Der Tragheitstensor Formelzeichen I 8 I displaystyle mathbf I mathbf Theta I Dimension 1 M L SI Einheit 1 kg m eines starren Korpers gibt seine Tragheitsmomente an also den Widerstand des Korpers gegen beschleunigte Drehungen Der Tragheitstensor spielt fur Drehungen eine vergleichbare Rolle wie die Masse fur Translationsbewegungen Er darf nicht verwechselt werden mit dem Flachentragheitsmoment das bei Balkenbiegungen verwendet wird Die Berechnung des Tragheitstensors realer Korper erfordert die Auswertung von Volumenintegralen was entsprechend aufwandig ist Einfacher gestaltet sich die Bestimmung wenn der Korper aus Teilen zusammengesetzt ist deren Tragheitstensor bekannt ist Mit der Regel fur die Tensortransformation bei Drehungen und dem Steiner schen Satz kann dann der Tragheitstensor des Korpers ohne Integrationen ermittelt werden In den Tabellen unten sind zu diesem Zweck die Tragheitstensoren einiger einfacher Korper mit homogener Massenverteilung aufgelistet Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung von Tragheitstensoren 2 Punktmasse 3 Stab Parallelogramm und Quader 4 Kreisscheibe Volltorus und Kugel 5 Dreiecksscheibe und Pyramide 6 Kegel 7 Rohr und Zylinder 8 Beliebige rotationssymmetrische Korper 9 Platonische Korper 10 Beispiel 10 1 Parallelogramm 10 2 Dreieck 10 3 Tetraeder 11 LiteraturBerechnung von Tragheitstensoren BearbeitenIn der Tabelle sind die Tragheitstensoren bezuglich des Ursprungs eines kartesischen Koordinatensystems mit Standardbasis e x y z displaystyle hat e x y z nbsp angegeben die hier wenn nicht anders angegeben mit dem Hauptachsensystem zusammenfallt Sofern der Massenmittelpunkt des Korpers im Ursprung liegt wird der Tragheitstensor mit Is bezeichnet ansonsten mit I0 und besitzt die Darstellungen I 0 I x I y I z I x e x e x I y e y e y I z e z e z V x x 1 x x r d V displaystyle mathbf I 0 begin pmatrix I x amp I y amp amp I z end pmatrix I x hat e x otimes hat e x I y hat e y otimes hat e y I z hat e z otimes hat e z int V vec x cdot vec x mathbf 1 vec x otimes vec x rho mathrm d V nbsp Darin ist V das Volumen des Korpers r die Dichte Ix y z Haupttragheitsmoment x x e x y e y z e z displaystyle vec x x hat e x y hat e y z hat e z nbsp der Ortsvektor mit x y und z Koordinaten das dyadische Produkt und 1 der Einheitstensor Ist g x y z displaystyle hat g x y z nbsp eine andere rechtshandige Orthonormalbasis dann ist J I x g x g x I y g y g y I z g z g z Q I Q displaystyle mathbf J I x hat g x otimes hat g x I y hat g y otimes hat g y I z hat g z otimes hat g z mathbf Q cdot I cdot Q top nbsp der Tragheitstensor mit Hauptachsensystem g x y z displaystyle hat g x y z nbsp Darin ist Q g x e x g y e y g z e z g x g y g z displaystyle mathbf Q hat g x otimes hat e x hat g y otimes hat e y hat g z otimes hat e z begin pmatrix hat g x amp hat g y amp hat g z end pmatrix nbsp ein orthogonaler Tensor In der letzten Darstellung wurden die Basisvektoren als Spaltenvektoren angesetzt Mit dem Steiner schen Satz kann der Tragheitstensor bezuglich eines beliebigen anderen Bezugspunkts berechnet werden I c I s m c c 1 c c displaystyle mathbf I c mathbf I s m vec c cdot vec c mathbf 1 vec c otimes vec c nbsp Darin ist c displaystyle vec c nbsp der Abstandsvektor vom Massenmittelpunkt s der fur die Berechnung von Is verwendet wurde Insbesondere ist hier I 0 I s m s s 1 s s displaystyle mathbf I 0 mathbf I s m vec s cdot vec s mathbf 1 vec s otimes vec s nbsp wenn der Massenmittelpunkt s displaystyle vec s nbsp nicht im Ursprung liegt Von zwei Teilkorpern konnen die Tragheitstensoren addiert werden wenn sie bezuglich desselben Bezugspunkts aufgestellt wurden Tragheitstensoren konnen auch subtrahiert werden wenn das Volumen des dazu gehorenden Teilkorpers ausgespart werden soll Punktmasse BearbeitenEine Punktmasse hat keine Tragheitsmomente bezuglich Achsen auf denen sie liegt Nach dem Steiner schen Satz verursacht sie jedoch Tragheitsmomente wenn sie nicht auf der Drehachse liegt Beschreibung Bild TragheitstensorPunktmasse m bei x r Anm 1 nbsp I 0 m r 2 0 1 1 displaystyle mathbf I 0 mr 2 begin pmatrix 0 amp 1 amp amp 1 end pmatrix nbsp Zwei Punktmassen M und m im Abstand a auf der x Achse und Massenmittelpunkt bei x 0 I s M m M m a 2 0 1 1 displaystyle mathbf I s frac Mm M m a 2 begin pmatrix 0 amp 1 amp amp 1 end pmatrix nbsp Stab Parallelogramm und Quader BearbeitenBeschreibung Bild TragheitstensorSchlanker Stab in x Richtung mit Lange l und Masse m bezuglich eines Endes Anm 1 nbsp I 0 m 3 l 2 0 1 1 displaystyle mathbf I 0 frac m 3 l 2 begin pmatrix 0 amp amp amp 1 amp amp amp 1 end pmatrix nbsp m rAl mit Querschnitt A l Schlanker Stab in x Richtung mit Lange l und Masse m bezuglich seiner Mitte 1 Anm 1 Dieser Tragheitstensor entsteht beim massiven Quader unten mit b h 0 nbsp I s m 12 l 2 0 1 1 displaystyle mathbf I s frac m 12 l 2 begin pmatrix 0 amp amp amp 1 amp amp amp 1 end pmatrix nbsp m rAl mit Querschnitt A l Dunne rechteckige Platte in der xy Ebene mit Lange w in x Richtung Breite h in y Richtung und Masse m Anm 1 Dieser Tragheitstensor entsteht beim massiven Quader unten mit h 0 nbsp I s m 12 h 2 w 2 w 2 h 2 displaystyle mathbf I s frac m 12 begin pmatrix h 2 amp amp amp w 2 amp amp amp w 2 h 2 end pmatrix nbsp m rwhd mit Dicke d w hDunne parallelogramm formige Platte mit Seite l Hohe h Uberhang p und Masse m Mit p 0 entsteht die Rechteckplatte Nur dort sind die Haupttragheitsachsen parallel zu den gewahlten Koordinatenachsen nbsp I s m 12 h 2 h p h p l 2 p 2 h 2 l 2 p 2 displaystyle mathbf I s frac m 12 begin pmatrix h 2 amp hp amp hp amp l 2 p 2 amp amp amp h 2 l 2 p 2 end pmatrix nbsp m rlhd mit Dicke d l hMassiver Quader mit Lange l in x Richtung Breite b in y Richtung Hohe h in z Richtung und Masse m 1 Anm 1 Die Tragheitstensoren dunner Platten oder schlanker Stabe entstehen durch Nullsetzen einer bzw zweier Dimensionen b h oder t nbsp I s m 12 b 2 h 2 l 2 h 2 l 2 b 2 displaystyle mathbf I s frac m 12 begin pmatrix b 2 h 2 amp amp amp l 2 h 2 amp amp amp l 2 b 2 end pmatrix nbsp m rlbh a b c d e Die Ausrichtung der Drehachse ist anders als im Bild dargestellt beliebig Kreisscheibe Volltorus und Kugel BearbeitenBeschreibung Bild TragheitstensorDunner Kreisring mit Radius r und Masse m Dies ist der Spezialfall des Volltorus mit a 0 und des zylindrischen Rohres mit offenen Enden mit r1 r2 sowie h 0 nbsp I s m 2 r 2 1 1 2 displaystyle mathbf I s frac m 2 r 2 begin pmatrix 1 amp amp amp 1 amp amp amp 2 end pmatrix nbsp m r2prA mit Querschnitt A r Dunne Scheibe mit Radius r und Masse m Dies ist der Spezialfall eines massiven Zylinders mit h 0 nbsp I s m 4 r 2 1 1 2 displaystyle mathbf I s frac m 4 r 2 begin pmatrix 1 amp amp amp 1 amp amp amp 2 end pmatrix nbsp m rpr d mit Dicke d rVolltorus mit grossem Kreis in der xy Ebene und Radius b Radius des kleinen Kreises a und Masse m 1 nbsp I s m 8 5 a 2 4 b 2 5 a 2 4 b 2 6 a 2 8 b 2 displaystyle mathbf I s frac m 8 begin pmatrix 5a 2 4b 2 amp amp amp 5a 2 4b 2 amp amp amp 6a 2 8b 2 end pmatrix nbsp 2 m r2p a bKugel mit Radius r und Masse m 1 nbsp I s dunnwandig 2 m 3 r 2 1 m dunnwandig r 4 p r 2 d I s massiv 2 m 5 r 2 1 m massiv r 4 3 p r 3 displaystyle begin aligned mathbf I text s dunnwandig amp frac 2m 3 r 2 mathbf 1 m text dunnwandig amp rho 4 pi r 2 d mathbf I text s massiv amp frac 2m 5 r 2 mathbf 1 m text massiv amp rho frac 4 3 pi r 3 end aligned nbsp Dicke d rHalbkugel Kugel von der xy Ebene halbiert mit Radius r Masse m und Schwerpunktsabstand z 3r 8 von der Schnittebene 1 12 31 I s m r 2 320 83 83 128 m r 2 3 p r 3 displaystyle begin aligned mathbf I text s amp frac mr 2 320 begin pmatrix 83 amp amp amp 83 amp amp amp 128 end pmatrix m amp rho frac 2 3 pi r 3 end aligned nbsp Hohlkugel mit Aussenradius r2 und zentrischem kugelformigen Hohlraum mit Radius r1 sowie Masse m 1 Mit dem Innenradius r1 0 entsteht der Spezialfall der massiven Kugel Aus r1 r2 entsteht wegen lim r 1 r 2 r 2 5 r 1 5 r 2 3 r 1 3 5 3 r 2 2 displaystyle lim limits r 1 to r 2 frac r 2 5 r 1 5 r 2 3 r 1 3 frac 5 3 r 2 2 nbsp der Spezialfall der dunnwandigen Kugel nbsp I s 2 m 5 r 2 5 r 1 5 r 2 3 r 1 3 1 m r 4 3 p r 2 3 r 1 3 displaystyle begin aligned mathbf I s amp frac 2m 5 left frac r 2 5 r 1 5 r 2 3 r 1 3 right mathbf 1 m amp rho frac 4 3 pi r 2 3 r 1 3 end aligned nbsp 3 Massives Ellipsoid mit Halbachsen a b c in x y bzw z Richtung und Masse m Mit a b c entsteht eine massive Kugel mit Radius a nbsp I s m 5 b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 m r 4 3 p a b c displaystyle begin aligned mathbf I s amp frac m 5 begin pmatrix b 2 c 2 amp amp amp a 2 c 2 amp amp amp a 2 b 2 end pmatrix m amp rho frac 4 3 pi abc end aligned nbsp Dreiecksscheibe und Pyramide BearbeitenBeschreibung Bild TragheitstensorDunne Dreiecksscheibe mit Hohe h Grundseite l p q sowie Masse m Nur bei Symmetrie mit p q sind die Haupttragheitsachsen parallel zu den gewahlten Koordinatenachsen nbsp I s m 36 2 h 2 q p h q p h 2 l 2 p q 2 h 2 l 2 p q displaystyle mathbf I s frac m 36 begin pmatrix 2h 2 amp q p h q p h amp 2 l 2 pq amp amp 2 h 2 l 2 pq end pmatrix nbsp m rh p q d mit Dicke d h p qRechteck Pyramide mit Hohe h Breite a in x Richtung Breite b in y Richtung sowie Masse m bezuglich des Schwerpunkts S 1 nbsp m r 3 a b h displaystyle m frac rho 3 abh nbsp I s m 80 4 b 2 3 h 2 4 a 2 3 h 2 4 a 2 4 b 2 displaystyle mathbf I s frac m 80 begin pmatrix 4b 2 3h 2 amp 4a 2 3h 2 amp amp amp 4a 2 4b 2 end pmatrix nbsp Rechteck Pyramide mit Hohe h Breite a in x Richtung Breite b in y Richtung sowie Masse m bezuglich der Spitze O I 0 m 20 b 2 12 h 2 a 2 12 h 2 a 2 b 2 displaystyle mathbf I 0 frac m 20 begin pmatrix b 2 12h 2 amp a 2 12h 2 amp amp amp a 2 b 2 end pmatrix nbsp Kegel BearbeitenBeschreibung Bild TragheitstensorGerader massiver Kreis kegel mit Radius r Hohe h und Masse m bezuglich seines Schwerpunkts 1 nbsp I s 3 m 80 4 r 2 h 2 4 r 2 h 2 8 r 2 m massiv r p 3 r 2 h displaystyle begin aligned mathbf I s amp frac 3m 80 begin pmatrix 4r 2 h 2 amp amp amp 4r 2 h 2 amp amp amp 8r 2 end pmatrix m text massiv amp rho frac pi 3 r 2 h end aligned nbsp Gerader Kreis kegel mit Radius r Hohe h und Masse m bezuglich seiner Spitze 4 nbsp I 0 massiv 3 m 20 r 2 4 h 2 r 2 4 h 2 2 r 2 I 0 dunnwandig m 4 r 2 2 h 2 r 2 2 h 2 2 r 2 m dunnwandig r p r r 2 h 2 d displaystyle begin aligned mathbf I text 0 massiv amp frac 3m 20 begin pmatrix r 2 4h 2 amp amp amp r 2 4h 2 amp amp amp 2r 2 end pmatrix mathbf I text 0 dunnwandig amp frac m 4 begin pmatrix r 2 2h 2 amp amp amp r 2 2h 2 amp amp amp 2r 2 end pmatrix m text dunnwandig amp rho pi r sqrt r 2 h 2 d end aligned nbsp Dicke d r hRohr und Zylinder BearbeitenBeschreibung Bild TragheitstensorMassiver Zylinder mit Radius r Hohe h und Masse m 1 nbsp I s m 12 3 r 2 h 2 3 r 2 h 2 6 r 2 displaystyle mathbf I s frac m 12 begin pmatrix 3r 2 h 2 amp amp amp 3r 2 h 2 amp amp amp 6r 2 end pmatrix nbsp m r p r 2 h displaystyle m rho pi r 2 h nbsp Dickwandiges zylindrisches Rohr mit offenen Enden innerem Radius r1 ausserem Radius r2 Lange h und Masse m 1 nbsp I s m 12 3 d 2 h 2 3 d 2 h 2 6 d 2 d 2 r 1 2 r 2 2 m r p r 2 2 r 1 2 h displaystyle begin aligned mathbf I s amp frac m 12 begin pmatrix 3d 2 h 2 amp amp amp 3d 2 h 2 amp amp amp 6d 2 end pmatrix d 2 amp r 1 2 r 2 2 m amp rho pi r 2 2 r 1 2 h end aligned nbsp Beliebige rotationssymmetrische Korper BearbeitenDie Berechnung des Tragheitstensors mit Volumenintegralen lasst sich bei Rotationskorpern mit dem Tragheitstensor fur die dunne Kreisscheibe und den Steiner schen Satz vereinfachen denn dann kann der Korper aus infinitesimal dunnen Kreisscheiben zusammengesetzt gedacht werden Das Material des Korpers habe die Dichte r seine Figurenachse liege in z Richtung und die erzeugende Kurve sei durch den Radius r z gegeben Die Masse der Kreisscheiben mit Dicke t ist an der Stelle z m z t r p r 2 z t displaystyle m z t rho pi r 2 z t nbsp Um ihren Mittelpunkt hat die Kreisscheibe bei z den Tragheitstensor I s m z t 4 r 2 z m z t 4 r 2 z m z t 2 r 2 z r p 4 r 4 z t 1 1 2 displaystyle mathbf I s begin pmatrix frac m z t 4 r 2 z amp frac m z t 4 r 2 z amp amp frac m z t 2 r 2 z end pmatrix rho frac pi 4 r 4 z t begin pmatrix 1 amp 1 amp amp 2 end pmatrix nbsp Bezuglich des Ursprungs kommt noch der Steiner sche Anteil I z m z t z 2 1 1 0 r p r 2 z z 2 t 1 1 0 displaystyle mathbf I z m z t z 2 begin pmatrix 1 amp 1 amp amp 0 end pmatrix rho pi r 2 z z 2 t begin pmatrix 1 amp 1 amp amp 0 end pmatrix nbsp hinzu Somit entsteht der Tragheitstensor aus dem Integral I 0 r p 4 z 1 z 2 r 4 z d z 1 1 2 r p z 1 z 2 r 2 z z 2 d z 1 1 0 r p 4 z 1 z 2 r 4 z 4 r 2 z z 2 r 4 z 4 r 2 z z 2 2 r 4 z d z displaystyle begin aligned mathbf I 0 amp rho frac pi 4 int z 1 z 2 r 4 z mathrm d z begin pmatrix 1 amp 1 amp amp 2 end pmatrix rho pi int z 1 z 2 r 2 z z 2 mathrm d z begin pmatrix 1 amp 1 amp amp 0 end pmatrix amp rho frac pi 4 int z 1 z 2 begin pmatrix r 4 z 4r 2 z z 2 amp r 4 z 4r 2 z z 2 amp amp 2r 4 z end pmatrix mathrm d z end aligned nbsp uber Kreisscheiben der Dicke dz Der Tragheitstensor fur den geraden Kreiskegel mit Radius r und Hohe h bezuglich seines Massenmittelpunkts entsteht so mit r z 3 4 z h r displaystyle r z left tfrac 3 4 tfrac z h right r nbsp im Intervall h h und seiner Masse m r p 3 r 2 h displaystyle m rho tfrac pi 3 r 2 h nbsp Platonische Korper BearbeitenBei den Platonischen Korpern sind die drei Haupttragheitsmomente gleich In der Tabelle ist d s die gegenuber der Kantenlange s geringe Dicke der Seitenflachen und r die Dichte Beschreibung Bild Tragheitstensor Diagonalelement Regelmassiges Tetraeder mit Kantenlange s und Masse m nbsp I s dunnwandig m 12 s 2 1 m dunnwandig r 3 s 2 d I s massiv m 20 s 2 1 m massiv r 2 12 s 3 displaystyle begin aligned I text s dunnwandig amp frac m 12 s 2 mathbf 1 m text dunnwandig amp rho sqrt 3 s 2 d I text s massiv amp frac m 20 s 2 mathbf 1 m text massiv amp rho frac sqrt 2 12 s 3 end aligned nbsp 5 Der Wurfel ist der Spezialfall des Quaders mit drei gleichen Seiten s nbsp I s m 6 s 2 1 displaystyle mathbf I s frac m 6 s 2 mathbf 1 nbsp m rs3Regelmassiges Oktaeder mit Kantenlange s und Masse m nbsp I s dunnwandig m 6 s 2 1 m dunnwandig r 2 3 s 2 d I s massiv m 10 s 2 1 m massiv r 2 3 s 3 displaystyle begin aligned mathbf I text s dunnwandig amp frac m 6 s 2 mathbf 1 m text dunnwandig amp rho 2 sqrt 3 s 2 d mathbf I text s massiv amp frac m 10 s 2 mathbf 1 m text massiv amp rho frac sqrt 2 3 s 3 end aligned nbsp 5 Regelmassiges Dodekaeder mit Kantenlange s und Masse m nbsp I s dunnwandig m 90 39 ϕ 28 s 2 1 m dunnwandig r 3 15 20 ϕ s 2 d I s massiv m 150 39 ϕ 28 s 2 1 m massiv r 2 4 7 ϕ s 3 displaystyle begin aligned mathbf I text s dunnwandig amp frac m 90 39 phi 28 s 2 mathbf 1 m text dunnwandig amp rho 3 sqrt 15 20 phi s 2 d mathbf I text s massiv amp frac m 150 39 phi 28 s 2 mathbf 1 m text massiv amp frac rho 2 4 7 phi s 3 end aligned nbsp wobei ϕ 1 5 2 displaystyle phi frac 1 sqrt 5 2 nbsp 5 Regelmassiges Ikosaeder mit Kantenlange s und Masse m nbsp I s dunnwandig m 6 ϕ 2 s 2 1 m dunnwandig r 5 3 s 2 d I s massiv m 10 ϕ 2 s 2 1 m massiv r 5 6 1 ϕ s 3 displaystyle begin aligned mathbf I text s dunnwandig amp frac m 6 phi 2 s 2 mathbf 1 m text dunnwandig amp rho 5 sqrt 3 s 2 d mathbf I text s massiv amp frac m 10 phi 2 s 2 mathbf 1 m text massiv amp rho frac 5 6 1 phi s 3 end aligned nbsp wobei ϕ 1 5 2 displaystyle phi frac 1 sqrt 5 2 nbsp 5 Beispiel BearbeitenDer Tragheitstensor von unsymmetrischen Parallelogrammen Dreiecken und daraus des Tetraeders soll berechnet werden Parallelogramm Bearbeiten nbsp Parallelogramm mit Massenmittelpunkt im Ursprung Der Tragheitstensor eines Parallelogramms kann mit den Tragheitstensoren von in x und y Richtung verschobenen Staben berechnet werden siehe Bild Ein Stab in x Richtung der Lange l Breite b Dicke d und Dichte r besitzt den Tragheitstensor I s b r d l 3 12 0 1 1 b displaystyle mathbf I s b rho frac dl 3 12 begin pmatrix 0 amp 1 amp amp 1 end pmatrix b nbsp Wird dieser in den Schwerpunkt bei xs ys verschoben addiert sich der Steiner sche Anteil I x b r d l 0 l 2 12 l 2 12 b r d l x s 2 y s 2 1 x s 2 x s y s x s y s y s 2 0 b r d l y s 2 x s y s x s y s l 2 12 x s 2 l 2 12 x s 2 y s 2 b displaystyle begin aligned mathbf I x b amp rho dl begin pmatrix 0 amp frac l 2 12 amp amp frac l 2 12 end pmatrix b rho dl left x s 2 y s 2 mathbf 1 begin pmatrix x s 2 amp x s y s x s y s amp y s 2 amp amp 0 end pmatrix right b amp rho dl begin pmatrix y s 2 amp x s y s x s y s amp frac l 2 12 x s 2 amp amp frac l 2 12 x s 2 y s 2 end pmatrix b end aligned nbsp Mit xs ys cota im Parallelogramm wird daraus I x b r d l y s 2 y s 2 cot a y s 2 cot a l 2 12 y s 2 cot 2 a l 2 12 y s 2 1 cot 2 a b displaystyle mathbf I x b rho dl begin pmatrix y s 2 amp y s 2 cot alpha y s 2 cot alpha amp frac l 2 12 y s 2 cot 2 alpha amp amp frac l 2 12 y s 2 1 cot 2 alpha end pmatrix b nbsp Integration dieses Tragheitstensors mit Breite b dy uber das Intervall ys h h liefert den Tragheitstensor des Parallelogramms I p h 2 h 2 I x d y r d h l 12 h 2 h 2 cot a h 2 cot a l 2 h 2 cot 2 a l 2 h 2 1 cot 2 a displaystyle mathbf I p int h 2 h 2 mathbf I x mathrm d y rho frac dhl 12 begin pmatrix h 2 amp h 2 cot alpha h 2 cot alpha amp l 2 h 2 cot 2 alpha amp amp l 2 h 2 1 cot 2 alpha end pmatrix nbsp Mit m r d h l und p h cota lautet der Tragheitstensor eines Parallelogramms I p m 12 h 2 h p h p l 2 p 2 h 2 l 2 p 2 displaystyle mathbf I p frac m 12 begin pmatrix h 2 amp hp amp hp amp l 2 p 2 amp amp amp h 2 l 2 p 2 end pmatrix nbsp Nur bei p 0 sind die Hauptachsen parallel zum gewahlten Koordinatensystem und es entsteht der Tragheitstensor der Rechteckplatte Dreieck Bearbeiten nbsp Rechteck aus zwei DreieckenTeilung des Parallelogramms entlang einer Diagonale in zwei Dreiecke mit Masse md mp liefert deren Tragheitstensor bezuglich des Ursprungs I d 0 m d 12 h 2 h p h p l 2 p 2 h 2 l 2 p 2 displaystyle mathbf I d0 frac m d 12 begin pmatrix h 2 amp hp amp hp amp l 2 p 2 amp amp amp h 2 l 2 p 2 end pmatrix nbsp Der Schwerpunkt des Dreiecks gelb liegt im Schwerpunkt seiner Ecken s d 1 3 A B C 1 3 q 2 p q 2 q 2 h 2 h 2 h 2 0 1 6 2 p q h 0 displaystyle vec s d frac 1 3 vec A vec B vec C frac 1 3 begin pmatrix frac q 2 p frac q 2 frac q 2 frac h 2 frac h 2 frac h 2 0 end pmatrix frac 1 6 begin pmatrix 2p q h 0 end pmatrix nbsp Bei Verschiebung des Schwerpunkts in den Ursprung subtrahiert sich der Steiner sche Anteil S m d s d s d 1 s d s d m d 36 h 2 2 p q h 2 p q h 2 p q 2 h 2 2 p q 2 displaystyle mathbf S m d vec s d cdot vec s d mathbf 1 vec s d otimes vec s d frac m d 36 begin pmatrix h 2 amp 2p q h 2p q h amp 2p q 2 amp amp h 2 2p q 2 end pmatrix nbsp woraus der Tragheitstensor eines Dreiecks entsteht I d s I d 0 S m d 36 2 h 2 q p h q p h 2 l 2 p q 2 h 2 l 2 p q displaystyle mathbf I ds mathbf I d0 mathbf S frac m d 36 begin pmatrix 2h 2 amp q p h q p h amp 2 l 2 pq amp amp 2 h 2 l 2 pq end pmatrix nbsp Nur bei Symmetrie mit p q sind die Haupttragheitsachsen parallel zu den gewahlten Koordinatenachsen Die folgenden Spezialfalle sind hervorzuheben Rechtwinklige Dreiecke entstehen mit p q h oder p 0 und q l Gleichschenklige Dreiecke haben p q l Gleichseitige Dreiecke ergeben sich mit p q l und h l Tetraeder Bearbeiten Der Tragheitstensor des regelmassigen Tetraeders kann berechnet werden indem es in gleichseitige Dreiecksscheiben zerlegt wird und deren Tragheitstensoren aufsummiert werden Die Masse einer gleichseitigen Dreiecksscheibe mit Dichte r Kantenlange l Hohe h und Dicke d ist m d r 2 l h d r 3 4 l 2 d displaystyle m d frac rho 2 lhd rho frac sqrt 3 4 l 2 d nbsp Damit lautet der Tragheitstensor I 3 s d m d l 2 24 1 1 2 r 3 96 l 4 1 1 2 d displaystyle mathbf I 3s d frac m d l 2 24 begin pmatrix 1 amp 1 amp amp 2 end pmatrix rho frac sqrt 3 96 l 4 begin pmatrix 1 amp 1 amp amp 2 end pmatrix d nbsp Diese Dreiecksscheibe wird in z Richtung verschoben was durch den Steiner schen Anteil S d m d z 2 1 1 0 displaystyle mathbf S d m d z 2 begin pmatrix 1 amp 1 amp amp 0 end pmatrix nbsp zu berucksichtigen ist Zusammen genommen lautet der Tragheitstensor der Dreiecksscheibe im Abstand z von der xy Ebene I 3 z d I 3 s d S d r 3 4 l 4 24 l 2 z 2 l 4 24 l 2 z 2 l 4 12 d displaystyle begin aligned mathbf I 3z d amp mathbf I 3s d mathbf S d rho frac sqrt 3 4 begin pmatrix frac l 4 24 l 2 z 2 amp frac l 4 24 l 2 z 2 amp amp frac l 4 12 end pmatrix d end aligned nbsp Das Tetraeder hat die Hohe 2 3 l displaystyle sqrt tfrac 2 3 l nbsp und wenn der Schwerpunkt im Ursprung liegt dann ist die Grundseite bei z 0 l 24 displaystyle z 0 tfrac l sqrt 24 nbsp und die gegenuberliegende Ecke bei z 1 3 8 l displaystyle z 1 sqrt tfrac 3 8 l nbsp Daraus ergibt sich die Kantenlange der Dreiecksscheiben in der Hohe z zu l z z 1 z z 1 z 0 l 3 2 3 8 l z displaystyle l z frac z 1 z z 1 z 0 l sqrt frac 3 2 left sqrt frac 3 8 l z right nbsp Mit diesen Definitionen berechnet sich der Tragheitstensor des Tetraeders als Summe von Dreiecksscheiben der Dicke d dz I r 3 4 z 0 z 1 l 4 z 24 l 2 z z 2 l 4 z 24 l 2 z z 2 l 4 z 12 d z m 20 l 2 1 displaystyle mathbf I triangle rho frac sqrt 3 4 int z 0 z 1 begin pmatrix frac l 4 z 24 l 2 z z 2 amp frac l 4 z 24 l 2 z z 2 amp amp frac l 4 z 12 end pmatrix mathrm d z frac m triangle 20 l 2 mathbf 1 nbsp wobei m r 2 12 l 3 displaystyle m triangle rho frac sqrt 2 12 l 3 nbsp seine Masse ist Literatur Bearbeiten a b c d e f g h i j Karl Heinrich Grote Jorg Feldhusen Hrsg Dubbel Taschenbuch fur den Maschinenbau Springer Vieweg Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 38891 0 S B31 doi 10 1007 978 3 642 38891 0 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Eric W Weisstein Moment of Inertia Ring Wolfram Research abgerufen am 14 Dezember 2016 Raymond A Serway Physics for Scientists and Engineers Saunders College Publishing 1986 ISBN 0 03 004534 7 S 202 Ferdinund P Beer und E Russell Johnston Jr Vector Mechanics for Engineers McGraw Hill 1984 ISBN 0 07 004389 2 S 911 a b c d John Satterly The Moments of Inertia of Some Polyhedra In The Mathematical Gazette Band 42 Nr 339 Mathematical Association 1958 S 11 13 doi 10 2307 3608345 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Liste von Tragheitstensoren amp oldid 235947221
