Das klassische Modell des Lorentz Oszillators nach Hendrik Antoon Lorentz beschreibt ein an den Atomrumpf gebundenes Elektron das durch ein elektrisches Feld zu harmonischen Oszillationen angeregt wird Es ist eine Erweiterung des Drude Modells Dieser Artikel wurde in die Qualitatssicherung der Redaktion Physik eingetragen Wenn du dich mit dem Thema auskennst bist du herzlich eingeladen dich an der Prufung und moglichen Verbesserung des Artikels zu beteiligen Der Meinungsaustausch daruber findet derzeit nicht auf der Artikeldiskussionsseite sondern auf der Qualitatssicherungs Seite der Physik statt Das Modell beschreibt die frequenzabhangige elektrische Polarisation eines Festkorpers und damit seine dielektrische Funktion Letztere beschreibt die Frequenzabhangigkeit Dispersion e f w displaystyle varepsilon f omega der Permittivitat e displaystyle textstyle varepsilon und die damit zusammenhangenden Resonanzen Sie ist von grosser Bedeutung fur die optischen Eigenschaften eines Stoffes Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Modellierung 2 Anwendung 2 1 Atomares Dipolmoment 2 2 Dielektrische Funktion 2 3 Streuquerschnitt 3 Bemerkungen 4 Siehe auch 5 LiteraturMathematische Modellierung Bearbeiten nbsp Elektronen sind analog zu verschieden starken Federn Anisotropie an den Atomkern gebundenDie Dynamik von Elektronen Ionen oder permanenten Dipolen in einem Festkorper kann vereinfacht durch einen gedampften harmonischen Oszillator beschrieben werden Die folgende Bewegungsgleichung sei ohne Beschrankung der Allgemeinheit fur Elektronen aufgestellt Fur Ionen und permanente Dipole lassen sich analoge Gleichungen aufstellen Modellhaft kann man sich vorstellen die Elektronen in der Atomhulle seien im Lorentzmodell mit Federn am Atomkern befestigt Haben die Federn aller Elektronen die gleiche Federkonstante entspricht dies einem isotropen Medium Als periodische Antriebskraft geht die Wechselwirkung mit einem monochromatischen elektromagnetischen Wechselfeld z B Licht Radio oder Mikrowellen ein m d 2 x d t 2 m b d x d t m w 0 2 x e E 0 exp i w t displaystyle m frac mathrm d 2 x mathrm d t 2 m beta frac mathrm d x mathrm d t m omega 0 2 x eE 0 exp mathrm i omega t nbsp wobei m displaystyle m nbsp Masse des Elektrons x displaystyle x nbsp Auslenkung des Elektrons aus der Ruhelage t displaystyle t nbsp Zeit b displaystyle beta nbsp Dampfung w displaystyle omega nbsp Kreisfrequenz des treibenden Feldes w 0 displaystyle omega 0 nbsp Eigenfrequenz des ungedampften harmonischen Oszillators e displaystyle e nbsp Elementarladung E 0 displaystyle E 0 nbsp lokale Amplitude des treibenden elektromagnetischen WechselfeldesDie stationare Losung dieser Bewegungsgleichung lautet x t e m 1 w 0 2 w 2 i b w E 0 exp i w t displaystyle x t frac e m frac 1 omega 0 2 omega 2 mathrm i beta omega E 0 exp mathrm i omega t nbsp Anwendung BearbeitenAtomares Dipolmoment Bearbeiten Das atomare Dipolmoment ist definiert als p e x displaystyle vec p e vec x nbsp wobei x displaystyle vec x nbsp vom Elektron zum Kern zeigt sodass sich dieses zu p e 2 m 1 w 0 2 w 2 i b w E 0 exp i w t displaystyle vec p frac e 2 m frac 1 omega 0 2 omega 2 mathrm i beta omega vec E 0 exp mathrm i omega t nbsp ergibt Dielektrische Funktion Bearbeiten nbsp Real und Imaginarteil der dielektrischen Funktion in Abhangigkeit von der Kreisfrequenz des treibenden Feldes nbsp Real und Imaginarteil der dielektrischen Funktion im visuellen Bereich fur einen Halbleiter Silicium mit Bandubergangen in diesem Bereich im Gegensatz zum oberen Bild ist hier als horiz Achse die Wellenlange l 2 p c w displaystyle lambda 2 pi frac c omega nbsp aufgetragenMittels des Zusammenhangs zwischen dielektrischer Funktion e w displaystyle varepsilon omega nbsp und der Polarisierbarkeit a w displaystyle alpha omega nbsp e 1 N v e 0 a w N v 3 1 N v e 0 E 0 e exp i w t x t N v 3 displaystyle begin aligned varepsilon amp 1 frac N v varepsilon 0 alpha omega N v 3 amp 1 frac N v frac varepsilon 0 E 0 e frac exp mathrm i omega t x t N v 3 end aligned nbsp erhalt man e w 1 N v e 2 e 0 m 1 w 1 2 w 2 i b w displaystyle varepsilon omega 1 frac N v e 2 varepsilon 0 m cdot frac 1 omega 1 2 omega 2 mathrm i beta omega nbsp mit N v displaystyle N v nbsp Gitteratome pro Volumen Teilchenzahldichte i displaystyle mathrm i nbsp imaginare Einheit w 1 2 w 0 2 1 3 N v e 2 e 0 m displaystyle omega 1 2 omega 0 2 frac 1 3 N v frac e 2 varepsilon 0 m nbsp verschobene Resonanzfrequenz Die dielektrische Funktion lasst sich wie folgt in Realteil e displaystyle varepsilon nbsp und Imaginarteil e displaystyle varepsilon nbsp trennen e w e w i e w displaystyle varepsilon omega equiv varepsilon omega mathrm i varepsilon omega nbsp mit e w 1 N v e 2 e 0 m w 1 2 w 2 w 1 2 w 2 2 b 2 w 2 displaystyle varepsilon omega 1 frac N v e 2 varepsilon 0 m frac omega 1 2 omega 2 omega 1 2 omega 2 2 beta 2 omega 2 nbsp und e w N v e 2 e 0 m b w w 1 2 w 2 2 b 2 w 2 displaystyle varepsilon omega frac N v e 2 varepsilon 0 m frac beta omega omega 1 2 omega 2 2 beta 2 omega 2 nbsp Streuquerschnitt Bearbeiten Der differentielle Wirkungsquerschnitt folgt aus der Larmor Formel zu d s d W 1 16 p 2 e 0 2 1 c 4 p 2 E 0 2 sin 2 8 e 2 4 p e 0 1 m e c 2 2 w 4 w 0 2 w 2 2 b 2 w 2 sin 2 8 displaystyle frac mathrm d sigma mathrm d Omega frac 1 16 pi 2 varepsilon 0 2 frac 1 c 4 frac ddot vec p 2 E 0 2 sin 2 theta left frac e 2 4 pi varepsilon 0 frac 1 m e c 2 right 2 cdot frac omega 4 omega 0 2 omega 2 2 beta 2 omega 2 sin 2 theta nbsp mit dem Winkel zwischen Beobachter und Dipol 8 displaystyle theta nbsp und dem Raumwinkel W displaystyle Omega nbsp Durch Integration uber den Raumwinkel ergibt sich der totale Wirkungsquerschnitt s 1 6 p e 0 2 e 2 m e c 2 2 w 4 w 0 2 w 2 2 b 2 w 2 displaystyle sigma frac 1 6 pi varepsilon 0 2 left frac e 2 m e c 2 right 2 cdot frac omega 4 omega 0 2 omega 2 2 beta 2 omega 2 nbsp Aus dieser Formel ergibt sich mit den Grenzfallen w w 0 displaystyle omega ll omega 0 nbsp die Rayleigh Streuung fur w w 0 displaystyle omega approx omega 0 nbsp die Resonanzfluoreszenz und fur w w 0 displaystyle omega gg omega 0 nbsp die Thomson Streuung Bemerkungen BearbeitenDie Frequenzabhangigkeit der dielektrischen Funktion des Brechungsindex sowie des Absorptionskoeffizienten werden im Wesentlichen korrekt wiedergegeben Reale Materialien weisen stets mehr als nur eine Resonanzfrequenz auf da mehrere elektronische Ubergange existieren Jeder Ubergang liefert gemass seiner Oszillatorstarke einen Beitrag zur elektronischen Polarisierbarkeit Bei Festkorpern spielt die Aufspaltung in Energiebander Bandstruktur eine wichtige Rolle bezuglich der moglichen Ubergange Siehe auch BearbeitenDielektrikumLiteratur BearbeitenK Kopitzki Einfuhrung in die Festkorperphysik Teubner Studienbucher 1993 ISBN 3 519 23083 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lorentz Oszillator amp oldid 236222555
