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Konfinalität In der Ordnungstheorie und Mengenlehre findet die Eigenschaft konfinal auch kofinal engl cofinal Anwendung

Konfinalität

In der Ordnungstheorie und Mengenlehre findet die Eigenschaft konfinal (auch: kofinal, engl. cofinal) Anwendung bei topologischen Teilnetzen, so auch bei den proendlichen Zahlen. Der davon abgeleitete Begriff der Konfinalität (auch: Kofinalität, englisch cofinality) bezeichnet ein spezielles Attribut von halbgeordneten Teilmengen, nämlich eine Kardinalzahl.

Der Begriff wurde von Felix Hausdorff eingeführt.

Definitionen Bearbeiten

  • Sei eine durch partiell geordnete Menge und . Die Menge heißt konfinal (kofinal) in oder auch konfinal in , falls zu jedem ein mit existiert.
  • Die Konfinalität von wird mit bezeichnet und ist definiert als die kleinste Kardinalität einer konfinalen Teilmenge, d. h.

Begriffsbildung im Sinne von Hausdorff Bearbeiten

In Hausdorffs Grundzüge der Mengenlehre findet man die eine allgemeinere Begriffsbildung zur Konfinalität, welche im Falle, dass eine linear geordnete Menge vorliegt, mit der obigen übereinstimmt. Dieser allgemeinere Begriff lässt sich folgendermaßen darstellen:

Folgerungen Bearbeiten

ist transitiv und reflexiv, also eine Quasiordnung.
  • Die Konfinalität ist genau dann , wenn die partiell geordnete Menge leer ist.
  • Die Konfinalität ist genau dann , wenn die Ordnung ein Maximum besitzt, etwa wenn es sich um eine Nachfolgerordinalzahl handelt.
  • Für nicht-leere partiell geordnete Mengen ohne maximale Elemente ist die Konfinalität mindestens abzählbar, also (siehe Aleph-Funktion), und höchstens die Kardinalität der Menge selbst, denn jede partiell geordnete Menge liegt konfinal in sich selbst.
  • Für totalgeordnetes gilt , das heißt, ist regulär.
  • Für eine Limeszahl (aufgefasst als Von-Neumann-Ordinalzahl) ist eine Teilmenge genau dann konfinal, wenn ihre Vereinigung gleich ist.
  • Besitzt eine unendliche Menge reguläre Kardinalität , so benötigt man mindestens viele Mengen mit Mächtigkeit kleiner als , um als Vereinigung dieser Mengen darzustellen.
  • Für eine Limeszahl ist eine Teilmenge genau dann konfinal, wenn sie als Netz, versehen mit der natürlichen Ordnung, in der Ordnungstopologie von gegen konvergiert.

Beispiele Bearbeiten

  • Die Konfinalität von mit der natürlichen Ordnung ist , denn die natürlichen Zahlen bilden eine abzählbare konfinale Teilmenge.
  • ist regulär.
  • Schränkt man ein Netz unter Übernahme der Ordnung auf eine konfinale Teilmenge ein, erhält man ein Teilnetz (jedoch muss nicht jedes Teilnetz diese Gestalt besitzen).
  • Die Kardinalzahl ist singulär. Es gilt , denn ist eine konfinale Teilmenge.
  • Ist eine Nachfolgerordinalzahl und gilt das Auswahlaxiom, so ist stets regulär. Die Frage, ob es neben weitere und damit überabzählbare, reguläre Limeskardinalzahlen gibt, ist Kern der Große-Kardinalzahl-Axiome, d. h. der Axiome über die Existenz großer Kardinalzahlen.

Literatur Bearbeiten

  • Ulf Friedrichsdorf, Alexander Prestel: Mengenlehre für den Mathematiker (= Vieweg-Studium. 58 Grundkurs Mathematik.). Vieweg, Braunschweig u. a. 1985, ISBN 3-528-07258-X.
  • Thomas Jech: Set Theory. 3rd millennium Edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2.
  • P. S. Alexandroff: Lehrbuch der Mengenlehre. Übersetzt aus dem Russischen von Manfred Peschel, Wolfgang Richter und Horst Antelmann. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main 1994, ISBN 3-8171-1365-X.
  • Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Band 7). Springer Verlag, New York 2005, ISBN 0-387-24219-8 (MR2127991).
  • Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Reprinted, New York, 1965. Chelsea Publishing Company, New York, N. Y. 1965.
  • Erich Kamke: Mengenlehre (= Sammlung Göschen. 999/999a). 7. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin, New York 1971.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Reprinted, New York, 1965, S. 140.
  2. Erich Kamke: Mengenlehre. 1971, S. 167–168.
  3. In Bezug auf die vorliegende Ordnungsrelation .
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In der Ordnungstheorie und Mengenlehre findet die Eigenschaft konfinal auch kofinal engl cofinal Anwendung bei topologischen Teilnetzen so auch bei den proendlichen Zahlen Der davon abgeleitete Begriff der Konfinalitat auch Kofinalitat englisch cofinality bezeichnet ein spezielles Attribut von halbgeordneten Teilmengen namlich eine Kardinalzahl Der Begriff wurde von Felix Hausdorff eingefuhrt Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Begriffsbildung im Sinne von Hausdorff 2 Folgerungen 3 Beispiele 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenSei l displaystyle lambda nbsp eine durch displaystyle leq nbsp partiell geordnete Menge und X l displaystyle X subset lambda nbsp Die Menge X displaystyle X nbsp heisst konfinal kofinal in l displaystyle lambda nbsp oder auch konfinal in l displaystyle lambda leq nbsp falls zu jedem m l displaystyle mu in lambda nbsp ein 3 X displaystyle xi in X nbsp mit m 3 displaystyle mu leq xi nbsp existiert Die Konfinalitat von l displaystyle lambda nbsp wird mit cf l displaystyle operatorname cf lambda nbsp bezeichnet und ist definiert als die kleinste Kardinalitat einer konfinalen Teilmenge d h cf l min X l konfinal X displaystyle operatorname cf lambda min X subset lambda text konfinal X nbsp dd Fur eine Ordinalzahl l displaystyle lambda nbsp und damit auch fur eine jede Kardinalzahl l displaystyle lambda nbsp hat man folgende Begriffsbildung Falls cf l lt l displaystyle operatorname cf lambda lt lambda nbsp so heisst l displaystyle lambda nbsp singular Falls cf l l displaystyle operatorname cf lambda lambda nbsp so heisst l displaystyle lambda nbsp regular dd Begriffsbildung im Sinne von Hausdorff Bearbeiten In Hausdorffs Grundzuge der Mengenlehre findet man die eine allgemeinere Begriffsbildung zur Konfinalitat welche im Falle dass eine linear geordnete Menge vorliegt mit der obigen ubereinstimmt Dieser allgemeinere Begriff lasst sich folgendermassen darstellen 1 2 Ist S displaystyle S preccurlyeq nbsp eine nichtleere teilweise geordnete Menge und T S displaystyle T subseteq S nbsp eine darin liegende nichtleere Teilmenge so sagt man S displaystyle S nbsp sei mit T displaystyle T nbsp konfinal wenn kein Element s S displaystyle s in S nbsp existiert welches echt grosser ist als jedes Element t T displaystyle t in T nbsp 3 Folgerungen BearbeitenDie RelationX cof l X l X displaystyle X mathrel overset underset text cof subset lambda quad Longleftrightarrow quad X subset lambda wedge X nbsp ist kofinal in l displaystyle lambda nbsp dd ist transitiv und reflexiv also eine Quasiordnung Transitivitat Ist X cof l displaystyle X mathrel overset underset text cof subset lambda nbsp und Y cof X displaystyle Y mathrel overset underset text cof subset X nbsp dann ist erstens Y X l displaystyle Y subset X subset lambda nbsp Zweitens gibt es zu jedem 3 X displaystyle xi in X nbsp ein h Y displaystyle eta in Y nbsp mit 3 h displaystyle xi leq eta nbsp Ist nun m l displaystyle mu in lambda nbsp dann gibt es ein 3 X 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nbsp ist regular Fur eine Limeszahl l displaystyle lambda nbsp aufgefasst als Von Neumann Ordinalzahl ist eine Teilmenge X displaystyle X nbsp genau dann konfinal wenn ihre Vereinigung X displaystyle textstyle bigcup X nbsp gleich l displaystyle lambda nbsp ist Besitzt eine unendliche Menge K displaystyle K nbsp regulare Kardinalitat k displaystyle kappa nbsp so benotigt man mindestens k displaystyle kappa nbsp viele Mengen mit Machtigkeit kleiner als k displaystyle kappa nbsp um K displaystyle K nbsp als Vereinigung dieser Mengen darzustellen Fur eine Limeszahl l displaystyle lambda nbsp ist eine Teilmenge genau dann konfinal wenn sie als Netz versehen mit der naturlichen Ordnung in der Ordnungstopologie von l 1 displaystyle lambda 1 nbsp gegen l displaystyle lambda nbsp konvergiert Beispiele BearbeitenDie Konfinalitat von R displaystyle mathbb R nbsp mit der naturlichen Ordnung ist ℵ 0 displaystyle aleph 0 nbsp denn die naturlichen Zahlen bilden eine abzahlbare konfinale Teilmenge ℵ 0 displaystyle aleph 0 nbsp ist regular Schrankt man ein Netz unter Ubernahme der Ordnung auf eine konfinale Teilmenge ein erhalt man ein Teilnetz jedoch muss nicht jedes Teilnetz diese Gestalt besitzen Die Kardinalzahl ℵ w displaystyle aleph omega nbsp ist singular Es gilt cf ℵ w ℵ 0 displaystyle operatorname cf aleph omega aleph 0 nbsp denn ℵ i i N displaystyle aleph i mid i in mathbb N nbsp ist eine konfinale Teilmenge Ist a displaystyle alpha nbsp eine Nachfolgerordinalzahl und gilt das Auswahlaxiom so ist ℵ a displaystyle aleph alpha nbsp stets regular Die Frage ob es neben ℵ 0 displaystyle aleph 0 nbsp weitere und damit uberabzahlbare regulare Limeskardinalzahlen gibt ist Kern der Grosse Kardinalzahl Axiome d h der Axiome uber die Existenz grosser Kardinalzahlen Literatur BearbeitenUlf Friedrichsdorf Alexander Prestel Mengenlehre fur den Mathematiker Vieweg Studium 58 Grundkurs Mathematik Vieweg Braunschweig u a 1985 ISBN 3 528 07258 X Thomas Jech Set Theory 3rd millennium Edition revised and expanded Springer Berlin u a 2003 ISBN 3 540 44085 2 P S Alexandroff Lehrbuch der Mengenlehre Ubersetzt aus dem Russischen von Manfred Peschel Wolfgang Richter und Horst Antelmann Verlag Harri Deutsch Thun und Frankfurt am Main 1994 ISBN 3 8171 1365 X Egbert Harzheim Ordered Sets Advances in Mathematics Band 7 Springer Verlag New York 2005 ISBN 0 387 24219 8 MR2127991 Felix Hausdorff Grundzuge der Mengenlehre Reprinted New York 1965 Chelsea Publishing Company New York N Y 1965 Erich Kamke Mengenlehre Sammlung Goschen 999 999a 7 Auflage Walter de Gruyter Berlin New York 1971 Einzelnachweise Bearbeiten Felix Hausdorff Grundzuge der Mengenlehre Reprinted New York 1965 S 140 Erich Kamke Mengenlehre 1971 S 167 168 In Bezug auf die vorliegende Ordnungsrelation displaystyle preccurlyeq nbsp Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Konfinalitat amp oldid 223460389