Die Balkentheorie beschreibt das Verhalten von Balken unter Belastung. Sie ist ein Teilgebiet der technischen Mechanik. Insbesondere wird mithilfe der Festigkeitslehre und der ElastizitÀtslehre die elastische Biegung eines Balkens untersucht, weshalb man auch von der Biegetheorie des Balkens spricht.
Sie wird in den Ingenieurwissenschaften Bauingenieurwesen und Maschinenbau entwickelt und angewendet.
Die BelastungsgröĂen sind neben dem Biegemoment auch LĂ€ngs- und QuerkrĂ€fte sowie Torsionsmomente. Die Biegung ist zudem von der Geometrie des Balkens (Querschnitt, evtl. ĂŒber LĂ€nge verĂ€nderlich) und seiner Lagerung sowie der ElastizitĂ€t des Balken-Werkstoffs abhĂ€ngig. Festigkeitswerte des Materials bestimmen den Ăbergang zu plastischer Biegung und Biegebruch.
Die Balkentheorie wurde im Laufe der Zeit schrittweise verfeinert. Der Biegevorgang wurde dabei immer besser modelliert, die Handhabung der Theorie aber aufwÀndiger. In den meisten Anwendungen werden mit der Klassischen Biegelehre (Theorie I. Ordnung) ausreichend genaue Ergebnisse errechnet.
GrundzĂŒge Bearbeiten
NĂ€herungsschritte Bearbeiten
Allgemein unterscheidet man
In der Balkentheorie Zweiter Ordnung können je nach Literatur auch nichtlineare Terme berĂŒcksichtigt werden, deshalb ist die Grenze zwischen Theorie Zweiter und Theorie Dritter Ordnung flieĂend.
Klassische Annahmen: die Bernoullischen Annahmen Bearbeiten
Inhalt der Bernoullischen Annahmen ist:
- Der Balken ist schlank: seine LĂ€nge ist wesentlich gröĂer als seine Querschnittsabmessungen.
- Balkenquerschnitte, die vor der Deformation senkrecht auf der Balkenachse standen, stehen auch nach der Deformation senkrecht auf der deformierten Balkenachse.
- Querschnitte bleiben auch nach der Deformation in sich eben.
- Die Biegeverformungen sind klein im Vergleich zur LĂ€nge des Balkens (maximal in der GröĂe der Querschnittsabmessungen).
- Der Balken besteht aus isotropem Material und folgt dem Hooke'schen Gesetz.
Man spricht bei der (nĂ€herungsweisen) ErfĂŒllung dieser Voraussetzungen auch von einem Euler-Bernoulli-Balken. Dabei handelt es sich aber um Modellannahmen, die bei realen Balken nur mehr oder weniger genau erfĂŒllt sind. In der wirklichen Welt gibt es keinen Balken, der diesem Modell genau entspricht.
Die Annahmen 2. u. 3. treten i. A. nie bei belasteten Balken auf, jedoch wenn die Annahmen/Folgen 2. u. 3. in einer NÀherung zulÀssig sind, liegt z. B. ein Balken vor, der unter dem Stichwort Timoschenko-Balken behandelt wird.
Bei ausschlieĂlicher Belastung in LĂ€ngsrichtung kann ein Stab in der Stabtheorie I. Ordnung zufolge eines Festigkeitskriteriums (zufolge Normalkraft und Biegung) versagen; in der Stabtheorie II. Ordnung ist dieses Festigkeitskriterium in der verformten Lage zu erfĂŒllen; damit ermöglicht sie eine Aussage ĂŒber ein eventuelles StabilitĂ€tsversagen durch seitliches Ausknicken (Knickstab). Des Weiteren wird bei Bernoulli-Balken im Allgemeinen auch Versagen durch Querkraft ausgeschlossen.
Im Ăbrigen haben Balken oft ĂŒber deren ganze LĂ€nge konstante Querschnittseigenschaften (konstanten Querschnitt, ElastizitĂ€tsmodul, âŠ), da diese herstellungstechnisch, als auch rechnerisch einfacher zu handhaben sind.
Theorie Erster Ordnung: Statik Bearbeiten
Die Klassische Theorie deckt sich im Wesentlichen mit der Theorie erster Ordnung, wobei mit Gleichgewichtsbedingungen an QuerschnittsflÀchen des unverformten Balkens gearbeitet wird, deren Ebenbleiben von der Theorie vorausgesetzt wird.
Statische Bestimmtheit Bearbeiten
Bei statisch bestimmt gelagerten Balken lassen sich die AuflagerkrĂ€fte und SchnittgröĂen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen. Bei statisch ĂŒberbestimmten Balken sind zusĂ€tzlich zu den Gleichgewichtsbedingungen auch VertrĂ€glichkeitsbedingungen zu erfĂŒllen, um die AuflagerkrĂ€fte und SchnittgröĂen bestimmen zu können. Im einfachsten Fall wird ein Balken anhand der Gleichung der Biegelinie, einer linearen inhomogenen Differentialgleichung, berechnet. Sie stellt einen Zusammenhang zwischen der Durchbiegung (in -Richtung) und der Querbelastungen (Streckenlast , Einzellast quer zum TrĂ€ger, Einzelmoment, âŠ) als Funktion der Koordinate entlang der Balkenachse her.
Biegesteifigkeit Bearbeiten
Die Biegesteifigkeit gibt an, wie groĂ das Biegemoment im VerhĂ€ltnis zur KrĂŒmmung ist. FĂŒr homogene Querschnitte ergibt sie sich als Produkt aus dem ElastizitĂ€tsmodul des Materials und dem geometrischen FlĂ€chentrĂ€gheitsmoment des gegebenen Querschnitts. Letzteres berechnet sich als
FĂŒr einen Balken mit rechteckigem Querschnitt (in - respektive -Richtung) ist
Rand- und Ăbergangsbedingungen ergeben sich aus der Art der Auflager und bestehen aus kinematischen Randbedingungen und aus dynamischen (KrĂ€fte und Momente betreffenden) Randbedingungen.
FĂŒr die dynamischen Randbedingungen ist relevant, welcher Zusammenhang zwischen der Durchbiegung und den Schnittlasten besteht, nĂ€mlich
Querkraft:
Biegespannung Bearbeiten
Das Biegemoment setzt sich aus Biegespannungen zusammen, dies sind in axialer Richtung wirkende Spannungen mit einer ĂŒber den Stab verĂ€nderlichen Verteilung von Normalspannungen:
Im einfachsten Fall geht man in der Balkentheorie von der Bernoullitheorie aus, welche Ebenbleiben der Querschnitte voraussetzt, in Kombination mit einem linear elastischen Materialverhalten. Diese Vereinfachung fĂŒhrt zu der Formel:
Falls das Deviationsmoment Iyz gleich Null ist folgt fĂŒr den Spannungsanteil zufolge Biegung:
Darin ist das FlĂ€chentrĂ€gheitsmoment des Querschnitts um die Achse, um die das Biegemoment dreht. Den Kennwert beim maximalen (an der Ă€uĂersten Faser des Querschnitts) nennt man auch Widerstandsmoment . Daraus folgt ein recht bekanntes Ergebnis: die TragfĂ€higkeit eines Balkens ist proportional zu .
Im Falle unsymmetrischer Querschnitte muss das Koordinatensystem in Richtung der HaupttrĂ€gheitsachsen gedreht werden, damit man die Biegung in beiden Richtungen getrennt voneinander berechnen kann. Beispiel: wenn ein L-Profil von oben belastet wird, biegt es sich im Allgemeinen direkt proportional auch zur Seite hin durch. Nur in Richtung einer der beliebigen HaupttrĂ€gheitsachsen biegt sich ein Balken ausschlieĂlich in Richtung der Belastung.
Wie stark sich ein Balken verbiegt, hĂ€ngt ferner sehr stark von der Position der Auflager ab; bei gleichmĂ€Ăiger Belastung =const erhĂ€lt man aus der Differentialgleichung als optimale Lagerpositionen die Bessel-Punkte.
Die Biegespannung im Besonderen beschreibt die Kraft, welche auf den Querschnitt (z. B. eines Balkens) wirkt, der senkrecht zu seiner Ausdehnungsrichtung belastet wird.
Die Normalspannung im Balkenquerschnitt ist:
Wenn die Deviationsmomente Null sind und man eine einfache Biegung in z-Richtung ohne Normalkraft hat, folgt:
Ist das Moment My positiv, treten bei reiner Biegebeanspruchung durch My fĂŒr > 0 Zug- und fĂŒr < 0 Druckspannungen auf. Die betragsmĂ€Ăig gröĂte Spannung tritt bei reiner Biegebeanspruchung durch My demnach in der Ă€uĂersten Faser auf.
Das Widerstandsmoment ist ein reiner Querschnittswert und gibt das VerhĂ€ltnis vom angreifenden Moment zur zugehörigen Spannung in der âkritischenâ Faser an
Dabei beschreibt das FlĂ€chentrĂ€gheitsmoment. FĂŒr die maximale Biegespannung ergibt sich:
Je gröĂer der Betrag des Widerstandsmomentes ist, desto kleiner ist der Betrag der Biegespannung in der Randfaser.
Beim Biegen eines Balkens werden seine auf der Zugseite liegenden LĂ€ngsfasern (vorne im nebenstehenden Bild, linkes Teilbild) gedehnt und seine auf der Druckseite liegenden gestaucht (hinten im nebenstehenden Bild, linkes Teilbild). In den gedehnten Fasern entstehen Zugspannungen, in den gestauchten Druckspannungen. Der Spannungsverlauf von den auĂen maximalen Zug- zu den innen maximalen Druckspannungen ist i. d. R. nichtlinear, jedoch ist die lineare Verteilung eine hĂ€ufige Annahme.
Bei relativ kleiner Biegung und keiner Normalkraft befindet sich die neutrale (spannungsfreie) Faser in der Mitte der Balkenhöhe. Die Zug- und die Druckspannungen in einer QuerschnittsflĂ€che sind betragsmĂ€Ăig gleich groĂ, sofern keine Normalkraft vorliegt.
Biegelinie des Balkens Bearbeiten
Die Durchbiegung (Auslenkung)   des Balkens an seiner Stelle   ist mit folgender linearen Differentialgleichung beschreibbar:
Sie ist abhĂ€ngig von der Belastung durch das Biegemoment   , dem FlĂ€chentrĂ€gheitsmoment   des Balkenquerschnitts und dem ElastizitĂ€tsmodul   des Balkenmaterials (Index   : Biegung um die Querachse ). Durch die erste Integration folgt die Neigung   der Biegelinie aus ihrer KrĂŒmmung   :
Bei der zweiten Integration entsteht aus der Neigung der Biegelinie ihre Auslenkung :
Im Beispiel eines an seinen beiden Enden aufliegender Balken mit mittiger Einzellast (nebenstehendes Bild) hat der Verlauf des Biegemomentes eine Knickstelle. Die Integration wird in diesem Fall fĂŒr den linken und den rechten Balkenteil ĂŒblicherweise getrennt durchgefĂŒhrt. Der Zusammenschluss der beiden Ergebnisse zur stetig verlaufenden Biegelinie ergibt sich daraus, dass dort sowohl ihre Neigung als auch ihre Auslenkung fĂŒr beide Teile gleich ist. Im Beispiel liegt Symmetrie (in der Biegelinie und Momentenlinie) vor. Die Integration z. B. der Differentialgleichung fĂŒr die linke HĂ€lfte genĂŒgt. Diese HĂ€lfte lĂ€sst sich auch als in der Mitte eingespannter und am anderen Ende mit der Kraft   (durch das Auflager) belasteter Kragbalken ansehen.
FĂŒr   gelten:
Theorie Erster Ordnung: Dynamik Bearbeiten
Bis hier wurde nur die Statik behandelt. Die Balkendynamik, etwa um Balkenschwingungen zu berechnen, basiert auf der Gleichung
Das Problem hÀngt hier nicht nur vom Ort , sondern zusÀtzlich von der Zeit ab. Es kommen zwei weitere Parameter des Balkens hinzu, nÀmlich die Massenverteilung und die StrukturdÀmpfung . Wenn das Bauteil unter Wasser schwingt, beinhaltet auch die hydrodynamische Masse, und in kann man eine linearisierte Form der hydrodynamischen DÀmpfung einbeziehen, siehe Morison-Gleichung.
Theorie Zweiter Ordnung: Knickstab Bearbeiten
WÀhrend bisher die KrÀfte und Momente nÀherungsweise am unverformten Bauteil bilanziert wurden, ist es im Falle von KnickstÀben erforderlich, ein Balkenelement im verformten Zustand zu betrachten. Knickstab-Berechnungen basieren auf der Gleichung
und zwar im einfachsten Fall mit . Hinzu kommt die axial im Knickstab wirkende Druckkraft , die je nach Randbedingungen die Knicklast nicht ĂŒberschreiten darf, damit der Stab nicht ausknickt.
In der schubweichen Balkentheorie â Ą. Ordnung gibt es unter den Bernoullischen Annahmen folgende Differentialgleichungen fĂŒr die Queranteile:
mit
- der Laufkoordinate entlang der Balkenachse
- dem ElastizitĂ€tsmodulÂ
- dem Schubmodul (Term tritt in der schubstarren Theorie nicht in den Differentialgleichungen auf)
- dem FlĂ€chentrĂ€gheitsmomentÂ
- der Transversalkraft (in der Theorie I. Ordnung gilt )
- der Querkraft
- die Normalkraft nach Theorie Theorie â Ą. Ordnung (in der Theorie I. Ordnung tritt dieser Term in der Differenzialgleichung nicht auf)
- der Gleichlast (Querbelastung pro LĂ€ngeneinheit)
- dem Biegemoment
- dem Streckenmoment (Biegebelastung pro LĂ€ngeneinheit)
- der Verdrehung
- der eingeprĂ€gten KrĂŒmmung
- der Durchbiegung zufolge Belastung
- der Durchbiegung zufolge Vorverformung
- der SchubflÀche (Term tritt in der schubstarren Theorie nicht auf).
Theorie Dritter Ordnung Bearbeiten
Bei der Theorie Dritter Ordnung werden auch groĂe Verformungen erfasst, die Vereinfachungen der Theorie II. Ordnung gelten hier nicht mehr.
Ein Anwendungsfall, bei dem Balkentheorie Dritter Ordnung nötig wird, ist z. B. das Verlegen von Offshore-Pipelines von einem Wasserfahrzeug aus in groĂen Wassertiefen, hier nur als ebener statischer Fall wiedergegeben.
Ein sehr langer Rohrstrang hĂ€ngt vom Fahrzeug zum Meeresboden herunter, ist gekrĂŒmmt wie ein Seil, jedoch biegesteif. Die nichtlineare Differentialgleichung lautet hier:
mit
- der Koordinate (BogenlÀnge entlang der Pipeline)
- dem Neigungswinkel , der mit der Horizontalkoordinate und der Vertikalkoordinate in folgendem Zusammenhang steht:
- ist die entlang der Pipeline konstante Horizontalkomponente der Schnittkraft (Horizontalzug); H wird dadurch beeinflusst, wie stark das Fahrzeug mit seinen Ankern und dem Tensioner an der Pipeline zieht, damit sie nicht durchsackt und bricht; der Tensioner ist eine Vorrichtung aus zwei Raupenketten, die die Pipeline an Bord einspannt und sie unter Zugbelastung hÀlt
- dem Gewicht pro LĂ€nge , abzĂŒglich Auftrieb
- einer RechengröĂe , die man sich als kleine Bodenauflagerkraft vorstellen kann.
Geschichte Bearbeiten
Nach vorherigen vorwiegend gedanklichen Experimenten von Leonardo da Vinci wurde die Balkentheorie von Galileo Galilei begrĂŒndet. Mit den Arbeiten von Claude Louis Marie Henri Navier wurde ein vorlĂ€ufiger, klassische Balkentheorie genannter Abschluss erreicht.
âVĂ€terâ der klassischen Biegetheorie von Leonardo da Vinci bis Navier:
- Leonardo da Vinci (1452â1519) â Zugversuche an DrĂ€hten
- Galileo Galilei (1564â1642) â Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla mecanica e i movimenti locali: Zugfestigkeit von MarmorsĂ€ulen, Seilen und DrĂ€hten (erster Tag), Betrachtungen zur Bruchfestigkeit von Balken (zweiter Tag)
- Edme Mariotte (1620â1684) â Lineare Verteilung der Faserdehnungen ĂŒber Querschnitt, neutrale Faser in halber Höhe des doppeltsymmetrischen Balkenquerschnitts
- Robert Hooke (1635â1703) â ProportionalitĂ€t zwischen Dehnung und Spannung (Hookesches Gesetz)
- Isaac Newton (1643â1727) â Gleichgewicht der KrĂ€fte, Infinitesimalrechnung
- Gottfried Wilhelm Leibniz (1646â1716) â Infinitesimalrechnung, Widerstandsmoment
- Jakob I Bernoulli (1655â1705) â Annahmen, die die Theorie vereinfachen: ebene und zur Balkenachse senkrechte QuerschnittsflĂ€che ist auch nach der Biegung eben und zur Balkenachse senkrecht
- Leonhard Euler (1707â1783) â erster Versuch zur Behandlung eines statisch unbestimmten Systems (vierbeiniger Tisch), Untersuchung des Knickens von StĂ€ben (Theorie zweiter Ordnung)
- Charles Augustin de Coulomb (1736â1806) â erste durch die Infinitesimalrechnung zusammenhĂ€ngende Darstellung der Balken-, Gewölbe- und Erddrucktheorie; Baustatik wird âwissenschaftlicher Gegenstandâ
- Johann Albert Eytelwein (1764â1848) â Lösung statisch unbestimmter Systeme: DurchlauftrĂ€ger
- Claude Louis Marie Henri Navier (1785â1836) â seine Arbeiten stellen die âKonstituierungsphase der Baustatikâ dar; er fĂŒhrt in seiner Technischen Biegetheorie die mathematisch-mechanische Analyse der elastischen Linie (Bernoulli, Euler) und die vornehmlich ingenieurmĂ€Ăig orientierte Balkenstatik zusammen;
- Georg Rebhann (1824â1892) â gab 1856 Formeln fĂŒr den Biegespannungsnachweis von einfachsymmetrischen Querschnitten an.
Literatur Bearbeiten
- D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W. A. Wall: Technische Mechanik. Band 1â3, Springer, Berlin 2006 / 2007, DNB 550703683.
- IstvĂĄn SzabĂł: EinfĂŒhrung in die Technische Mechanik. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-67653-8.
- Peter Gummert, Karl-August Reckling: Mechanik. Vieweg, Braunschweig 1994, ISBN 3-528-28904-X.
- Karl-Eugen Kurrer: Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht, Ernst und Sohn, Berlin 2016, S. 88f., S. 395â412 und S. 452â455, ISBN 978-3-433-03134-6.
Siehe auch Bearbeiten
Einzelnachweise Bearbeiten
- Fritz StĂŒssi: Baustatik I. 4. Auflage. 1971, ISBN 3-7643-0374-3, ab S. 173
- Pichler, Bernhard. Eberhardsteiner, Josef: Baustatik VO - LVA-Nr 202.065. Wien 2016, ISBN 978-3-903024-17-5, 2.7.1 Queranteile und 10.2 AusgewĂ€hlte Lastglieder fĂŒr die Queranteile (TU Verlag [abgerufen am 10. Dezember 2016]). (Memento des vom 13. MĂ€rz 2016 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprĂŒft. Bitte prĂŒfe Original- und Archivlink gemÀà Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.
- Oliver Romberg, Nikolaus Hinrichs: Keine Panik vor Mechanik! â Erfolg und SpaĂ im klassischen âLoser-Fachâ des Ingenieurstudiums. In: Studieren ohne Panik. 8., ĂŒberarbeitete Auflage. Band 4. Vieweg+Teubner Verlag, 2011, ISBN 978-3-8348-1489-0 (349 S., springer.com [PDF] Erstausgabe: 1999).
- B. Kauschinger, St. Ihlenfeldt: (Nicht mehr online verfĂŒgbar.) Archiviert vom 27. Dezember 2016; abgerufen am 27. Dezember 2016. am
- JĂŒrgen Fröschl, Florian Achatz, Steffen Rödling, Matthias Decker: Innovatives BauteilprĂŒfkonzept fĂŒr Kurbelwellen. In: MTZ-Motortechnische Zeitschrift. Band 71, Nr. 9. Springer, 2010, S. 614â619 (springer.com).
- â Herbert Mang, G Hofstetter: Festigkeitslehre. Hrsg.: Springer Verlag. (3. Auflage). Wien / New York 2008, ISBN 978-3-211-72453-8, 6.4 âNormalspannungenâ, S. 156 (487 S., springer.com).
- siehe Hauptartikel: Biegelinie
- Es ist mit Heaviside-Funktionen möglich ĂŒber den ganzen Balken zu integrieren
- Aufgrund von Symmetrie der Biegelinie folgt, die Antimetrie der Verdrehunglinie somit folgt ist, da keine eingeprÀgte WinkelÀnderung (an diesem Punkt) vorliegt, ist der Winkel stetig und somit der linkswertige Grenzwert gleich dem rechtswertigen Grenzwert , aus diesen Beiden Formeln folgt und aus dieser Gleichung folgt, dass ist
- â Bernhard Pichler: 202.068 Baustatik 2. WS2013 Auflage. Wien 2013, VO_06_ThIIO_Uebertragungsbeziehungen (Onlineplattform der TU Wien).
- â Pichler, Bernhard. Eberhardsteiner, Josef: Baustatik VO LVA-Nr 202.065. Hrsg.: TU Verlag. SS2016 Auflage. TU Verlag, Wien 2016, ISBN 978-3-903024-17-5, Lineare Stabtheorie ebener Stabtragwerke (520âŻSeiten, Grafisches Zentrum an der Technischen UniversitĂ€t Wien [abgerufen am 12. Januar 2017]).Memento des vom 13. MĂ€rz 2016 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprĂŒft. Bitte prĂŒfe Original- und Archivlink gemÀà Anleitung und entferne dann diesen Hinweis. (
- IFBS: 8.3 Von Galileos Biegetheorie zur Sandwichtheorie (Memento vom 15. MĂ€rz 2016 im Internet Archive)