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Toda Gitter Das benannt nach Morikazu Toda ist ein einfaches Modell eines eindimensionalen Kristalls in der Festkörperph

Toda-Gitter

Das Toda-Gitter, benannt nach Morikazu Toda, ist ein einfaches Modell eines eindimensionalen Kristalls in der Festkörperphysik. Es modelliert eine lineare Kette von Teilchen, in der nur nächste Nachbarn miteinander wechselwirken, durch die zugehörige Bewegungsgleichung:

Dabei ist

Das Toda-Gitter ist ein Beispiel eines vollständig integrablen Systems mit Solitonenlösungen. Um das zu sehen, verwendet man Flaschka-Variablen

in denen das Toda-Gitter gegeben ist durch:

Dann kann man nachrechnen, dass das Toda-Gitter äquivalent ist zur Lax-Gleichung:

Hierbei bezeichnet den Kommutator zweier Operatoren und . Diese, das Lax-Paar, sind lineare Operatoren im Hilbertraum der quadratsummierbaren Folgen , die gegeben sind durch:

Insbesondere kann das Toda-Gitter mithilfe der inversen Streutransformation (IST) für den Jacobi-Operator gelöst werden. Das zentrale Ergebnis besagt, dass sich beliebige, genügend stark abfallende Anfangsbedingungen asymptotisch für große Zeiten in eine Summe von Solitonen und einen abklingenden dispersiven Anteil aufteilen.

Literatur Bearbeiten

  • G. Teschl, Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices, Mathematical Surveys and Monographs 72, Amer. Math. Soc., Providence, 2000. ISBN 0-8218-1940-2 (freie Online-Version)
  • M. Toda, Theory of Nonlinear Lattices, 2te Auflage, Springer, Berlin, 1989. ISBN 978-0387102245

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Das Toda Gitter benannt nach Morikazu Toda ist ein einfaches Modell eines eindimensionalen Kristalls in der Festkorperphysik Es modelliert eine lineare Kette von Teilchen in der nur nachste Nachbarn miteinander wechselwirken durch die zugehorige Bewegungsgleichung d d t p n t e q n t q n 1 t e q n 1 t q n t d d t q n t p n t displaystyle begin aligned frac mathrm d mathrm d t p n t amp e left q n t q n 1 t right e left q n 1 t q n t right frac mathrm d mathrm d t q n t amp p n t end aligned Dabei ist p n t displaystyle p n t der Impuls des n displaystyle n ten Teilchens die Masse ist hierbei normiert zu m 1 displaystyle m 1 q n t displaystyle q n t die Auslenkung des Teilchens aus der Ruhelage Das Toda Gitter ist ein Beispiel eines vollstandig integrablen Systems mit Solitonenlosungen Um das zu sehen verwendet man Flaschka Variablen a n t 1 2 e q n 1 t q n t 2 b n t 1 2 p n t displaystyle begin aligned a n t amp frac 1 2 cdot rm e left q n 1 t q n t right 2 b n t amp frac 1 2 cdot p n t end aligned in denen das Toda Gitter gegeben ist durch d d t a n t a n t b n 1 t b n t d d t b n t 2 a n t 2 a n 1 t 2 displaystyle begin aligned frac mathrm d mathrm d t a n t amp a n t cdot Big b n 1 t b n t Big frac mathrm d mathrm d t b n t amp 2 cdot Big a n t 2 a n 1 t 2 Big end aligned Dann kann man nachrechnen dass das Toda Gitter aquivalent ist zur Lax Gleichung d d t L t P t L t displaystyle Leftrightarrow frac mathrm d mathrm d t L t P t L t Hierbei bezeichnet P L P L L P displaystyle P L PL LP den Kommutator zweier Operatoren L displaystyle L und P displaystyle P Diese das Lax Paar sind lineare Operatoren im Hilbertraum der quadratsummierbaren Folgen ℓ 2 Z displaystyle ell 2 mathbb Z die gegeben sind durch L t f n a n t f n 1 a n t f n 1 b n t f n P t f n a n t f n 1 a n t f n 1 displaystyle begin aligned L t f n amp a n t f n 1 a n t f n 1 b n t f n P t f n amp a n t f n 1 a n t f n 1 end aligned Insbesondere kann das Toda Gitter mithilfe der inversen Streutransformation IST fur den Jacobi Operator L displaystyle L gelost werden Das zentrale Ergebnis besagt dass sich beliebige genugend stark abfallende Anfangsbedingungen asymptotisch fur grosse Zeiten t displaystyle t in eine Summe von Solitonen und einen abklingenden dispersiven Anteil aufteilen Literatur BearbeitenG Teschl Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices Mathematical Surveys and Monographs 72 Amer Math Soc Providence 2000 ISBN 0 8218 1940 2 freie Online Version M Toda Theory of Nonlinear Lattices 2te Auflage Springer Berlin 1989 ISBN 978 0387102245Weblinks BearbeitenE W Weisstein Toda Lattice auf ScienceWorld G Teschl The Toda Lattice Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Toda Gitter amp oldid 213653239