Chordale Metrik Die chordale Metrik ist eine Metrik auf der riemannschen Zahlenkugel die mithilfe der stereografischen P

Chordale Metrik

Die chordale Metrik ist eine Metrik auf der riemannschen Zahlenkugel, die mithilfe der stereografischen Projektion definiert wird.

Definition Bearbeiten

Mit wird die in den euklidischen Raum eingebettete Sphäre bezeichnet. Sei nun die Umkehrabbildung der stereografischen Projektion durch den Nordpol mit . Für zwei Punkte auf der riemannschen Zahlenkugel ist die chordale Metrik definiert durch

wobei die euklidische Norm bezeichnet.

Für Punkte ergibt sich explizit die Darstellung

Für und kann die Darstellung

ermittelt werden und für gilt

Eigenschaften Bearbeiten

Die riemannsche Zahlenkugel ist bezüglich der chordalen Metrik ein kompakter metrischer Raum. Da in für ein beliebiges die chordale Metrik und die euklidische Metrik äquivalent sind, sind Eigenschaften wie Offenheit oder Abgeschlossenheit von beschränkten Teilmengen von für die beiden Metriken identisch.

Alternative Bearbeiten

In vielen Lehrbüchern wird eine andere Darstellung der chordalen Metrik bevorzugt, welche sich von der obigen durch die Weglassung des Faktors unterscheidet. Hier hat man also (bei Anwendung der komplexen Betragsfunktion):

Der Unterschied besteht darin, dass man bei der Einbettung der Gaußschen Zahlenebene in die Riemannsche Zahlenkugel eine Kugel des zugrunde legt, die den Durchmesser hat und mit ihrem Südpol die --Ebene im Koordinatenursprung berührt. Ihr Nordpol hat dabei die Koordinaten . Diese reellwertige Funktion ist also eine beschränkte Funktion mit dem Maximum . Man spricht in diesem Zusammenhang eher vom chordalen Abstand (englisch chordal distance).

Dass hier die Eigenschaften eine Metrik besitzt, ergibt sich aus der Tatsache, dass sie aus dem euklidischen Abstand des erwächst. Dies lässt sich jedoch auch elementar nachweisen, wie der Mathematiker Shizuo Kakutani zeigte. Dabei geht es im Wesentlichen um den Nachweis der Gültigkeit der Dreiecksungleichung. Kakutani zeigte dies unter Anwendung elementarer Ungleichungen.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Da es auch eine stereografische Projektion von der -Sphäre in die Einpunktkompaktifizierung von gibt, kann die obige Definition verallgemeinert werden und man erhält dadurch, dass bezüglich dieser Metrik auch ein kompakter metrischer Raum ist.

Literatur Bearbeiten

Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 77). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1965, S. 13 ff.
Lothar Collatz: Funktionalanalysis und numerische Mathematik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964 (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 120). 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1968, ISBN 3-540-04135-4, S. 20.
Einar Hille: Analytic Function Theory. Volume 1. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, New York, N.Y. 1959, S. 42 ff.
Rolf Walter: Einführung in die Analysis 1. (= de Gruyter Lehrbuch). Walter de Gruyter, Berlin 2007, ISBN 978-3-11-019539-2, S. 354–355.

Einzelnachweise Bearbeiten

Rolf Walter: Einführung in die Analysis 1. Walter de Gruyter 2007, ISBN 978-3-11-019539-2, S. 354–355.
Lothar Collatz: Funktionalanalysis und numerische Mathematik. 1968, S. 20
D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 317

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Veröffentlichungsdatum: November 30, 2023, 22:44 pm

Die chordale Metrik ist eine Metrik auf der riemannschen Zahlenkugel die mithilfe der stereografischen Projektion definiert wird Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Alternative 4 Verallgemeinerung 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenMit S 2 R 3 displaystyle mathbb S 2 subset mathbb R 3 nbsp wird die in den euklidischen Raum R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp eingebettete Sphare bezeichnet Sei nun P N 1 C S 2 displaystyle P N 1 colon mathbb C cup infty to mathbb S 2 nbsp die Umkehrabbildung der stereografischen Projektion durch den Nordpol N displaystyle N nbsp mit P N 1 N displaystyle P N 1 infty N nbsp Fur zwei Punkte z w C displaystyle z w in mathbb C cup infty nbsp auf der riemannschen Zahlenkugel ist die chordale Metrik x displaystyle chi nbsp definiert durch x z w P N 1 z P N 1 w 2 displaystyle chi z w P N 1 z P N 1 w 2 nbsp wobei 2 displaystyle cdot 2 nbsp die euklidische Norm bezeichnet Fur Punkte w z C displaystyle w z in mathbb C nbsp ergibt sich explizit die Darstellung x z w P N 1 z P N 1 w 2 2 w z 1 w 2 1 z 2 displaystyle chi z w P N 1 z P N 1 w 2 frac 2 cdot w z sqrt 1 w 2 sqrt 1 z 2 nbsp Fur w displaystyle w infty nbsp und z C displaystyle z in mathbb C nbsp kann die Darstellung d c z P N 1 z N 2 2 1 z 2 displaystyle d c z infty P N 1 z N 2 frac 2 sqrt 1 z 2 nbsp ermittelt werden und fur w z displaystyle w z infty nbsp gilt x N N 2 0 displaystyle chi infty infty N N 2 0 nbsp 1 Eigenschaften BearbeitenDie riemannsche Zahlenkugel C displaystyle mathbb C cup infty nbsp ist bezuglich der chordalen Metrik ein kompakter metrischer Raum Da in B R 0 displaystyle B R 0 nbsp fur ein beliebiges R gt 0 displaystyle R gt 0 nbsp die chordale Metrik und die euklidische Metrik aquivalent sind sind Eigenschaften wie Offenheit oder Abgeschlossenheit von beschrankten Teilmengen von C displaystyle mathbb C nbsp fur die beiden Metriken identisch Alternative BearbeitenIn vielen Lehrbuchern wird eine andere Darstellung der chordalen Metrik bevorzugt welche sich von der obigen durch die Weglassung des Faktors 2 displaystyle 2 nbsp unterscheidet Hier hat man also bei Anwendung der komplexen Betragsfunktion x a b a b 1 a 2 1 2 1 b 2 1 2 a b C displaystyle chi a b frac a b 1 a 2 frac 1 2 cdot 1 b 2 frac 1 2 a b in mathbb C nbsp Der Unterschied besteht darin dass man bei der Einbettung der Gaussschen Zahlenebene in die Riemannsche Zahlenkugel eine Kugel des R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp zugrunde legt die den Durchmesser 1 displaystyle 1 nbsp hat und mit ihrem Sudpol die x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp Ebene im Koordinatenursprung beruhrt Ihr Nordpol hat dabei die Koordinaten x 0 y 0 z 1 displaystyle x 0 y 0 z 1 nbsp Diese reellwertige Funktion x displaystyle chi nbsp ist also eine beschrankte Funktion mit dem Maximum 1 displaystyle 1 nbsp Man spricht in diesem Zusammenhang eher vom chordalen Abstand englisch chordal distance Dass x displaystyle chi nbsp hier die Eigenschaften eine Metrik besitzt ergibt sich aus der Tatsache dass sie aus dem euklidischen Abstand des R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp erwachst 2 Dies lasst sich jedoch auch elementar nachweisen wie der Mathematiker Shizuo Kakutani zeigte Dabei geht es im Wesentlichen um den Nachweis der Gultigkeit der Dreiecksungleichung Kakutani zeigte dies unter Anwendung elementarer Ungleichungen 3 Verallgemeinerung BearbeitenDa es auch eine stereografische Projektion P N S n R n displaystyle P N colon S n to widehat mathbb R n nbsp von der n displaystyle n nbsp Sphare in die Einpunktkompaktifizierung R n displaystyle widehat mathbb R n nbsp von R n displaystyle mathbb R n nbsp gibt kann die obige Definition verallgemeinert werden und man erhalt dadurch dass R n displaystyle widehat mathbb R n nbsp bezuglich dieser Metrik auch ein kompakter metrischer Raum ist Literatur BearbeitenHeinrich Behnke Friedrich Sommer Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veranderlichen Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen Band 77 Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1965 S 13 ff Lothar Collatz Funktionalanalysis und numerische Mathematik Unveranderter Nachdruck der 1 Auflage von 1964 Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen Band 120 2 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1968 ISBN 3 540 04135 4 S 20 Einar Hille Analytic Function Theory Volume 1 2 Auflage Chelsea Publishing Company New York N Y 1959 S 42 ff Rolf Walter Einfuhrung in die Analysis 1 de Gruyter Lehrbuch Walter de Gruyter Berlin 2007 ISBN 978 3 11 019539 2 S 354 355 Einzelnachweise Bearbeiten Rolf Walter Einfuhrung in die Analysis 1 Walter de Gruyter 2007 ISBN 978 3 11 019539 2 S 354 355 Lothar Collatz Funktionalanalysis und numerische Mathematik 1968 S 20 D S Mitrinovic Analytic Inequalities 1970 S 317 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Chordale Metrik amp oldid 235071505