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Gravitationswaage Eine auch Cavendish Experiment ist ein Messinstrument das die Gravitationskonstante G displaystyle G a

Gravitationswaage

Eine Gravitationswaage, auch Cavendish-Experiment, ist ein Messinstrument, das die Gravitationskonstante aus der gegenseitigen Anziehung zweier Probemassen bestimmt. Sie gibt also ein Maß für die Stärke der Gravitation an.

Cavendish-Experiment (1798)

1798 benutzte Henry Cavendish eine solche Apparatur, um zum ersten Mal die Dichte der Erde bestimmen zu können. Obwohl sich Cavendish selbst nicht für die Gravitationskonstante interessierte, gelang es durch sein Experiment, ihren Wert schon annähernd genau zu errechnen.

Aufbau Bearbeiten

Torsionskonstruktion, die von John Michell vorgeschlagen und in Experimenten angewandt wurde.

Es handelt sich um eine Drehwaage, wie sie auch in der angewandten Geophysik verwendet wird. „Drehwaage“ bedeutet, dass der Betrag des Winkels, um den ein Draht aus seiner Ruheform verdreht wird, Auskunft über das wirkende Drehmoment gibt. Hieraus lässt sich die zwischen den Testmassen wirkende Kraft berechnen.

Konkret: In der Mitte hängt ein Draht, an dem waagerecht ein Stab angebracht ist. An diesem sind in der Mitte ein Spiegel (parallel zum Draht) und zwei kleine Massen an den Enden befestigt. Davor steht eine Lichtquelle, die einen relativ schmalen Lichtstrahl (heutzutage meist ein Laser) emittiert. Dieser ist auf den Draht gerichtet und wird vom schmalen Spiegel an einen entfernten Schirm reflektiert.
Findet nun eine Auslenkung der Massen aus der Ruhelage statt, dann kann man dies durch eine Verschiebung des abgebildeten Lichtpunktes feststellen.

Experiment Bearbeiten

Vor der Durchführung

  • Man muss die Hebellänge , Entfernung zum Schirm und die Masse kennen.

Durchführung:

  • Man positioniert zwei große Massen im gleichen Abstand von Massenmittelpunkt zu Massenmittelpunkt , der möglichst senkrecht zum Stab sein sollte.
  • Die Massen und auf den jeweils gegenüberliegenden Seiten des Experimentes ziehen sich an und der Stab dreht sich leicht, wonach er in eine gedämpfte Drehschwingung mikroskopischen Ausmaßes verfällt. Man beobachtet, wie sich der abgebildete Lichtpunkt um einen von der Ruhelage um dem Abstand verschiedenen Punkt einpendelt.
  • Man misst diesen Abstand (und gegebenenfalls die Schwingungsdauer).
  • Man dreht den Balken mit den schweren Massen um fast 180°. Dadurch kommen die schweren Massen auf die andere Seite der leichten Massen und der gravitationsbedingte Drehwinkel wechselt sein Vorzeichen.
  • Man wiederholt den Versuch mit anderen Massen und Abständen zur Verringerung der Messunsicherheit.

Rechnung Bearbeiten

Die nachfolgende Berechnung gilt unter der Voraussetzung kleiner Abstände r zwischen großer und kleiner Massen. Nur dann ergibt sich aus der Gravitation zwischen diesen beiden Kugeln eine Kraft, die annähernd senkrecht zur Stange wirkt (an der die kleinen Massen aufgehängt sind). Dann ergibt sich für das Drehmoment .

Drehmoment: Die Anziehung der Massen bewirkt als Kraft ein Drehmoment auf den Stab. Genaugenommen gibt es auch ein entgegengesetztes Moment , welches durch Anziehung der kleinen Kugeln durch die weiter entfernt liegenden großen Kugeln zustande kommt. Der Verdrehung durch wirkt die Festigkeit des Drahtes entgegen, je größer der Drehwinkel θ wird, desto mehr Widerstand gibt es. Diese Gegenwirkung ist näherungsweise proportional zum Winkel , den Proportionalitätsfaktor nennt man Direktionsmoment.

Schwingungsfrequenz: Im Gültigkeitsbereich der linearen Näherung sind Drehschwingungen harmonisch und ihre Kreisfrequenz ist nur abhängig vom Direktionsmoment und dem Trägheitsmoment . Letzteres berechnet sich hier einfach als . Aus folgt für die Schwingungsdauer . Also ist .

Auslenkung: Wie bei allen Spiegeln ist der Drehwinkel der Abbildung doppelt so groß wie der Drehwinkel des Spiegels. Wenn man einen leicht gewölbten Schirm annimmt, ist also der Winkel, um den der Draht gedreht wurde .

Gleichgewicht: Im Gleichgewicht zwischen Anziehung und rücktreibender Kraft muss gelten . Also . Jetzt ist die Gravitationskonstante durch bloßes Umformen errechenbar,

Ist der Abstand zum Schirm gleich der Hebellänge, , so ergibt sich

Literatur Bearbeiten

  • Henry Cavendish: Experimente zur Bestimmung der Dichte der Erde. Experiment mit der ersten Gravitationsdrehwaage – Originalbericht von 1798 ins Deutsche übersetzt von Jochen Sicars (Reihe sicArs didactica 2024): Download als PDF-Datei

Weblinks Bearbeiten

Commons: Cavendish experiment – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. The Cavendish Experiment (PDF; englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
Eine Gravitationswaage auch Cavendish Experiment ist ein Messinstrument das die Gravitationskonstante G displaystyle G aus der gegenseitigen Anziehung zweier Probemassen bestimmt Sie gibt also ein Mass fur die Starke der Gravitation an Cavendish Experiment 1798 1798 benutzte Henry Cavendish eine solche Apparatur um zum ersten Mal die Dichte der Erde bestimmen zu konnen Obwohl sich Cavendish selbst nicht fur die Gravitationskonstante interessierte gelang es durch sein Experiment ihren Wert schon annahernd genau zu errechnen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Aufbau 2 Experiment 3 Rechnung 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseAufbau Bearbeiten nbsp Torsionskonstruktion die von John Michell vorgeschlagen und in Experimenten angewandt wurde Es handelt sich um eine Drehwaage wie sie auch in der angewandten Geophysik verwendet wird Drehwaage bedeutet dass der Betrag des Winkels um den ein Draht aus seiner Ruheform verdreht wird Auskunft uber das wirkende Drehmoment gibt Hieraus lasst sich die zwischen den Testmassen wirkende Kraft berechnen Konkret In der Mitte hangt ein Draht an dem waagerecht ein Stab angebracht ist An diesem sind in der Mitte ein Spiegel parallel zum Draht und zwei kleine Massen an den Enden befestigt Davor steht eine Lichtquelle die einen relativ schmalen Lichtstrahl heutzutage meist ein Laser emittiert Dieser ist auf den Draht gerichtet und wird vom schmalen Spiegel an einen entfernten Schirm reflektiert Findet nun eine Auslenkung der Massen aus der Ruhelage statt dann kann man dies durch eine Verschiebung des abgebildeten Lichtpunktes feststellen Experiment BearbeitenVor der Durchfuhrung Man muss die Hebellange L displaystyle L nbsp Entfernung zum Schirm S displaystyle S nbsp und die Masse M displaystyle M nbsp kennen Durchfuhrung Man positioniert zwei grosse Massen M displaystyle M nbsp im gleichen Abstand von Massenmittelpunkt zu Massenmittelpunkt r displaystyle r nbsp der moglichst senkrecht zum Stab sein sollte Die Massen m displaystyle m nbsp und M displaystyle M nbsp auf den jeweils gegenuberliegenden Seiten des Experimentes ziehen sich an und der Stab dreht sich leicht wonach er in eine gedampfte Drehschwingung mikroskopischen Ausmasses verfallt Man beobachtet wie sich der abgebildete Lichtpunkt um einen von der Ruhelage um dem Abstand s0 displaystyle s 0 nbsp verschiedenen Punkt einpendelt Man misst diesen Abstand und gegebenenfalls die Schwingungsdauer Man dreht den Balken mit den schweren Massen um fast 180 Dadurch kommen die schweren Massen auf die andere Seite der leichten Massen und der gravitationsbedingte Drehwinkel wechselt sein Vorzeichen Man wiederholt den Versuch mit anderen Massen und Abstanden zur Verringerung der Messunsicherheit Rechnung BearbeitenDie nachfolgende Berechnung gilt unter der Voraussetzung kleiner Abstande r zwischen grosser und kleiner Massen Nur dann ergibt sich aus der Gravitation zwischen diesen beiden Kugeln eine Kraft die annahernd senkrecht zur Stange wirkt an der die kleinen Massen aufgehangt sind Dann ergibt sich fur das Drehmoment M L F LF displaystyle textstyle vec M vec L times vec F approx LF nbsp Drehmoment Die Anziehung der Massen bewirkt als Kraft ein Drehmoment M1 GmMr2L displaystyle textstyle M 1 G frac mM r 2 L nbsp auf den Stab Genaugenommen gibt es auch ein entgegengesetztes Moment M2 M1r3r2 L23 displaystyle textstyle M 2 M 1 frac r 3 sqrt r 2 L 2 3 nbsp welches durch Anziehung der kleinen Kugeln durch die weiter entfernt liegenden grossen Kugeln zustande kommt Der Verdrehung durch Mres M1 M2 displaystyle textstyle M mathrm res M 1 M 2 nbsp wirkt die Festigkeit des Drahtes entgegen je grosser der Drehwinkel 8 wird desto mehr Widerstand gibt es Diese Gegenwirkung ist naherungsweise proportional zum Winkel Md D 8 displaystyle textstyle M d D cdot Theta nbsp den Proportionalitatsfaktor D displaystyle textstyle D nbsp nennt man Direktionsmoment Schwingungsfrequenz Im Gultigkeitsbereich der linearen Naherung sind Drehschwingungen harmonisch und ihre Kreisfrequenz w0 DI displaystyle textstyle omega 0 sqrt frac D I nbsp ist nur abhangig vom Direktionsmoment D displaystyle textstyle D nbsp und dem Tragheitsmoment I displaystyle textstyle I nbsp Letzteres berechnet sich hier einfach als I 2m L 2 2 displaystyle textstyle I 2m L 2 2 nbsp Aus T 2pw0 displaystyle textstyle T frac 2 pi omega 0 nbsp folgt fur die Schwingungsdauer T 2pID displaystyle textstyle T 2 pi sqrt frac I D nbsp Also ist D 4p2IT2 displaystyle textstyle D frac 4 pi 2 I T 2 nbsp Auslenkung Wie bei allen Spiegeln ist der Drehwinkel der Abbildung doppelt so gross wie der Drehwinkel des Spiegels Wenn man einen leicht gewolbten Schirm annimmt ist also der Winkel um den der Draht gedreht wurde 8 s02S displaystyle textstyle Theta frac s 0 2S nbsp Gleichgewicht Im Gleichgewicht zwischen Anziehung und rucktreibender Kraft muss gelten Mres Md displaystyle textstyle M mathrm res M d nbsp Also GmMr2 1 r3r2 L23 L 4p22m L2 2T2 s02S displaystyle textstyle G frac mM r 2 left 1 frac r 3 sqrt r 2 L 2 3 right L frac 4 pi 2 2m left frac L 2 right 2 T 2 cdot frac s 0 2S nbsp Jetzt ist die Gravitationskonstante G displaystyle textstyle G nbsp durch blosses Umformen errechenbar G p2Ls0r2T2SM 1 r3r2 L23 displaystyle G frac pi 2 Ls 0 r 2 T 2 SM left 1 frac r 3 sqrt r 2 L 2 3 right nbsp Ist der Abstand zum Schirm gleich der Hebellange S L displaystyle textstyle S L nbsp so ergibt sich G p2r2s0MT2 1 r3r2 L23 displaystyle G frac pi 2 r 2 s 0 MT 2 left 1 frac r 3 sqrt r 2 L 2 3 right nbsp Literatur BearbeitenHenry Cavendish Experimente zur Bestimmung der Dichte der Erde Experiment mit der ersten Gravitationsdrehwaage Originalbericht von 1798 ins Deutsche ubersetzt von Jochen Sicars Reihe sicArs didactica 2024 Download als PDF DateiWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Cavendish experiment Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Video eines Gravitationswaage Experiments auf Youtube Bestimmung der Gravitationskonstanten im SchulerlexikonEinzelnachweise Bearbeiten The Cavendish Experiment PDF englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gravitationswaage amp oldid 242641406