In der Mathematik ist Heegaard Floer Homologie eine Invariante einer geschlossenen Spinc 3 Mannigfaltigkeit Y displaystyle Y Sie wird mittels Heegaard Zerlegung von Y displaystyle Y durch Lagrange Floer Homologie konstruiert Man erhalt mehrere Homologiegruppen die durch exakte Sequenzen miteinander in Beziehung stehen Die Heegaard Floer Homologie wurde in einer langen Serie von Arbeiten von Peter Ozsvath und Zoltan Szabo entwickelt Mittels Konstruktion geeigneter Filtrierungen lassen sich Invarianten konstruieren Ein Beispiel hierfur ist die zu einem Knoten K displaystyle K in einer 3 Mannigfaltigkeit Y displaystyle Y assoziierte Knotenhomologie Ein weiteres Beispiel ist die sogenannte Kontakthomologie eine Invariante von Kontaktstrukturen Heegaard Floer Homologie kann algorithmisch berechnet werden 1 Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 1 1 Vorbereitungen 1 2 Definition fur rationale Homologiespharen 1 3 Definition fur allgemeine 3 Mannigfaltigkeiten 2 Berechnungen 2 1 Beispiele 2 2 Surgery exact triangle 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseKonstruktion BearbeitenVorbereitungen Bearbeiten Sei Y displaystyle Y nbsp eine geschlossene orientierbare 3 Mannigfaltigkeit und Y H 1 S H 2 displaystyle Y H 1 cup Sigma H 2 nbsp eine Heegaard Zerlegung von Y displaystyle Y nbsp mit Heegaard Flache S g displaystyle Sigma g nbsp und Heegaard Diagramm a 1 a g b 1 b g displaystyle alpha 1 ldots alpha g beta 1 ldots beta g nbsp Betrachte das symmetrische Produkt Sym g S g S g S g S g displaystyle operatorname Sym g Sigma g Sigma g times ldots times Sigma g S g nbsp wobei S g displaystyle S g nbsp die auf dem Produkt von g displaystyle g nbsp identischen Faktoren wirkende symmetrische Gruppe auf g displaystyle g nbsp Elementen ist Es ist eine glatte Mannigfaltigkeit und eine komplexe Struktur auf S g displaystyle Sigma g nbsp induziert eine komplexe Struktur auf dem symmetrischen Produkt Aus dem Heegaard Diagramm a 1 a g b 1 b g displaystyle alpha 1 ldots alpha g beta 1 ldots beta g nbsp erhalt man zwei total reelle g displaystyle g nbsp dimensionale Tori T a a 1 a g T b b 1 b g displaystyle T alpha alpha 1 times ldots times alpha g T beta beta 1 times ldots times beta g nbsp in der komplexen Mannigfaltigkeit Sym g S g displaystyle operatorname Sym g Sigma g nbsp Fur zwei Schnittpunkte x y T a T b displaystyle x y in T alpha cap T beta nbsp wahle man zwei verbindende Wege a T a b T b displaystyle a subset T alpha b subset T beta nbsp Die Differenz a b displaystyle a b nbsp ist eine Schleife in Sym g S g displaystyle operatorname Sym g Sigma g nbsp und reprasentiert also ein Element ϵ x y H 1 Sym g S g H 1 T a H 1 T b H 1 Y displaystyle epsilon x y in H 1 operatorname Sym g Sigma g H 1 T alpha oplus H 1 T beta cong H 1 Y nbsp Mittels Morse Theorie kann man zu einem gewahlten Basispunkt z S g a 1 b g displaystyle z in Sigma g setminus alpha 1 cup ldots cup beta g nbsp jedem Schnittpunkt x T a T b displaystyle x in T alpha cap T beta nbsp eine Spinc Struktur und damit ein der Spinc Struktur eindeutig entsprechendes Element s z x H 2 Y displaystyle s z x in H 2 Y nbsp zuordnen so dass fur alle Paare von Schnittpunkten jeweils s z x s z y displaystyle s z x s z y nbsp Poincare dual zu ϵ x y displaystyle epsilon x y nbsp ist 2 Bezeichne p 2 x y displaystyle pi 2 x y nbsp die Menge der Homotopieklassen von Abbildungen u D 2 Sym g S g displaystyle u colon D 2 to operatorname Sym g Sigma g nbsp die i displaystyle i nbsp und i displaystyle i nbsp auf x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp sowie die Kreisbogen S 1 z Re z 0 displaystyle S 1 cap left z colon operatorname Re z geq 0 right nbsp nach T a displaystyle T alpha nbsp und S 1 z Re z 0 displaystyle S 1 cap left z colon operatorname Re z leq 0 right nbsp nach T b displaystyle T beta nbsp abbilden sogenannten Whitney Scheiben Fur ϕ p 2 x y displaystyle phi in pi 2 x y nbsp der Modulraum der holomorphen Abbildungen in dieser Homotopieklasse den man mittels kleiner Storungen als glatte Mannigfaltigkeit realisieren kann Er kommt mit einer R displaystyle mathbb R nbsp Wirkung durch die R displaystyle mathbb R nbsp Wirkung mittels i displaystyle i nbsp und i displaystyle i nbsp erhaltender komplexer Automorphismen von D 2 displaystyle D 2 nbsp Bezeichne M ϕ M ϕ R displaystyle widehat M phi M phi mathbb R nbsp Mit dem Atiyah Singer Indexsatz kann man m ϕ dim M ϕ displaystyle mu phi dim M phi nbsp berechnen Weiter sei n z ϕ displaystyle n z phi nbsp zu dem gewahlten Basispunkt z displaystyle z nbsp die Schnittzahl von ϕ displaystyle phi nbsp mit z Sym g 1 S g displaystyle left z right times operatorname Sym g 1 Sigma g nbsp Schliesslich definieren wir c ϕ displaystyle c phi nbsp als die mit Vorzeichen gezahlte Anzahl von Punkten in M ϕ displaystyle widehat M phi nbsp falls m ϕ 1 displaystyle mu phi 1 nbsp und c ϕ 0 displaystyle c phi 0 nbsp falls m ϕ 0 displaystyle mu phi not 0 nbsp Definition fur rationale Homologiespharen Bearbeiten Sei Y displaystyle Y nbsp eine rationale Homologiesphare d h H 1 Y displaystyle H 1 Y nbsp ist endlich Gegeben sei wie oben eine Heegaard Zerlegung ein Basispunkt z displaystyle z nbsp und eine einem eindeutigen Element aus H 2 Y displaystyle H 2 Y nbsp entsprechende Spinc Struktur t displaystyle mathfrak t nbsp Sei C F displaystyle widehat CF nbsp die freie abelsche Gruppe erzeugt von den Punkten x T a T b displaystyle x in T alpha cap T beta nbsp mit s z x t displaystyle s z x mathfrak t nbsp Definieren den Randoperator C F C F displaystyle partial colon widehat CF to widehat CF nbsp durch x S y T a T b ϕ p 2 x y s z y t n z y 0 c ϕ y displaystyle partial x Sigma y in T alpha cap T beta phi in pi 2 x y mid s z y mathfrak t n z y 0 c phi y nbsp Die Heegaard Floer Homologie H F displaystyle widehat HF nbsp ist definiert als die Homologie von C F displaystyle widehat CF partial nbsp Ozsvath Szabo beweisen dass H F displaystyle widehat HF nbsp nicht von der Wahl der Heegaard Zerlegung des Basispunktes der komplexen Struktur und der Storungen abhangt und somit tatsachlich eine Invariante H F Y t displaystyle widehat HF Y mathfrak t nbsp definiert Man definiert H F Y t H 2 Y H F Y t displaystyle widehat HF Y bigoplus mathfrak t in H 2 Y widehat HF Y mathfrak t nbsp Die Homologiegruppen haben eine relative Gradierung durch g r x y m ϕ 2 n z ϕ displaystyle gr x y mu phi 2n z phi nbsp fur ein beliebiges z p x y displaystyle z in pi x y nbsp Weiter sei C F displaystyle CF infty nbsp die freie abelsche Gruppe erzeugt von Paaren x i displaystyle left x i right nbsp aus x T a T b i Z displaystyle x in T alpha cap T beta i in mathbb Z nbsp mit s z x t displaystyle s z x mathfrak t nbsp Sei C F displaystyle CF nbsp der von Paaren x i displaystyle left x i right nbsp mit i lt 0 displaystyle i lt 0 nbsp erzeugte Unterkomplex und C F C F C F displaystyle CF CF infty CF nbsp Man definiert eine relative Gradierung durch g r x i y j g r x y 2 i j displaystyle gr left x i right left y j right gr x y 2 i j nbsp und einen Randoperator durch x i S y T a T b S ϕ p 2 x y c ϕ y i n z ϕ displaystyle partial left x i right Sigma y in T alpha cap T beta Sigma phi in pi 2 x y c phi left y i n z phi right nbsp Die Gruppen H F H F H F displaystyle HF infty HF HF nbsp werden definiert als die Homologiegruppen der Komplexe C F C F C F displaystyle CF infty CF CF nbsp mit dem Randoperator displaystyle partial nbsp Ozsvath Szabo beweisen dass fur rationale Homologiespharen H F displaystyle HF infty nbsp stets isomorph zu Z U U 1 displaystyle mathbb Z left U U 1 right nbsp fur den durch U x i x i 1 displaystyle U left x i right left x i 1 right nbsp gegebenen Morphismus von C F displaystyle CF infty nbsp ist und dass die Homologiegruppen H F displaystyle HF pm nbsp nicht von der Wahl der Heegaard Zerlegung des Basispunktes der komplexen Struktur und der Storungen abhangen also tatsachlich Invarianten H F Y t displaystyle HF pm Y mathfrak t nbsp der rationalen Homologiesphare Y displaystyle Y nbsp und einer Spinc Struktur t displaystyle mathfrak t nbsp definieren Schliesslich definiert man H F Y t H 2 Y H F Y t displaystyle HF Y bigoplus mathfrak t in H 2 Y HF Y mathfrak t nbsp Definition fur allgemeine 3 Mannigfaltigkeiten Bearbeiten Fur 3 Mannigfaltigkeiten mit b 1 Y 0 displaystyle b 1 Y not 0 nbsp ist p 2 x y displaystyle pi 2 x y nbsp grosser und man hat in der Definition des Randoperators unendlich viele Homotopieklassen mit m ϕ 1 displaystyle mu phi 1 nbsp Man kann beweisen dass es nur in endlich vielen dieser Homotopieklassen holomorphe Scheiben gibt weshalb man wieder eine endliche Summe erhalt Dafur muss man sich aber auf spezielle Heegaard Diagramme einschranken Mit dieser Einschrankung funktionieren die Definitionen genau wie im Fall rationaler Homologiespharen Die verschiedenen Homologiegruppen hangen uber naturliche lange exakte Sequenzen miteinander zusammen H F Y t H F Y t H F Y t displaystyle ldots rightarrow HF Y mathfrak t rightarrow HF infty Y mathfrak t rightarrow HF Y mathfrak t rightarrow ldots nbsp und mit dem oben definierten Morphismus U H F Y t H F Y t displaystyle U colon HF infty Y mathfrak t to HF infty Y mathfrak t nbsp H F Y t H F Y t H F Y t displaystyle ldots rightarrow widehat HF Y mathfrak t rightarrow HF Y mathfrak t rightarrow HF Y mathfrak t rightarrow ldots nbsp Berechnungen BearbeitenBeispiele Bearbeiten Fur Y S 3 displaystyle Y S 3 nbsp ist H F Y Z U U 1 Z U displaystyle HF Y mathbb Z left U U 1 right mathbb Z left U right nbsp und H F Y Z displaystyle widehat HF Y mathbb Z nbsp Ein L Raum ist eine rationale Homologiesphare Y displaystyle Y nbsp fur die H F Y displaystyle widehat HF Y nbsp eine freie abelsche Gruppe vom Rang H 2 Y displaystyle sharp H 2 Y nbsp ist Dies ist der Fall fur S 3 displaystyle S 3 nbsp und alle Linsenraume Fur die Brieskorn Sphare Y S 2 3 5 displaystyle Y Sigma 2 3 5 nbsp ist H F k Y Z displaystyle HF k Y mathbb Z nbsp fur gerade k 2 displaystyle k geq 2 nbsp und H F k Y 0 displaystyle HF k Y 0 nbsp sonst Fur die Brieskorn Sphare Y S 2 3 7 displaystyle Y Sigma 2 3 7 nbsp ist H F k Y Z displaystyle HF k Y mathbb Z nbsp fur k 1 displaystyle k 1 nbsp und gerade k 0 displaystyle k geq 0 nbsp und H F k Y 0 displaystyle HF k Y 0 nbsp sonst Surgery exact triangle Bearbeiten Sei K displaystyle K nbsp ein Knoten in einer geschlossenen orientierbaren 3 Mannigfaltigkeit Y displaystyle Y nbsp mit Meridian m displaystyle m nbsp und einer Longitude l displaystyle l nbsp Sei Y 0 displaystyle Y 0 nbsp die durch l displaystyle l nbsp Chirurgie an K displaystyle K nbsp und Y 1 displaystyle Y 1 nbsp die durch m l displaystyle m l nbsp Chirurgie an K displaystyle K nbsp erhaltene 3 Mannigfaltigkeit Dann hat man exakte Sequenzen H F Y H F Y 0 H F Y 1 displaystyle ldots widehat HF Y rightarrow widehat HF Y 0 rightarrow widehat HF Y 1 rightarrow ldots nbsp und H F Y H F Y 0 H F Y 1 displaystyle ldots HF Y rightarrow HF Y 0 rightarrow HF Y 1 rightarrow ldots nbsp Literatur BearbeitenOzsvath Szabo Holomorphic disks and invariants for closed 3 manifolds Ann of Math 2 159 2004 no 3 1027 1158 Ozsvath Szabo Holomorphic disks and three manifold invariants properties and applications Ann of Math 2 159 2004 no 3 1159 1245 Weblinks BearbeitenOzsvath Szabo An introduction to Heegaard Floer homology Ozsvath Szabo Lectures on Heegaard Floer homology J E Greene Heegaard Floer homology Notices of the AMS Januar 2021 Why should I care about Heegaard Floer theory mathoverflow Einzelnachweise Bearbeiten S Sarkar J Wang An algorithm for computing some Heegaard Floer homologies Ann Math 2 171 No 2 1213 1236 2010 P Ozsvath Z Szabo Holomorphic disks and invariants for closed three manifolds Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Heegaard Floer Homologie amp oldid 221849518
