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Alephformel n sind mathematische Formeln der Kardinalzahlarithmetik und als solche Lehrsätze des mathematischen Teilgebi

Alephformel

Alephformeln sind mathematische Formeln der Kardinalzahlarithmetik und als solche Lehrsätze des mathematischen Teilgebiets der Mengenlehre. Bedeutende Alephformeln sind nicht zuletzt mit den Namen der Mathematiker Gerhard Hessenberg, Felix Hausdorff und Felix Bernstein verbunden.

Der Terminus Alephformel(n) wird vor allem von Arnold Oberschelp und Dieter Klaua in ihren jeweiligen Monographien Allgemeine Mengenlehre benutzt, wobei Oberschelp mit diesem Terminus explizit die von Hessenberg im Jahre 1906 vorgelegte Formel (s. u.) meint.

Hessenbergs Formel Bearbeiten

Die von Hessenberg im Jahre 1906 vorgelegte Formel – die auch als Satz von Hessenberg zitiert wird – ist von grundlegender Bedeutung für die gesamte Kardinalzahlarithmetik. Sie lässt sich folgendermaßen angeben:

Folgerungen Bearbeiten

Die hessenbergsche Formel zieht eine Reihe von weiteren Alephformeln nach sich.

Unter Anwendung der hessenbergschen Gleichung ergibt sich auch die von Felix Bernstein vorgelegte bernsteinsche Formel:

Felix Bernstein hat eine weitere Alephformel geliefert, die bei Klaua auch als bernsteinscher Alephsatz bezeichnet wird und die auf Bernsteins Publikation aus dem Jahre 1905 zurückgeht:

Formel von Hausdorff Bearbeiten

Weitergehend als der bernsteinsche Alephsatz ist ein Satz, der von Felix Hausdorff im Jahre 1904 bewiesen wurde und in dem er die bekannte hausdorffsche Rekursionsformel (englisch Hausdorff recursion formula) formuliert:

Verwandte Formeln Bearbeiten

Jenseits der oben dargestellten klassischen Alephformeln gibt es eine Anzahl von verwandten Formeln, welche die Alephs in einen weiteren Kontext stellen.

Formel von König Bearbeiten

Im Jahre 1904 bewies Julius König eine Formel, welche die bekannte Ungleichung verschärft und die zugleich für die Alephs eine obere Abschätzung mittels Konfinalitäten liefert. Diese Formel, die auf dem Satz von König beruht, besagt nämlich:

Bezug zur Kontinuumshypothese Bearbeiten

Auch die von Hausdorff im Jahre 1908 formulierte Verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) lässt sich als Alephformel verstehen. Man spricht daher auch von der Alephhypothese (AH). Diese besagt nämlich:

Hierzu hat man die folgenden Formeln:

Erläuterungen und Anmerkungen Bearbeiten

  • Die Alephs sind als Ordinalzahlen dadurch gekennzeichnet, dass sie unendlich und – in Bezug auf die auf der Ordinalzahlenklasse gegebene Wohlordnungsrelation – mit keiner echt kleineren Ordinalzahl gleichmächtig sind.
  • Dieter Klaua definiert in seiner Allgemeine Mengenlehre nicht explizit, was er unter Alephformeln versteht. Aus dem Kontext wird jedoch klar, was gemeint ist.
  • Die Formel von Hessenberg umfasst (offenbar) den schon von Georg Cantor mit Hilfe seiner Paarungsfunktion bewiesenen Satz, demzufolge und gleichmächtige Mengen sind.
  • Die Formel von Hessenberg wurde im Jahre 1908 von Philip Jourdain wiederentdeckt.
  • Der Terminus Alephhypothese geht auf Felix Hausdorff und dessen Arbeit aus dem Jahre 1908 zurück. Hausdorff benutzt dort sogar den Terminus Cantorsche Alefhypothese.
  • Einige Autoren – wie Walter Felscher in Naive Mengen und abstrakte Zahlen III – unterscheiden zwischen der Verallgemeinerten Kontinuumshypothese (GCH) und der Alephhypothese (AH). Laut Felscher gilt dabei: „In einer Mengenlehre mit Fundierungsaxiom sind (GCH) und (AH) äquivalent; in jedem Falle folgt aus (GCH) auch (AH).“ Wie Ulrich Felgner in 1971 zeigte, sind die Verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) und die Alephhypothese (AH) in einer Mengenlehre ohne Auswahlaxiom und ohne Fundierungsaxiom nicht miteinander äquivalent.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Felix Bernstein: Untersuchungen aus der Mengenlehre. In: Mathematische Annalen. Band 61, 1905, S. 117–155 (MR1511337).
  • Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre (= Hochschultaschenbuch. Band 141). 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
  • Walter Felscher: Naive Mengen und abstrakte Zahlen III. Transfinite Methoden. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1979, ISBN 3-411-01553-5 (MR0536486).
  • Felix Hausdorff: Der Potenzbegriff in der Mengenlehre. In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Band 13, 1904, S. 569–571.
  • Felix Hausdorff: Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen. In: Mathematische Annalen. Band 65, 1908, S. 435–505.
  • Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Reprinted, New York, 1965. Chelsea Publishing Company, New York, N. Y. 1965.
  • Gerhard Hessenberg: Grundbegriffe der Mengenlehre. In: Abhandlungen der Friesschen Schule, Neue Folge. Band 1. Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen 1906, S. 478–706.
  • Karel Hrbacek, Thomas Jech: Introduction to Set Theory (= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Band 220). 3. Auflage. Marcel Dekker, Inc., New York, Basel 1999, ISBN 0-8247-7915-0 (MR1697766).
  • Philip E. B. Jourdain: The multiplication of Alephs. In: Mathematische Annalen. Band 65, 1908, S. 506–512 (MR1511479).
  • Erich Kamke: Mengenlehre (= Sammlung Göschen. 999/999a). 7. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin, New York 1971.
  • Dieter Klaua: Allgemeine Mengenlehre. Ein Fundament der Mathematik (= Mathematische Lehrbücher und Monographien, I. Abteilung, Mathematische Lehrbücher. Band X). Akademie-Verlag, Berlin 1964 (MR0175791).
  • J. König: Zum Kontinuum-Problem. In: Mathematische Annalen. Band 60, 1905, S. 177–180 (MR1511296).
  • J. König: Berichtigung. In: Mathematische Annalen. Band 60, 1905, S. 462 (MR1511318).
  • Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Set Theory. With an Introduction to Descriptive Set Theory. Translated from the 1966 Polish original (= Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Band 86). 2. Auflage. North-Holland Publishing Company, Amsterdam, New York, Oxford 1976 (MR0485384).
  • Azriel Lévy: Basic Set Theory (= Perspectives in Mathematical Logic). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1979, ISBN 3-540-08417-7 (MR0533962).
  • Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich 1994, ISBN 3-411-17271-1 (MR0536486).
  • Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers. Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warschau 1958 (MR0095787).
  • Alfred Tarski: Sur quelques théorèmes sur les alephs. In: Fundamenta Mathematicae. Band 7, 1925, S. 1–14.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Dieter Klaua: Allgemeine Mengenlehre. 1964, S. 507 ff.
  2. Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 2003, S. 127 ff.
  3. Walter Felscher: Naive Mengen und abstrakte Zahlen III. 1979, S. 107 ff.
  4. Erich Kamke: Mengenlehre. 1971, S. 176 ff.
  5. Kuratowski/Mostowski: Set Theory. 1976, S. 267 ff.
  6. Azriel Lévy: Basic Set Theory. 1979, S. 92 ff.
  7. ↑ Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. 1994, S. 237 ff.
  8. Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers. 1958, S. 389 ff.
  9. Ebbinghaus, op. cit., S. 127
  10. Kamke, op. cit., S. 176
  11. Klaua, op. cit., S. 507
  12. Lévy, op. cit., S. 94.
  13. Klaua, op. cit., S. 509
  14. Kamke, op. cit., S. 177.
  15. Lévy, op. cit., S. 95.
  16. Oberschelp, op. cit., S. 239
  17. Sierpiński, op. cit., S. 395.
  18. Klaua, op. cit., S. 510
  19. Felscher, op. cit., S. 109.
  20. Oberschelp, op. cit., S. 241.
  21. ↑ Klaua, op. cit., S. 512
  22. ↑ Sierpiński, op. cit., S. 402.
  23. Felix Hausdorff: Der Potenzbegriff in der Mengenlehre. Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. 13, S. 570
  24. Lévy, op. cit., S. 187.
  25. Oberschelp, op. cit., S. 246.
  26. ↑ Hrbacek/Jech: Introduction to Set Theory. 1999, S. 165.
  27. Obwohl hier die Jahreszahl 1904 genannt ist, erfolgte die Veröffentlichung erst in den Mathematische Annalen des Jahres 1905.
  28. Klaua, op. cit., S. 500
  29. Oberschelp, op. cit., S. 241–242.
  30. Hrbacek/Jech, op. cit., S. 166–167.
  31. Felscher, op. cit., S. 107.
  32. Lévy, op. cit., S. 97.
  33. Felix Hausdorff: Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen. Math. Ann. 65, S. 494
  34. Felscher, op. cit., S. 173–175.
  35. Felscher, op. cit., S. 174.
  36. Oberschelp, op. cit., S. 242.
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Alephformeln sind mathematische Formeln der Kardinalzahlarithmetik und als solche Lehrsatze des mathematischen Teilgebiets der Mengenlehre Bedeutende Alephformeln sind nicht zuletzt mit den Namen der Mathematiker Gerhard Hessenberg Felix Hausdorff und Felix Bernstein verbunden 1 2 3 4 5 6 7 8 Der Terminus Alephformel n wird vor allem von Arnold Oberschelp und Dieter Klaua in ihren jeweiligen Monographien Allgemeine Mengenlehre benutzt wobei Oberschelp mit diesem Terminus explizit die von Hessenberg im Jahre 1906 vorgelegte Formel s u meint 1 7 Inhaltsverzeichnis 1 Hessenbergs Formel 1 1 Folgerungen 2 Formel von Hausdorff 3 Verwandte Formeln 3 1 Formel von Konig 3 2 Bezug zur Kontinuumshypothese 4 Erlauterungen und Anmerkungen 5 Siehe auch 6 Literatur 7 EinzelnachweiseHessenbergs Formel BearbeitenDie von Hessenberg im Jahre 1906 vorgelegte Formel die auch als Satz von Hessenberg zitiert wird ist von grundlegender Bedeutung fur die gesamte Kardinalzahlarithmetik Sie lasst sich folgendermassen angeben 9 10 11 12 Fur jede Ordinalzahl a displaystyle alpha nbsp giltℵ a 2 ℵ a displaystyle aleph alpha 2 aleph alpha nbsp dd Folgerungen Bearbeiten Die hessenbergsche Formel zieht eine Reihe von weiteren Alephformeln nach sich I Fur je zwei Ordinalzahlen a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp gilt die hessenbergsche Gleichungℵ a ℵ b ℵ a ℵ b ℵ max a b max ℵ a ℵ b displaystyle aleph alpha aleph beta aleph alpha cdot aleph beta aleph max alpha beta max aleph alpha aleph beta nbsp 13 14 15 16 17 dd IIUnter Anwendung der hessenbergschen Gleichung ergibt sich auch die von Felix Bernstein vorgelegte bernsteinsche Formel 18 19 20 Fur je zwei Ordinalzahlen a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp mit a b 1 displaystyle alpha leq beta 1 nbsp gilt2 ℵ b ℵ a ℵ b displaystyle 2 aleph beta aleph alpha aleph beta nbsp dd IIIFelix Bernstein hat eine weitere Alephformel geliefert die bei Klaua auch als bernsteinscher Alephsatz bezeichnet wird und die auf 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aleph alpha bigr leq aleph beta leq aleph alpha nbsp ℵ a ℵ b ℵ b 1 displaystyle aleph alpha aleph beta aleph beta 1 nbsp falls ℵ b ℵ a displaystyle aleph beta geq aleph alpha nbsp dd Erlauterungen und Anmerkungen BearbeitenDie Alephs sind als Ordinalzahlen dadurch gekennzeichnet dass sie unendlich und in Bezug auf die auf der Ordinalzahlenklasse O n displaystyle On nbsp gegebene Wohlordnungsrelation mit keiner echt kleineren Ordinalzahl gleichmachtig sind 31 Dieter Klaua definiert in seiner Allgemeine Mengenlehre nicht explizit was er unter Alephformeln versteht Aus dem Kontext wird jedoch klar was gemeint ist Die Formel von Hessenberg umfasst offenbar den schon von Georg Cantor mit Hilfe seiner Paarungsfunktion bewiesenen Satz demzufolge N 0 N 0 displaystyle mathbb N 0 times mathbb N 0 nbsp und N 0 displaystyle mathbb N 0 nbsp gleichmachtige Mengen sind Die Formel von Hessenberg wurde im Jahre 1908 von Philip Jourdain wiederentdeckt 32 Der Terminus Alephhypothese geht auf Felix Hausdorff und dessen Arbeit aus dem Jahre 1908 zuruck Hausdorff benutzt dort sogar den Terminus Cantorsche Alefhypothese 33 Einige Autoren wie Walter Felscher in Naive Mengen und abstrakte Zahlen III unterscheiden zwischen der Verallgemeinerten Kontinuumshypothese GCH und der Alephhypothese AH 34 Laut Felscher gilt dabei In einer Mengenlehre mit Fundierungsaxiom sind GCH und AH aquivalent in jedem Falle folgt aus GCH auch AH 35 Wie Ulrich Felgner in 1971 zeigte sind die Verallgemeinerte Kontinuumshypothese GCH und die Alephhypothese AH in einer Mengenlehre ohne Auswahlaxiom und ohne Fundierungsaxiom nicht miteinander aquivalent 36 Siehe auch BearbeitenKardinalzahlarithmetik Ordinalzahlarithmetik AnfangszahlLiteratur BearbeitenFelix Bernstein Untersuchungen aus der Mengenlehre In Mathematische Annalen Band 61 1905 S 117 155 MR1511337 Heinz Dieter Ebbinghaus Einfuhrung in die Mengenlehre Hochschultaschenbuch Band 141 4 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin 2003 ISBN 3 8274 1411 3 Walter Felscher Naive Mengen und abstrakte Zahlen III Transfinite Methoden Bibliographisches Institut Mannheim Wien Zurich 1979 ISBN 3 411 01553 5 MR0536486 Felix Hausdorff Der Potenzbegriff in der Mengenlehre In Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung Band 13 1904 S 569 571 Felix Hausdorff Grundzuge einer Theorie der geordneten Mengen In Mathematische Annalen Band 65 1908 S 435 505 Felix Hausdorff Grundzuge der Mengenlehre Reprinted New York 1965 Chelsea Publishing Company New York N Y 1965 Gerhard Hessenberg Grundbegriffe der Mengenlehre In Abhandlungen der Friesschen Schule Neue Folge Band 1 Vandenhoeck und Ruprecht Gottingen 1906 S 478 706 Karel Hrbacek Thomas Jech Introduction to Set Theory Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics Band 220 3 Auflage Marcel Dekker Inc New York Basel 1999 ISBN 0 8247 7915 0 MR1697766 Philip E B Jourdain The multiplication of Alephs In Mathematische Annalen Band 65 1908 S 506 512 MR1511479 Erich Kamke Mengenlehre Sammlung Goschen 999 999a 7 Auflage Walter de Gruyter Berlin New York 1971 Dieter Klaua Allgemeine Mengenlehre Ein Fundament der Mathematik Mathematische Lehrbucher und Monographien I Abteilung Mathematische Lehrbucher Band X Akademie Verlag Berlin 1964 MR0175791 J Konig Zum Kontinuum Problem In Mathematische Annalen Band 60 1905 S 177 180 MR1511296 J Konig Berichtigung In Mathematische Annalen Band 60 1905 S 462 MR1511318 Kazimierz Kuratowski Andrzej Mostowski Set Theory With an Introduction to Descriptive Set Theory Translated from the 1966 Polish original Studies in Logic and the Foundations of Mathematics Band 86 2 Auflage North Holland Publishing Company Amsterdam New York Oxford 1976 MR0485384 Azriel Levy Basic Set Theory Perspectives in Mathematical Logic Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1979 ISBN 3 540 08417 7 MR0533962 Arnold Oberschelp Allgemeine Mengenlehre BI Wissenschaftsverlag Mannheim Leipzig Wien Zurich 1994 ISBN 3 411 17271 1 MR0536486 Waclaw Sierpinski Cardinal and Ordinal Numbers Panstwowe Wydawnictwo Naukowe Warschau 1958 MR0095787 Alfred Tarski Sur quelques theoremes sur les alephs In Fundamenta Mathematicae Band 7 1925 S 1 14 Einzelnachweise Bearbeiten a b Dieter Klaua Allgemeine Mengenlehre 1964 S 507 ff Heinz Dieter Ebbinghaus Einfuhrung in die Mengenlehre 2003 S 127 ff Walter Felscher Naive Mengen und abstrakte Zahlen III 1979 S 107 ff Erich Kamke Mengenlehre 1971 S 176 ff Kuratowski Mostowski Set Theory 1976 S 267 ff Azriel Levy Basic Set Theory 1979 S 92 ff a b Arnold Oberschelp Allgemeine Mengenlehre 1994 S 237 ff Waclaw Sierpinski Cardinal and Ordinal Numbers 1958 S 389 ff Ebbinghaus op cit S 127 Kamke op cit S 176 Klaua op cit S 507 Levy op cit S 94 Klaua op cit S 509 Kamke op cit S 177 Levy op cit S 95 Oberschelp op cit S 239 Sierpinski op cit S 395 Klaua op cit S 510 Felscher op cit S 109 Oberschelp op cit S 241 a b Klaua op cit S 512 a b Sierpinski op cit S 402 Felix Hausdorff Der Potenzbegriff in der Mengenlehre Jahresber Dtsch Math Ver 13 S 570 Levy op cit S 187 Oberschelp op cit S 246 a b Hrbacek Jech Introduction to Set Theory 1999 S 165 Obwohl hier die Jahreszahl 1904 genannt ist erfolgte die Veroffentlichung erst in den Mathematische Annalen des Jahres 1905 Klaua op cit S 500 Oberschelp op cit S 241 242 Hrbacek Jech op cit S 166 167 Felscher op cit S 107 Levy op cit S 97 Felix Hausdorff Grundzuge einer Theorie der geordneten Mengen Math Ann 65 S 494 Felscher op cit S 173 175 Felscher op cit S 174 Oberschelp op cit S 242 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Alephformel amp oldid 229317239