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Darcy Gesetz Das auch Darcy Gleichung benannt nach dem französischen Ingenieur Henry Darcy ist eine empirisch ermittelte

Darcy-Gesetz

Das Darcy-Gesetz (auch Darcy-Gleichung), benannt nach dem französischen Ingenieur Henry Darcy, ist eine empirisch ermittelte Gesetzmäßigkeit der Strömungsmechanik. Sie wurde 1856 im Zusammenhang mit der von Darcy konzipierten Wassergewinnungsanlage für die Stadt Dijon veröffentlicht. Lange Zeit war nicht klar, warum das Darcy-Gesetz funktioniert und woraus es herzuleiten ist. Heute weiß man, dass es sich dabei um eine spezielle Lösung der Navier-Stokes-Gleichung handelt.

Definition Bearbeiten

Das Darcy-Gesetz besagt, dass die Wassermenge (Durchflussrate in m³/s), die die gesamte Querschnittsfläche (Porenraum + Matrix) eines porösen Mediums (z. B. Sand) laminar durchströmt, direkt proportional ist zum hydraulischen Gradienten :

  • Der Begriff Filtergeschwindigkeit ist historisch gewachsen; tatsächlich handelt es sich um einen flächenbezogenen Durchfluss (englisch specific discharge), der eben die Einheit einer Geschwindigkeit aufweist: Er wird auch Volumenflussdichte genannt.
  • Der Proportionalitätsfaktor ist der Durchlässigkeitsbeiwert.
  • Das Minuszeichen bringt zum Ausdruck, dass die Strömung in Richtung fallender Standrohrspiegelhöhen erfolgt.

Die restlichen beiden Größen der Darcy-Gleichung werden in den folgenden Unterkapiteln erläutert.

Durchlässigkeitsbeiwert Bearbeiten

Der Proportionalitätsfaktor des Darcy-Gesetzes, der Durchlässigkeitsbeiwert , ist ein dimensionsbehafteter Kennwert (Einheit m/s), der durch Laborversuche bestimmt werden kann (Durchlässigkeitsversuch). Er ist nicht nur von der Porengeometrie abhängig, sondern auch von der Dichte (in kg/m³) und der dynamischen Viskosität (in Ns/m²) des durchströmenden Fluids, z. B. Wasser bei 10 °C oder Erdöl im Boden (Petrochemie):

Darin ist:

  • die (intrinsische) Permeabilität (Einheit m²), ein vom durchströmenden Medium unabhängiger Kennwert für die Durchlässigkeit eines porösen Mediums; oft auch angegeben in der Einheit Darcy.
  • die Schwerebeschleunigung

Hydraulischer Gradient Bearbeiten

Der dimensionslose hydraulische Gradient (auch hydraulisches oder Potentialgefälle genannt) ist im Allgemeinen, wie die Filtergeschwindigkeit vf auch, eine vektorielle Größe und somit gerichtet. Er ergibt sich aus der örtlichen Ableitung der Standrohrspiegelhöhe (Piezometerhöhe) h(x) in die einzelnen Koordinatenrichtungen x:

In der Grundwasserhydrologie wird der hydraulische Gradient zwischen zwei Punkten B und C mit dem Abstand L voneinander entlang der Fließstrecke häufig linear angenommen:

Transportgeschwindigkeit Bearbeiten

Die Transportgeschwindigkeit von Wasserteilchen (oder vollständig gelösten Wasserinhaltsstoffen) wird durch die Abstandsgeschwindigkeit beschrieben, die gebildet wird als Quotient der Filtergeschwindigkeit und der effektiven Porosität :

Da kleiner als eins ist, ist die Abstandsgeschwindigkeit und damit auch die Transportgeschwindigkeit größer als die Filtergeschwindigkeit.

Nicht-lineare Bereiche Bearbeiten

Die von Darcy ermittelte Proportionalität von Geschwindigkeit und hydraulischem Gradienten lässt sich in Experimenten nicht immer beobachten.

Wenn beispielsweise die Geschwindigkeiten in den Poren so groß werden, dass keine laminare, sondern eine turbulente Strömung vorherrscht, erfolgt infolge erhöhter Dissipation ein stärkerer Potentialabbau, eine Auftragung zwischen Fließgeschwindigkeit und Gradient wird in diesem Bereich nicht-linearer. Um die turbulenten Effekte zu berücksichtigen, wurde die Darcy-Gleichung von Philipp Forchheimer um einen Term zur Forchheimer-Gleichung erweitert.

Ähnliche nicht-lineare Effekte gibt es auch bei sehr geringen Gradienten. Dann können Oberflächenkräfte dominieren, so dass eine nichtlineare Abnahme der Filtergeschwindigkeit mit fallendem Gradienten beobachtet werden kann.

Durchströmung nicht-mischbarer Fluide Bearbeiten

Das Darcy-Gesetz gilt streng genommen nicht, wenn sich in den Poren mehrere Fluide aufhalten und bewegen können. Wie stark der Einfluss ist, hängt von der Viskosität der beteiligten Fluide ab. Dies kann z. B. bei der Verlagerung von nicht mischbaren Flüssigkeiten (LNAPL oder DNAPL) im Grundwasser eintreten.

Bei der Versickerung von Niederschlägen im Boden kann man häufig davon ausgehen, dass die Luft hinreichend schnell entweichen kann und stets Atmosphärendruck in der Gasphase herrscht. Dieser Strömungsprozess wird häufig analog zum Darcy-Gesetz beschrieben, allerdings mit einem von der Wassersättigung abhängigen kf-Wert (teilgesättigte Strömung).

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Christoph Adam, Walter Gläßer, Bernward Hölting: Hydrogeologisches Wörterbuch. Enke Verlag, Stuttgart/ New York 2000, ISBN 3-13-118271-7.
  • Jacob Bear: Dynamics of fluids in Porous Media. Dover Publications, New York 1972, ISBN 0-444-00114-X.
  • Karl-Franz Busch, Ludwig Luckner, Klaus Tiemer: Geohydraulik. (= Lehrbuch der Hydrogeologie. Band 3). 3. Auflage. Gebrüder Borntraeger, Berlin/ Stuttgart 1993, ISBN 3-443-01004-0.
  • W. Kinzelbach, R. Rausch: Grundwassermodellierung. Medienkombination. Bornträger, Berlin/ Stuttgart 1995, ISBN 3-443-01032-6.
  • R. Allan Freeze, John A. Cherry: Groundwater. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. 1979, ISBN 0-13-365312-9.
  • Hanspeter Jordan, Hans-Jörg Weder: Hydrogeologie. Grundlagen und Methoden. Enke, Stuttgart 1995, ISBN 3-432-26882-3.
  • Amin F. Zarandi, Krishna M. Pillai, Adam S. Kimmel: Spontaneous imbibition of liquids in glass-fiber wicks. Part I: Usefulness of a sharp-front approach. In: American Institute of Chemical Engineers AIChE Journal. Band 63, 2018, S. 294–305. doi:10.1002/aic.15965
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Veröffentlichungsdatum:
Das Darcy Gesetz auch Darcy Gleichung benannt nach dem franzosischen Ingenieur Henry Darcy ist eine empirisch ermittelte Gesetzmassigkeit der Stromungsmechanik Sie wurde 1856 im Zusammenhang mit der von Darcy konzipierten Wassergewinnungsanlage fur die Stadt Dijon veroffentlicht Lange Zeit war nicht klar warum das Darcy Gesetz funktioniert und woraus es herzuleiten ist Heute weiss man dass es sich dabei um eine spezielle Losung der Navier Stokes Gleichung handelt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Durchlassigkeitsbeiwert 1 2 Hydraulischer Gradient 2 Transportgeschwindigkeit 3 Nicht lineare Bereiche 4 Durchstromung nicht mischbarer Fluide 5 Siehe auch 6 LiteraturDefinition BearbeitenDas Darcy Gesetz besagt dass die Wassermenge Q displaystyle Q nbsp Durchflussrate in m s die die gesamte Querschnittsflache A displaystyle A nbsp Porenraum Matrix eines porosen Mediums z B Sand laminar durchstromt direkt proportional ist zum hydraulischen Gradienten i displaystyle i nbsp Q A v f k f i displaystyle frac Q A v mathrm f k mathrm f cdot i nbsp Der Begriff Filtergeschwindigkeit v f displaystyle v mathrm f nbsp ist historisch gewachsen tatsachlich handelt es sich um einen flachenbezogenen Durchfluss englisch specific discharge der eben die Einheit einer Geschwindigkeit aufweist m 3 s m 2 m s displaystyle mathrm frac m 3 s cdot m 2 frac m s nbsp Er wird auch Volumenflussdichte genannt Der Proportionalitatsfaktor k f displaystyle k mathrm f nbsp ist der Durchlassigkeitsbeiwert Das Minuszeichen bringt zum Ausdruck dass die Stromung in Richtung fallender Standrohrspiegelhohen erfolgt Die restlichen beiden Grossen der Darcy Gleichung werden in den folgenden Unterkapiteln erlautert Durchlassigkeitsbeiwert Bearbeiten Der Proportionalitatsfaktor des Darcy Gesetzes der Durchlassigkeitsbeiwert k f displaystyle k mathrm f nbsp ist ein dimensionsbehafteter Kennwert Einheit m s der durch Laborversuche bestimmt werden kann Durchlassigkeitsversuch Er ist nicht nur von der Porengeometrie abhangig sondern auch von der Dichte r F displaystyle rho mathrm F nbsp in kg m und der dynamischen Viskositat h F displaystyle eta mathrm F nbsp in Ns m des durchstromenden Fluids z B Wasser bei 10 C oder Erdol im Boden Petrochemie k f K r F h F g displaystyle k mathrm f K frac rho mathrm F eta mathrm F g nbsp Darin ist K displaystyle K nbsp die intrinsische Permeabilitat Einheit m ein vom durchstromenden Medium unabhangiger Kennwert fur die Durchlassigkeit eines porosen Mediums oft auch angegeben in der Einheit Darcy g displaystyle g nbsp die SchwerebeschleunigungHydraulischer Gradient Bearbeiten Der dimensionslose hydraulische Gradient i displaystyle i nbsp auch hydraulisches oder Potentialgefalle genannt ist im Allgemeinen wie die Filtergeschwindigkeit vf auch eine vektorielle Grosse und somit gerichtet Er ergibt sich aus der ortlichen Ableitung der Standrohrspiegelhohe Piezometerhohe h x in die einzelnen Koordinatenrichtungen x i x grad h x d h d x displaystyle i x operatorname grad h x frac mathrm d h mathrm d x nbsp In der Grundwasserhydrologie wird der hydraulische Gradient zwischen zwei Punkten B und C mit dem Abstand L voneinander entlang der Fliessstrecke haufig linear angenommen i h B h C L displaystyle i frac h B h C L nbsp Q A k f h B h C L displaystyle Rightarrow frac Q A k mathrm f frac h B h C L nbsp Transportgeschwindigkeit BearbeitenDie Transportgeschwindigkeit von Wasserteilchen oder vollstandig gelosten Wasserinhaltsstoffen wird durch die Abstandsgeschwindigkeit v a displaystyle v textrm a nbsp beschrieben die gebildet wird als Quotient der Filtergeschwindigkeit und der effektiven Porositat F f displaystyle Phi f nbsp v a 1 F f v f displaystyle v textrm a frac 1 Phi f v textrm f nbsp Da F f displaystyle Phi f nbsp kleiner als eins ist ist die Abstandsgeschwindigkeit und damit auch die Transportgeschwindigkeit grosser als die Filtergeschwindigkeit Nicht lineare Bereiche BearbeitenDie von Darcy ermittelte Proportionalitat von Geschwindigkeit und hydraulischem Gradienten lasst sich in Experimenten nicht immer beobachten Wenn beispielsweise die Geschwindigkeiten in den Poren so gross werden dass keine laminare sondern eine turbulente Stromung vorherrscht erfolgt infolge erhohter Dissipation ein starkerer Potentialabbau eine Auftragung zwischen Fliessgeschwindigkeit und Gradient wird in diesem Bereich nicht linearer Um die turbulenten Effekte zu berucksichtigen wurde die Darcy Gleichung von Philipp Forchheimer um einen Term zur Forchheimer Gleichung erweitert Ahnliche nicht lineare Effekte gibt es auch bei sehr geringen Gradienten Dann konnen Oberflachenkrafte dominieren so dass eine nichtlineare Abnahme der Filtergeschwindigkeit mit fallendem Gradienten beobachtet werden kann Durchstromung nicht mischbarer Fluide BearbeitenDas Darcy Gesetz gilt streng genommen nicht wenn sich in den Poren mehrere Fluide aufhalten und bewegen konnen Wie stark der Einfluss ist hangt von der Viskositat der beteiligten Fluide ab Dies kann z B bei der Verlagerung von nicht mischbaren Flussigkeiten LNAPL oder DNAPL im Grundwasser eintreten Bei der Versickerung von Niederschlagen im Boden kann man haufig davon ausgehen dass die Luft hinreichend schnell entweichen kann und stets Atmospharendruck in der Gasphase herrscht Dieser Stromungsprozess wird haufig analog zum Darcy Gesetz beschrieben allerdings mit einem von der Wassersattigung abhangigen kf Wert teilgesattigte Stromung Siehe auch BearbeitenDarcy Weisbach Gleichung Gesetz von Hagen PoiseuilleLiteratur BearbeitenChristoph Adam Walter Glasser Bernward Holting Hydrogeologisches Worterbuch Enke Verlag Stuttgart New York 2000 ISBN 3 13 118271 7 Jacob Bear Dynamics of fluids in Porous Media Dover Publications New York 1972 ISBN 0 444 00114 X Karl Franz Busch Ludwig Luckner Klaus Tiemer Geohydraulik Lehrbuch der Hydrogeologie Band 3 3 Auflage Gebruder Borntraeger Berlin Stuttgart 1993 ISBN 3 443 01004 0 W Kinzelbach R Rausch Grundwassermodellierung Medienkombination Borntrager Berlin Stuttgart 1995 ISBN 3 443 01032 6 R Allan Freeze John A Cherry Groundwater Prentice Hall Englewood Cliffs N J 1979 ISBN 0 13 365312 9 Hanspeter Jordan Hans Jorg Weder Hydrogeologie Grundlagen und Methoden Enke Stuttgart 1995 ISBN 3 432 26882 3 Amin F Zarandi Krishna M Pillai Adam S Kimmel Spontaneous imbibition of liquids in glass fiber wicks Part I Usefulness of a sharp front approach In American Institute of Chemical Engineers AIChE Journal Band 63 2018 S 294 305 doi 10 1002 aic 15965 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Darcy Gesetz amp oldid 231809653