp ϵ 11 ϵ a ϵ b displaystyle epsilon 11 epsilon a epsilon b nbsp ϵ 33 ϵ c displaystyle epsilon 33 epsilon c nbsp 2Kubisch Kugel ϵ 11 0 0 0 ϵ 11 0 0 0 ϵ 11 displaystyle begin pmatrix epsilon 11 amp 0 amp 0 0 amp epsilon 11 amp 0 0 amp 0 amp epsilon 11 end pmatrix nbsp ϵ 11 ϵ displaystyle epsilon 11 epsilon nbsp 1Einzelnachweise Bearbeiten Neumann F E 1885 Vorlesungen uber die Theorie der Elastizitat der festen Korper und des Lichtathers O E Meyer Leipzig Hrsg B G Teubner Verlag Literatur BearbeitenWill Kleber Hans Joachim Bautsch Joachim Bohm Detlef Klimm Einfuhrung in die Kristallographie 19 Auflage Oldenbourg Wissenschaftsverlag Munchen 2010 ISBN 978 3 486 59075 3 Woldemar Voigt Lehrbuch der Krystallphysik Leipzig 1910 Weblinks BearbeitenNeumanns principle Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Neumannsches Prinzip amp oldid 238179876
