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Inverse Streutransformation Die englisch Inverse Scattering Transformation kurz IST ist ein Verfahren zur exakten Lösung

Inverse Streutransformation

Die Inverse Streutransformation (englisch Inverse Scattering Transformation, kurz IST) ist ein Verfahren zur exakten Lösung von Anfangswertproblemen bestimmter nichtlinearer partieller Differentialgleichungen (Evolutionsgleichungen) wie der Korteweg-de-Vries-Gleichung (KdV), die Solitonen beschreiben.

Geschichte Bearbeiten

Die Inverse Streutransformation wurde 1967 und 1974 von Robert Miura, Martin Kruskal, Clifford Gardner und John Greene (GGKM) veröffentlicht. Wesentliche Beiträge lieferten auch

Anwendung Bearbeiten

Weitere Gleichungen, die mit der Inversen Streutransformation exakt gelöst werden konnten, sind

Die ursprünglich betrachteten Beispiele waren eindimensional im Raum, es gibt aber auch IST für mehrdimensionale Probleme wie die KP-Gleichung; die Benjamin-Ono-Gleichung nimmt eine Stellung zwischen ein- und mehrdimensionalen IST-Schemen ein.

Formulierung Bearbeiten

Die nichtlineare Evolutionsgleichung (NL) sei durch:

für die Funktion mit Anfangswert gegeben (zusätzlich wird angenommen, dass die gesuchten (Solitonen-)Lösungen für große Abstände genügend stark abfallen). Tiefgestellte Indizes sind partielle Ableitungen. Wichtig ist, dass die Nichtlinearitäten der rechten Seite Funktionen von (und dessen räumlichen Ableitungen) sind.

Bei der KdV-Gleichung ist zum Beispiel

Bei der IST wird eine der NL zugeordnete lineare gewöhnliche Differentialgleichung (hier als LODE abgekürzt) betrachtet, die von einem zeitunabhängigen Spektralparameter abhängt und in die die gesuchte Lösung der NL als Potential eingeht. Die LODE beschreibt ein Streuproblem mit Streudaten, die durch den Spektralparameter (die Lösung besteht aus einer endlichen Anzahl gebundener Zustände und dem kontinuierlichen Spektrum), den Reflexionskoeffizienten und die Normierungskonstanten gegeben sind. Man bestimmt die Streudaten-Lösung des Streuproblems für , entwickelt die Streudaten von zu (mithilfe einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung) und löst dann das inverse Streuproblem (mit der Martschenko-Methode bzw. Martschenko-Integralgleichung, manchmal auch zusätzlich nach Israel Gelfand und Boris Levitan benannt), das heißt die Rekonstruktion von aus . Das ist dann die gesuchte Lösung der NL.

Im Fall der KdV-Gleichung ist die zugehörige LODE die Schrödingergleichung:

Um die zur NL gehörige LODE zu bekommen, wird meist die Lax-Methode angewandt, in der es darauf ankommt, die NL als Lax-Paar mit zwei linearen Operatoren , zu formulieren:

und

ist der Kommutator der beiden Operatoren. Dabei beschreibt die Zeitentwicklung von :

Durch die zweite Gleichung im Lax-Paar, die Laxgleichung, ist sichergestellt, dass der Spektralparameter und überhaupt das ganze Spektrum zeitunabhängig ist (ein wichtiger Punkt für die Anwendung der IST), das Problem ist isospektral in der Zeit. Die Laxgleichung entspricht auch der ursprünglichen NL nach Einsetzen von B, L.

Das Lax-Paar für die KdV-Gleichung ist:

ist hier vom Sturm-Liouville-Typ und selbstadjungiert, B ist schief-adjungiert. Einsetzen in die Laxgleichung ergibt die KdV-Gleichung.

Die IST besteht dann aus der Lösung von Gleichung 1 für die Streudaten zur Zeit , die Zeitentwicklung der Streudaten mit Gleichung 2 zur Zeit und der Rücktransformation von den Streudaten zur Zeit auf das Potential zur Zeit .

Bei der KdV-Gleichung ergeben sich die Solitonen aus den endlich vielen gebundenen Zuständen des Streuproblems (das kontinuierliche Spektrum liefert mit der Zeit abklingende Strahlung). Aus der IST bzw. daraus, dass das Spektrum der LODE zeitunabhängig ist, lässt sich auch die Existenz einer unendlichen Anzahl von Erhaltungsgrößen für die KdV ableiten, was die exakte Integrabilität sicherstellt.

Alle bisher bekannten nichtlinearen Evolutionsgleichungen, die mit der IST lösbar sind, lassen eine Reduktion zu einer Gruppe nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen, den Painlevé-Gleichungen, zu. Diese Beobachtung wird als Test für die Anwendung der IST benutzt (Painlevé-Test), und es gibt eine Vermutung von M. Ablowitz, A. Ramani und H. Segur, dass dies immer so ist.

Literatur Bearbeiten

  • M. Ablowitz, H. Segur: Solitons and the Inverse Scattering Transform, SIAM 1981
  • M. Ablowitz, P. Clarkson, Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering, Cambridge University Press, Cambridge, 1991.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Gardner, Greene, Kruskal, Miura, Method for Solving the Korteweg-deVries Equation, Physical Review Letters, Band 19, 1967, S. 1095–1097
  2. Gardner, Greene, Kruskal, Miura, Korteweg-de Vries equation and generalizations VI. Methods for exact solution, Communications on Pure and applied mathematics. Band 27, 1974, S. 97–133
  3. Lax, Integrals of nonlinear equations of evolutions, Comm. Pure Appl. Math., Band 21, 1968, S. 467–490
  4. V. E. Zakharov, A. B. Shabat: Exact Theory of Two-Dimensional Self-Focusing and One-Dimensional Self-Modulation of Waves in Nonlinear Media, Soviet Phys. JETP, Band 34, 1972, S. 62–69.
  5. Zakharov, Shabat, A scheme for integrating the nonlinear equations of mathematical physics by the method of the inverse scattering problem, Funct. Anal. Appl., Band 8, 1974, S. 226–235
  6. Ablowitz, Kaup, Newell, Segur, The inverse scattering transform-Fourier analysis for nonlinear problems, Stud. Appl. Math., Band 53, 1974, S. 249–315
  7. Ablowitz, Science Citation Classics, 1982, PDF-Datei
  8. M.J. Ablowitz, D.J. Kaup, A.C. Newell, H. Segur, Method for Solving the Sine-Gordon Equation, Phys. Rev. Lett., Band 30, 1973, S. 1262–1264
  9. Ähnlich wie in der elementaren quantenmechanischen Streutheorie
  10. Man differenziere zum Beweis Gleichung (1) nach der Zeit und benutzte Gleichung (2). Man erhält als Bedingung für das Verschwinden der zeitlichen Ableitung von die Laxgleichung.
  11. Das führt dazu, wie Lax 1968 zeigte, dass der Zeitentwicklungsoperator (Lösung von Gleichung 2 mit ) unitär ist und , mit der Folge, dass das ganze Spektrum von zeitinvariant ist.
  12. M. Ablowitz, A. Ramani, H. Segur, A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-type, 2 Teile, J. Math. Phys., Band 21, 1980, S. 715–721, 1006–1015
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Veröffentlichungsdatum:
Die Inverse Streutransformation englisch Inverse Scattering Transformation kurz IST ist ein Verfahren zur exakten Losung von Anfangswertproblemen bestimmter nichtlinearer partieller Differentialgleichungen Evolutionsgleichungen wie der Korteweg de Vries Gleichung KdV die Solitonen beschreiben Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Anwendung 3 Formulierung 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseGeschichte BearbeitenDie Inverse Streutransformation wurde 1967 und 1974 von Robert Miura Martin Kruskal Clifford Gardner und John Greene GGKM veroffentlicht 1 2 Wesentliche Beitrage lieferten auch 1968 Peter Lax der eine Operator Formulierung der Methode von GGKM lieferte mit Lax Paaren und der Lax Gleichung 3 Anfang der 1970er Jahre Wladimir Sacharow und Alexei Shabat 4 Anwendung auf die nichtlineare Schrodingergleichung IST in mehreren Raumdimensionen 5 1974 Mark J Ablowitz David J Kaup Alan C Newell und Harvey Segur Zusammenfassung der IST als Fourier Analyse fur nichtlineare Probleme wobei sie auch den Begriff Inverse Streutransformation pragten 6 7 Anwendung BearbeitenWeitere Gleichungen die mit der Inversen Streutransformation exakt gelost werden konnten sind die Gleichung des Toda Gitters Hermann Flaschka die Kadomtsev Petviashvili Gleichung KP Gleichung Zakharov Shabat die Sinus Gordon Gleichung 8 die Benjamin Ono Gleichung eine Integro Differentialgleichung die gewisse Wasserwellen beschreibt Die ursprunglich betrachteten Beispiele waren eindimensional im Raum es gibt aber auch IST fur mehrdimensionale Probleme wie die KP Gleichung die Benjamin Ono Gleichung nimmt eine Stellung zwischen ein und mehrdimensionalen IST Schemen ein Formulierung BearbeitenDie nichtlineare Evolutionsgleichung NL sei durch u t K u displaystyle u t K u nbsp fur die Funktion u t x displaystyle u t x nbsp mit Anfangswert u t 0 x u 0 x displaystyle u t 0 x u 0 x nbsp gegeben zusatzlich wird angenommen dass die gesuchten Solitonen Losungen fur grosse Abstande genugend stark abfallen Tiefgestellte Indizes sind partielle Ableitungen Wichtig ist dass die Nichtlinearitaten der rechten Seite Funktionen von u displaystyle u nbsp und dessen raumlichen Ableitungen sind Bei der KdV Gleichung ist zum Beispiel u t 6 u u x u x x x K u displaystyle u t 6uu x u xxx K u nbsp Bei der IST wird eine der NL zugeordnete lineare gewohnliche Differentialgleichung hier als LODE abgekurzt betrachtet die von einem zeitunabhangigen Spektralparameter l displaystyle lambda nbsp abhangt und in die die gesuchte Losung u t x displaystyle u t x nbsp der NL als Potential eingeht Die LODE beschreibt ein Streuproblem mit Streudaten die durch den Spektralparameter die Losung besteht aus einer endlichen Anzahl gebundener Zustande und dem kontinuierlichen Spektrum den Reflexionskoeffizienten 9 und die Normierungskonstanten gegeben sind Man bestimmt die Streudaten Losung S l t 0 displaystyle S lambda t 0 nbsp des Streuproblems fur t 0 displaystyle t 0 nbsp entwickelt die Streudaten von t 0 displaystyle t 0 nbsp zu t displaystyle t nbsp mithilfe einer linearen gewohnlichen Differentialgleichung und lost dann das inverse Streuproblem mit der Martschenko Methode bzw Martschenko Integralgleichung manchmal auch zusatzlich nach Israel Gelfand und Boris Levitan benannt das heisst die Rekonstruktion von u x t displaystyle u x t nbsp aus S l t displaystyle S lambda t nbsp Das ist dann die gesuchte Losung der NL Im Fall der KdV Gleichung ist die zugehorige LODE die Schrodingergleichung L ps ps x x u x t ps l ps displaystyle L psi psi xx u x t psi lambda psi nbsp Um die zur NL gehorige LODE zu bekommen wird meist die Lax Methode angewandt in der es darauf ankommt die NL als Lax Paar mit zwei linearen Operatoren L t displaystyle L t nbsp B t displaystyle B t nbsp zu formulieren L ps l ps displaystyle L psi lambda psi nbsp Gleichung 1 und d L d t B L displaystyle frac dL dt B L nbsp die Laxgleichung B L B L L B displaystyle B L BL LB nbsp ist der Kommutator der beiden Operatoren Dabei beschreibt B displaystyle B nbsp die Zeitentwicklung von ps displaystyle psi nbsp d ps t d t B t ps t displaystyle frac d psi t dt B t psi t nbsp Gleichung 2 Durch die zweite Gleichung im Lax Paar die Laxgleichung ist sichergestellt dass der Spektralparameter l displaystyle lambda nbsp und uberhaupt das ganze Spektrum zeitunabhangig ist ein wichtiger Punkt fur die Anwendung der IST das Problem ist isospektral in der Zeit 10 Die Laxgleichung entspricht auch der ursprunglichen NL nach Einsetzen von B L Das Lax Paar fur die KdV Gleichung ist L x 2 u displaystyle L partial x 2 u nbsp B 4 x 3 3 u x x u displaystyle B 4 partial x 3 3 u partial x partial x u cdot nbsp L displaystyle L nbsp ist hier vom Sturm Liouville Typ und selbstadjungiert B ist schief adjungiert 11 Einsetzen in die Laxgleichung ergibt die KdV Gleichung Die IST besteht dann aus der Losung von Gleichung 1 fur die Streudaten zur Zeit t 0 displaystyle t 0 nbsp die Zeitentwicklung der Streudaten mit Gleichung 2 zur Zeit t displaystyle t nbsp und der Rucktransformation von den Streudaten zur Zeit t displaystyle t nbsp auf das Potential u displaystyle u nbsp zur Zeit t displaystyle t nbsp Bei der KdV Gleichung ergeben sich die Solitonen aus den endlich vielen gebundenen Zustanden des Streuproblems das kontinuierliche Spektrum liefert mit der Zeit abklingende Strahlung Aus der IST bzw daraus dass das Spektrum der LODE zeitunabhangig ist lasst sich auch die Existenz einer unendlichen Anzahl von Erhaltungsgrossen fur die KdV ableiten was die exakte Integrabilitat sicherstellt Alle bisher bekannten nichtlinearen Evolutionsgleichungen die mit der IST losbar sind lassen eine Reduktion zu einer Gruppe nichtlinearer gewohnlicher Differentialgleichungen den Painleve Gleichungen zu Diese Beobachtung wird als Test fur die Anwendung der IST benutzt Painleve Test und es gibt eine Vermutung von M Ablowitz A Ramani und H Segur dass dies immer so ist 12 Literatur BearbeitenM Ablowitz H Segur Solitons and the Inverse Scattering Transform SIAM 1981 M Ablowitz P Clarkson Solitons Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering Cambridge University Press Cambridge 1991 Weblinks BearbeitenRoger Grimshaw Korteweg de Vries equation Encycl Nonlinear Science pdfEinzelnachweise Bearbeiten Gardner Greene Kruskal Miura Method for Solving the Korteweg deVries Equation Physical Review Letters Band 19 1967 S 1095 1097 Gardner Greene Kruskal Miura Korteweg de Vries equation and generalizations VI Methods for exact solution Communications on Pure and applied mathematics Band 27 1974 S 97 133 Lax Integrals of nonlinear equations of evolutions Comm Pure Appl Math Band 21 1968 S 467 490 V E Zakharov A B Shabat Exact Theory of Two Dimensional Self Focusing and One Dimensional Self Modulation of Waves in Nonlinear Media Soviet Phys JETP Band 34 1972 S 62 69 Zakharov Shabat A scheme for integrating the nonlinear equations of mathematical physics by the method of the inverse scattering problem Funct Anal Appl Band 8 1974 S 226 235 Ablowitz Kaup Newell Segur The inverse scattering transform Fourier analysis for nonlinear problems Stud Appl Math Band 53 1974 S 249 315 Ablowitz Science Citation Classics 1982 PDF Datei M J Ablowitz D J Kaup A C Newell H Segur Method for Solving the Sine Gordon Equation Phys Rev Lett Band 30 1973 S 1262 1264 Ahnlich wie in der elementaren quantenmechanischen Streutheorie Man differenziere zum Beweis Gleichung 1 nach der Zeit und benutzte Gleichung 2 Man erhalt als Bedingung fur das Verschwinden der zeitlichen Ableitung von l displaystyle lambda nbsp die Laxgleichung Das fuhrt dazu wie Lax 1968 zeigte dass der Zeitentwicklungsoperator U t displaystyle U t nbsp Losung von Gleichung 2 mit U 0 1 displaystyle U 0 1 nbsp unitar ist und L 0 U 1 t L t U t displaystyle L 0 U 1 t L t U t nbsp mit der Folge dass das ganze Spektrum von L displaystyle L nbsp zeitinvariant ist M Ablowitz A Ramani H Segur A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P type 2 Teile J Math Phys Band 21 1980 S 715 721 1006 1015 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Inverse Streutransformation amp oldid 203194199