Die Zustandsraumdarstellung ist eine von mehreren bekannten Formen der Systembeschreibung eines linearen zeitinvarianten Übertragungssystems. Das Zustandsraummodell gilt als ingenieurtechnisch geeignete Methode der Analyse und Synthese dynamischer Systeme im Zeitbereich und ist besonders effizient bei der regelungstechnischen Behandlung von Mehrgrößensystemen, nichtlinearen und zeitvariablen Übertragungssystemen. Dabei werden sämtliche Beziehungen der Eingangs-, Ausgangs- und Zustandsgrößen in Form von Matrizen und Vektoren dargestellt. Das Zustandsraummodell wird durch zwei Gleichungen beschrieben, die Zustandsdifferenzialgleichung erster Ordnung und die Ausgangsgleichung.
Geschichte Bearbeiten
Die seit den 1960er Jahren bekannte Theorie des Zustandsraumes stammt aus den USA von dem Mathematiker und Stanford-Universitätslehrer Rudolf E. Kálmán. Sie ist etwa zeitgleich mit dem Auftreten erster leistungsfähiger Digitalrechner entstanden, die für den Umgang mit der Zustandsraumdarstellung unverzichtbar sind.
Im Hochschulbereich der ingenieurwissenschaftlichen Fachrichtungen der Automatisierung, Mechatronik, Elektrotechnik usw. nimmt insbesondere in der Regelungstechnik die Zustandsraumdarstellung zunehmend einen größeren Bereich ein. So gilt nach Darstellung einiger Hochschullehrer die Zustandsraumdarstellung bereits in der Vergangenheit als wesentlicher technologischer Impuls für die Luft- und Raumfahrt wie der im Apollo-Programm 1969 vollzogene Flug zum Mond.
Grundlagen Bearbeiten
Unter dem Begriff Zustandsraumdarstellung versteht man die Beschreibung eines dynamischen Übertragungssystems durch seine Zustandsgrößen (= Zustandsvariablen). Dabei wird die systembeschreibende Differenzialgleichung n-ter Ordnung mit n konzentrierten Energiespeichern in n Differenzialgleichungen 1. Ordnung zerlegt und in eine Matrizen/Vektor-Darstellung gebracht.
Die Zustandsvariablen beschreiben physikalisch den Energiegehalt der in einem technischen dynamischen System enthaltenen Speicherelemente. Zustandsvariablen sind z. B. die Spannung an einem Kondensator, der Strom in einer Induktivität, bei einem Feder-Massesystem die Auslenkung der Feder, die Geschwindigkeit der Masse. Die Anzahl der Zustandsvariablen des Zustandsvektors entspricht der Dimension des Zustandsraumes. Im Zustandsvektor zum beliebigen Zeitpunkt t(0) sind alle Informationen des dynamischen Übertragungssystems enthalten.
Wesentliche Begriffe zum Verständnis der Beschreibung eines Übertragungssystems im Zustandsraum sind das Zustandsraummodell und die angewandte Normalform, nach der die Zustandsgleichungen und zugehörigen Matrizen / Vektoren ausgelegt sind. Das Zustandsraummodell kann für nicht sprungfähige Systeme direkt aus den Koeffizienten der systembeschreibenden Differenzialgleichung oder der zugehörigen Übertragungsfunktion erstellt werden.
Nach dem Signalflussplan der Regelungsnormalform kann mit Hilfe der zurückgeführten Zustandsvariablen ein dynamisch vorteilhafter Zustands-Regelkreis gebildet werden, der ohne Matrizendarstellung mittels numerischer Berechnung aller vorliegenden Signalgrößen simuliert werden kann.
Ãœbersicht der Systembeschreibungen Bearbeiten
In der klassischen Regelungstheorie vor den 1960er Jahren hatte die Analyse und Berechnung von Regeleinrichtungen im Zeitbereich nur eine geringere Bedeutung als die Methoden im Frequenz- und s-Bereich, wie die Laplace-Transformation, der Frequenzgang und das Wurzelortskurvenverfahren. Dabei wurden hauptsächlich lineare zeitinvariante Übertragungsglieder mit konstanten Koeffizienten behandelt. Nichtlineare Systeme wurden linearisiert.
Zum Verständnis der Theorie der Zustandsraumdarstellung sind folgende Kenntnisse der Systembeschreibungen erforderlich:
- Gewöhnliche Differenzialgleichungen eines Übertragungssystems
- Beschreibung linearer Systeme im komplexen Frequenzbereich
- Numerische Beschreibung linearer und nichtlinearer Systeme
Definition des Zustandes eines Ãœbertragungssystems Bearbeiten
Physikalisch betrachtet ist der Zustand eines dynamischen Systems durch den Energiegehalt der im System vorhandenen Energiespeicher bestimmt. Die Zustandsgrößen beschreiben den Energiegehalt der im System enthaltenen Speicherelemente. Sie können sich bei Anregung des Systems nicht sprunghaft ändern.
Der Wert der Zustandsgrößen zu einem bestimmten Zeitpunkt t ist der Zustand des Systems und wird durch den Vektor zusammengefasst.
Das Verhalten des Übertragungssystems ist zu einem beliebigen Zeitpunkt zu der Zeit t = 0 für t > 0 vollständig gegeben, wenn
- das mathematische Modell des Ãœbertragungssystems bekannt ist,
- die Anfangswerte der Energiespeicher bekannt sind und
- die Eingangsgrößen des Systems bekannt sind.
Daraus folgt:
Bei Kenntnis des Systemzustandes und aller auf das System einwirkenden Signalgrößen kann das zukünftige Systemverhalten für t > 0 vorausbestimmt werden.
Zustand eines dynamischen Systems im Zustandsraum = Zustandsvektor zum Zeitpunkt .
- Der Zustandsvektor eines linearen Systems bestimmt mit dem Verlauf des Eingangssignals u(t) vollständig den Verlauf der Ausgangsgröße y(t) für .
- Die Anzahl der Zustandsvariablen von ist die Dimension des Zustandsraumes.
Begriffsdefinitionen: Zustandsraum, Vektorraum, Phasenraum, Phasenporträt Bearbeiten
Im deutschen Sprachraum ist der Begriff der Zustandsraumdarstellung für den älteren und auch heute gültigen Begriff Systembeschreibung im Zustandsraum erst nach den 1970er Jahren entstanden.
In der Regelungstechnik wird der Begriff „Zustandsraum“ eines dynamischen Übertragungssystems meist wie folgt definiert:
„Der Zustandsraum ist der dem Zustandsvektor zugehörige n-dimensionale Vektorraum, in dem sich jeder Zustand als Punkt und jede Zustandsänderung des Übertragungssystems sich als Teil einer Bahnkurve (Trajektorie) darstellt.“
Allgemein kann der Zustandsraum von dynamischen Systemen jedoch eine Mannigfaltigkeit sein, die nicht die Anforderungen an einen Vektorraum erfüllt. Diese besitzt nur in einer lokalen Umgebung um einen Punkt dieselben Eigenschaften wie ein Vektorraum.
Das Systemverhalten eines dynamischen Übertragungssystems im Zustandsraum am Beispiel eines Verzögerungssystems höherer Ordnung lässt sich grafisch darstellen durch:
- Grafische Darstellung des Phasenporträts
- Aufzeichnung des Verlaufs der Zustandsvariablen f(t)
Beispiel Zustandsvariablen und Zustandsgleichungen für ein PT2-Schwingungsglied Bearbeiten
Standard-Ãœbertragungsfunktion eines Schwingungsgliedes (PT2-Glied) mit konjugiert komplexen Polen (PT2KK-Glied):
Die zugehörige lineare Differenzialgleichung wird durch Umwandlung mit Hilfe der inversen Laplace-Transformation ermittelt:
In der Fachliteratur werden zur Vereinheitlichung die Koeffizienten der Ableitungen von y(t) (hier T², 2 D T) mit dem Buchstaben a dargestellt, für die rechte Seite der Ableitungen von u(t) mit b und fortlaufend nummeriert:
Die höchste Ableitung wird vom Koeffizienten freigestellt, in dem alle Terme der Gleichung durch dividiert werden und nach aufgelöst wird:
Das in dem Strukturbild dargestellte Blockschaltbild entspricht der klassischen Variante der Lösung einer Differenzialgleichung mit Hilfe der Analogrechentechnik. Dieses Verfahren ist seit langem bekannt. Das Interesse galt natürlich nur dem Verhalten der Ausgangsgröße y(t).
Jede Ableitung der Ausgangsgröße y(t) wird einer Integration unterzogen. Jede Zustandsgröße wird mit dem zugehörigen Koeffizienten auf den Eingang zurückgeführt und von der Eingangsgröße u(t) subtrahiert.
Eine Differenzialgleichung n-ter Ordnung benötigt zur Lösung n Integrationen. Nach dem Blockschaltbild zur Lösung der Differenzialgleichung 2. Ordnung ergeben sich 2 Zustandsvariablen als Ausgänge der Integratoren. Durch Substitution werden die Ableitungen von y(t) durch die Bezeichnung der Zustandsvariablen x(t) wie folgt eingesetzt:
Damit lautet die Differentialgleichung mit den eingeführten neuen Bezeichnungen der Zustandsvariablen:
Die Umwandlung der systembeschreibenden Differenzialgleichung n-ter Ordnung in n-gekoppelte Differenzialgleichungen 1. Ordnung geschieht wie folgt:
Stellt man sich laut dem Blockschaltbild z. B. die Zustandsvariable vom Ausgang des Integrators auf den Eingang des gleichen Integrators versetzt vor, dann ist die Ableitung von .
Daraus folgen die Zustandsdifferentialgleichungen 1. Ordnung:
Die Zustandsgrößen und bilden den sogenannten Zustandsvektor .
Diese Gleichungen werden als Vektordifferenzialgleichungen in Matrizenform wie folgt geschrieben:
und die Ausgangsgleichung:
Es existieren verschiedene Signalflusspläne, die zur Lösung der Differenzialgleichung und der Bestimmung der Zustandsvariablen führen. Der Quotient kann entsprechend dem Blockschaltbild des Schwingungsglieds links der Subtraktionsstelle liegen, er kann rechts davon liegen, oder die Gleichung kann so umgeformt werden, dass die höchste Ableitung den Koeffizienten 1 hat. Alle diese Maßnahmen führen zu einem gleichen Ergebnis für die Ausgangsgröße y(t). Dies gilt aber nicht für die Definition der Koeffizienten der Zustandsgrößen.
Für Übertragungssysteme mit Polen und Nullstellen gibt es deshalb eine einheitliche Normalform, vorzugsweise die „Regelungsnormalform“ zur Darstellung der Signalflüsse.
Zustandsraummodell Bearbeiten
Bei der Zustandsraumdarstellung wird von einem Zustandsraummodell ausgegangen.
Das Blockschaltbild mit dem Signalflussplan des Zustandsraummodells zeigt ein Eingrößen-Übertragungssystem mit einem Eingangssignal u(t) und einem Ausgangssignal y(t) in einer allgemeinen Darstellung für ein lineares Übertragungssystem mit n Differenzialgleichungen 1. Ordnung. Es entspricht der Systemdarstellung der Regelungsnormalform. Anstelle eines Differenzialgleichungssystems n-ter Ordnung tritt eine Ableitung des n-dimensionalen Zustandsvektors 1. Ordnung . Diese Ableitung ist Eingangsgröße eines Integrators; daraus ergibt sich der Zustandsvektor .
Die Zustandsgleichungen für die Ableitung des Vektors und die Ausgangsgröße y(t) eines Eingrößensystems
können direkt aus dem Blockschaltbild des Zustandsraummodells abgelesen werden.
Das Blockschaltbild des Zustandsraummodells hat eine einheitliche Form, wird aber als Ein- oder Mehrgrößensystem unterschiedlich dargestellt. Bei dem Mehrgrößensystem treten anstelle der skalaren Ein- und Ausgangsgrößen u(t) und y(t) die Vektoren und . Die Signalflüsse von Matrizen und Vektoren werden in dem Blockschaltbild durch Doppellinien dargestellt.
Zusammenfassung Zustandsraummodell:
- Zustandsraummodell und Blockschaltbild
- Systemmatrix
- Lineare und nichtlineare Systeme
- Zustandsdifferenzialgleichung und Ausgangsgleichung
| Gleichung | Bei Eingrößensystemen | Bei Mehrgrößensystemen |
|---|---|---|
| Zustandsdifferenzialgleichung (auch Zustandsgleichung) | ||
| Ausgangsgleichung | für | für |
| Bedeutung | Eingrößensystem | Mehrgrößensystem |
|---|---|---|
| Ableitung des Zustandsvektors | ||
| Zustandsvektor | ||
| Zustandsvariable | ||
| Vektor der Anfangsbedingungen | ||
| Eingangssignale | Eingangsvariable | Eingangsvariablenvektor |
| Ausgangssignale | Ausgangsvariable | Ausgangsvariablenvektor |
| Systemmatrix | ||
| Eingangsmatrix | Eingangsvektor | Eingangsmatrix |
| Ausgangsmatrix | Ausgangsvektor (transponiert) | Ausgangsmatrix |
| Durchgangsmatrix | Durchgangsfaktor für | Durchgangsmatrix für |
Indizierung:
- Matrizen = Großbuchstaben mit Unterstrich,
- Vektoren = Kleinbuchstaben mit Unterstrich,
- Transponierte Vektordarstellung, Beispiel:
Lineare Zustandsdifferenzialgleichungen eines Mehrgrößensystems Bearbeiten
Laut Fachliteratur werden im Zustandsraum dynamische Systeme allgemein als Mehrgrößensysteme betrachtet. Eingrößensysteme gelten – Im Gegensatz zur klassischen Regelungstechnik – als Sonderfall.
Lineare Übertragungssysteme mit mehreren Eingangs- und Ausgangsgrößen kann man mit linearen Zustandsdifferenzialgleichungen beschreiben.
Die Ausgangsgleichungen bei Linearen Systemen haben folgende Formen:
Diese in Vektorschreibweise dargestellten Gleichungen kann man auch in Matrizenschreibweise wiedergeben.
Zustandsdifferenzialgleichungen der Mehrgrößensysteme
Ausgangsgleichungen der Mehrgrößensysteme:
In kompakter symbolischer Darstellung wird daraus:
Lineare Zustandsdifferenzialgleichungen der Eingrößensysteme Bearbeiten
Eingrößensysteme haben nur eine Eingangsgröße und eine Ausgangsgröße . Dabei gehen die Eingangsmatrizen und Ausgangsmatrizen in den Eingangsvektor und Ausgangsvektor über. Die Durchgangsmatrix wird zu einem Skalar.
In kompakter symbolischer Darstellung wird daraus:
Normalformen im Zustandsraum Bearbeiten
Bei den Zustandsbeschreibungen mit Normalformen nehmen die Zustandsgleichungen besonders einfache und zweckmäßige Formen für bestimmte Berechnungen an. Für die Normalformen wird von der Systembeschreibung des linearen Übertragungssystems durch die Differenzialgleichung oder zugehörige Übertragungsfunktion ausgegangen.
Zu den bekanntesten Normalformen gehören:
- Regelungsnormalform (auch mit Frobenius-Form, Steuerungsnormalform oder 1. Standardform bezeichnet)
- Beobachtungsnormalform
- Kanonische Normalform (auch mit Jordansche Normalform oder Diagonalform bezeichnet).
Die Normalformen sind in der Systemmatrix durch die örtliche Lage der Koeffizienten erkennbar.
Regelungsnormalform Bearbeiten
Die Signalstruktur der Regelungsnormalform stellt sich als ein analoges zeitkontinuierliches System dar, das mit der Eingangsgröße die Lösung der Differentialgleichung wiedergibt und gleichzeitig die Zustandsvariablen zeigt.
Das Blockschaltbild der Regelungsnormalform zeigt die Umsetzung und Lösung der Differenzialgleichung in die physikalischen analogen Signalflüsse der Zustandsgrößen einschließlich der Ausgangsgröße bei gegebener Eingangsgröße. Man kann sie als eine Weiterentwicklung der in der Analogrechentechnik bekannten Verfahren zur Lösung einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit Integratoren betrachten. Die Signalflüsse können bei Kenntnis der Koeffizienten der Zustandsvariablen direkt mittels numerischer Berechnung für beliebige Eingangssignale ermittelt und grafisch dargestellt werden.
Das vereinfachte Beispiel des Blockschaltbild-Signalflussplanes 2. Ordnung zeigt ein Übertragungssystem, das nur Pole enthält. Für beliebige Systeme mit Polen und Nullstellen in der Regelungsnormalform muss der Signalflussplan um die Ableitungen der Eingangsgröße so erweitert werden, dass die Terme sich zu der Ausgangsgröße y(t) addieren.
Übertragungsfunktion und zugehörige Differenzialgleichung in Polynomdarstellung
Die Übertragungsfunktion eines linearen Übertragungssystems in Polynomdarstellung ist definiert als das Verhältnis von Ausgangssignal zu Eingangssignal als Funktion der komplexen Frequenz s. Sie entsteht unter der Voraussetzung, dass die Anfangsbedingungen der Energiespeicher der Ausgangsgröße Y(s) zu Null gesetzt sind:
Dabei bedeuten n = Anzahl der Pole und m = Anzahl der Nullstellen des Systems:
- n > m: Dies entspricht dem Normalfall in der Regelungstechnik, d. h. die Anzahl der Pole n sind größer als die der Nullstellen m. Das System ist nicht sprungfähig.
- m = n: Diese Beziehung mit gleicher Anzahl der Pole und Nullstellen kommt nur in Ausnahmefällen vor. Das System ist sprungfähig, d. h. eine sprungförmige Änderung der Eingangsgröße wird unverzögert auf den Ausgang übertragen.
- m > n: Diese Systeme können nicht mit der Zustandsraumdarstellung behandelt werden. Sie sind auch technisch nicht realisierbar.
Die zugehörige Differenzialgleichung der Übertragungsfunktion ergibt sich durch die inverse Laplace-Transformation.
Der höchste Grad der Ableitung von gibt die Anzahl der Speicherelemente der Strecke wieder.
Zustandsvariablen entstehen aus den Polen des Ãœbertragungssystems
Die Zustandsvariablen eines linearen Systems n-ter Ordnung mit n Energiespeichern entstehen immer aus den Polen. Hat das Übertragungssystem auch Nullstellen – also differenzierende Anteile – so werden die Zustandsvariablen mit den Koeffizienten der Ableitungen der Eingangsgröße u(t) zu der Ausgangsgröße y(t) addiert. Erklärung aus der Systemtheorie: Die Pole einer Übertragungsfunktion bestimmen die Geschwindigkeit der Systembewegung und der Stabilität. Die Nullstellen einer Übertragungsfunktion haben nur Einfluss auf die Amplituden des Systems.
Indizierung der Ableitungen von y(t)
Weil die Ausgangsgröße des Übertragungssystems aber bereits mit y(t) bezeichnet wird, muss die systembeschreibende Differenzialgleichung mit den Ableitungen von y(t) indiziert werden. Die Differentialgleichung erhält anstelle des Symbols y(t) das Symbol und u(t) durch eingeführt wird. In der Zustandsraumdarstellung verschwinden die Ableitungen von y(t) und werden durch die Zustandsvariablen x(t) ersetzt.
Damit werden die Zustandsvariablen
In dem Blockschaltbild der Regelungsnormalform werden die Ableitungen von durch die Zustandsvariablen ersetzt, so dass nicht mehr in Erscheinung tritt.
Definition Pol-Nullstellenverhältnis und Koeffizienten der Differenzialgleichung
Die Regelungsnormalform gilt für lineare Systeme mit n Polen und m Nullstellen bis n → m.
Mit Hilfe von numerischen zeitdiskreten Berechnungsmethoden kann die Lösung der Differenzialgleichung y(t) sowie der Verlauf der Zustandsvariablen für ein gegebenes Eingangssignal u(t) leicht ermittelt werden.
Die zugehörige Matrizendarstellung für ein in der Regelungstechnik übliches sprungunfähiges System der Ordnung n lautet in der Regelungsnormalform mit folgenden Bedingungen:
Die systembeschreibende Übertragungsfunktion bzw. die zugehörige Differenzialgleichung werden so umgeformt, dass der Koeffizient der höchsten Ableitung von y(t) gleich 1 entspricht. Sämtliche Koeffizienten werden durch dividiert und neu geordnet.
Beispiel: Zustandsvariablen für ein Übertragungssystem 4. Ordnung
Die Übertragungsfunktion eines Übertragungssystems z. B. 4. Ordnung (mit den Ableitungen der Eingangsgröße 3. Ordnung) lautet mit der für die Regelungstechnik zulässigen Einschränkung n > m und dem Koeffizienten der höchsten Ableitung von y(t): :
Die zugehörige Differenzialgleichung lautet für ein Übertragungssystem 4. Ordnung dann mit den zulässigen Einschränkungen m < n:
Aus der Differenzialgleichung ergeben sich nach bekanntem Schema (Substitution der Ableitungen von y(t) durch x(t)) folgende Zustandsgleichungen:
Diese Gleichungen können für die Zustandsraumdarstellung in Matrizenschreibweise als Zustandsdifferenzialgleichungen für Eingrößensysteme immer nach gleichem Schema überführt werden:
Ausgangsgleichungen für Eingrößensysteme:
Unter dem Zustandsraummodell in der Regelungsnormalform versteht man eine einheitliche Form der Matrizendarstellung mit folgenden vorteilhaften Eigenschaften:
- Die Zählerkoeffizienten der Übertragungsfunktion (Nullstellen) sind nur in dem Ausgangsvektor enthalten,
- Die Nennerkoeffizienten der Ãœbertragungsfunktion (Pole) sind nur in der Systemmatrix enthalten,
- Die Systemmatrix hat eine spezielle Struktur. Von den n·n Elementen sind nur die n-Elemente der letzten Zeile vom Übertragungssystem abhängig,
- Der Eingangsvektor ist unabhängig von den Systemeigenschaften.
Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit von Ãœbertragungssystemen Bearbeiten
Modell eines Ãœbertragungssystems Bearbeiten
Für die Analyse, Synthese und Regelung von realen Übertragungssystemen (Regelstrecken), die meist als ein Hardwaresystem vorliegen, ist ein mathematisches Modell des Systems erforderlich.
Modelle in Form von Differenzialgleichungen beschreiben das zeitliche Verhalten des Systems exakt. Sind diese Differenzialgleichungen oder zugehörigen Übertragungsfunktionen nicht gegeben, kann das zeitliche Verhalten eines Hardwaresystems durch experimentelle Identifizierungsmaßnahmen (Experimentelle Systemidentifikation) mit Hilfe von Testsignalen ermittelt werden.
Bei der prinzipiellen Vorgehensweise wird der Identifikationsalgorithmus für die Modellparameter solange verändert, bis für ein gegebenes Eingangssignal u(t) die Differenz der Ausgangsgrößen y(t) − yModell(t) innerhalb eines beliebigen Zeitablaufs des gemessenen Originalausgangs mit dem Modellausgang annäherungsweise verschwindet.
Das Modell legt die Struktur eines Signalflussplanes fest, aus dem die Zustandsgrößen abgeleitet werden können. Hat das System n Energiespeicher, so werden die n Zustandsgrößen durch den Zustandsgrößenvektor zusammengefasst. Sind die Eingangsgröße u(t) und die Koeffizienten der Zustandsgrößen der Strecke bekannt, kann die Ausgangsgröße y(t) errechnet werden.
Das Übertragungssystem (Regelstrecke) muss steuerbar sein. Alle Zustandsvariablen müssen verfügbar sein. Pol-Nullstellenkompensation im Zustandsraum ist nicht erlaubt, weil ein Informationsverlust eintritt.
Während bei Eingrößensystemen sich das Problem der Steuerbarkeit und der Beobachtbarkeit nicht immer stellt, weil Eingrößensysteme sich einfacher darstellen, ist bei verkoppelten Mehrgrößensystemen gegebenenfalls eine Prüfung nach bekannten Regeln der Steuerbarkeitsmatrix und der Beobachtbarkeitsmatrix erforderlich.
Steuerbarkeit Eingrößensystem: Für ein System mit nur einer Steuergröße wird aus der Matrix ein Spaltenvektor .
Beobachtbarkeit Eingrößensystem: Für ein System mit nur einer Ausgangsgröße wird aus der Matrix ein Zeilenvektor
Damit ergibt sich eine vereinfachte Steuerbarkeitsmatrix und eine vereinfachte Beobachtbarkeitsmatrix.
Steuerbarkeit Bearbeiten
Bei der Zustandsregelung werden alle Zustandsgrößen auf den Eingang des Systems zurückgeführt. Für die Durchführung einer Zustandsregelung müssen alle Zustandsvariablen zur Verfügung stehen. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn die Stellgröße des Reglers auf alle Zustandsvariablen wirkt.
Ein System ist steuerbar, wenn es von einem beliebigen Anfangszustand nach endlicher Zeit in einen beliebigen Endzustand gebracht werden kann.
Allgemein gilt für die Steuerbarkeit auf die Signalgrößen bezogen:
Ein System n-ter Ordnung ist dann vollständig zustandssteuerbar, wenn die Steuerbarkeitsmatrix den Rang hat.
Sind alle Zustände (Zustandsgrößen) eines Systems steuerbar, so ist auch das System steuerbar.
Beobachtbarkeit / Beobachter Bearbeiten
Zustandsregelungen erfordern alle Zustandsgrößen eines Übertragungssystems. Die Zustandsgrößen werden durch Messung aus der Regelstrecke ermittelt. Ist dieser Fall gegeben, entspricht dies der „vollständigen Beobachtbarkeit“.
Häufig können aus technischen oder kommerziellen Gründen nicht alle Zustandsvariablen gemessen werden. Deshalb werden einzelne nicht messbare Zustandsvariablen aus den bekannten und vorhandenen Eingangs- und Ausgangsgrößen der Regelstrecke errechnet. Zustandsbeobachter, die diese Aufgabe durchführen, sind zusätzliche Regelsysteme. Sie rekonstruieren Zustandsvariable aus dem Verlauf der Ein- und Ausgangsgrößen an einem Modell der Regelstrecke. Die Eingangsvariable u(t) muss bekannt sein.
Zustandsbeobachter können nur realisiert werden, wenn das zu beobachtende System beobachtbar ist, was bei den allermeisten technischen Regelstrecken der Fall ist.
Ein lineares Ãœbertragungssystem ist beobachtbar, wenn durch Messung der Ausgangsvariablen y(t) der Anfangszustand des Zustandsvektors nach endlicher Zeit bestimmt werden kann.
Ein System n-ter Ordnung ist dann vollständig beobachtbar, wenn die Beobachtbarkeitsmatrix den Rang hat.
Zustandsregler mit Beobachter Bearbeiten
Für die Realisierung des Zustandsbeobachters wird das Separationsprinzip angewandt. Es erlaubt den getrennten Entwurf der Zustandsrückführung und der Beobachtung. Ein solches Verfahren kann mit dem „Luenberger-Beobachter“ realisiert werden. Dabei sind die Regelstrecke und der Beobachter mit der Modell-Regelstrecke parallel am Eingang u(t) geschaltet. Der Ausgang beider Systeme wird überwacht und zur Korrektur der Modell-Regelstrecke verwendet.
Der Beobachter benötigt ein möglichst genaues Modell der Regelstrecke.
Durch die Struktur der Regelstrecke und durch Identifikationsverfahren mittels der Sprung- oder Impulsantwort der Regelstrecke kann ein Modell der Regelstrecke gebildet werden, das in den meisten Fällen noch mit kleinen Fehlern behaftet ist.
Nach dem Verfahren mit dem Luenberger-Beobachter wird der Regelstrecken-Ausgang y(t) mit dem Modellausgang verglichen und über eine Regelschleife auf den Eingang des Modells additiv zurückgeführt, so dass der Ausgang der Regelstrecke und der Ausgang des Modells innerhalb einer Ausregelzeit identisch sind. Es wird davon ausgegangen, dass der unbekannte Zustandsvektor und der ermittelte Modell-Zustandsvektor dann nahezu identisch sind.
Für den Zustandsregelkreis wird der ermittelte Zustandsvektor mit Bewertungsfaktoren für das gewünschte dynamische Verhalten des Zustandsregelkreises von der Führungsgröße w(t) subtrahiert.
Regelung im Zustandsraum Bearbeiten
Bei einschleifigen Standardregelkreisen wird üblicherweise die Ausgangsgröße des Regelkreises von der Führungsgröße subtrahiert und dann als Regeldifferenz dem Regler zugeführt. Dieses Verfahren bezeichnet man im Zusammenhang mit der Behandlung von Systemen im Zustandsraum als Ausgangsrückführung.
Eine übliche Regler-Entwurfsstrategie für Regelstrecken mit Ausgangsrückführung ist relativ einfach:
Durch Pol-Nullstellenkompensation von Regler und Regelstrecke des offenen Regelkreises wird die Übertragungsfunktion des Gesamtregelkreises vereinfacht, d. h. die Ordnung der Differentialgleichung der Regelstrecke wird reduziert, in dem die Werte der Nullstellen des Reglers auf die Werte des Pols der Strecke gesetzt werden. Ein I-Anteil des Reglers vermeidet eine bleibende Regelabweichung, fügt aber einen zusätzlichen Pol hinzu. Zu optimierender Parameter ist die Kreisverstärkung . Die Sprungantwort der Regelgröße verläuft als Funktion von asymptotisch bis stark überschwingend bis zum Erreichen des Sollwertes.
Die Zustandsvariablen eines mathematischen Modells einer Regelstrecke können aus einer gewöhnlichen systembeschreibenden Differentialgleichung bestimmt werden. Grundlage der Lösung der Differenzialgleichung ist der Signalflussplan mit der grafischen Darstellung der Regelungsnormalform. Dabei werden die Terme der Ableitungen der Ausgangsgröße jeweils integriert und mit den zugehörigen Koeffizienten auf den Systemeingang zurückgeführt.
Für jede Ableitung wird die Bezeichnung der Zustandsgrößen wie folgt eingeführt:
Der zeitliche Verlauf der Zustandsvariablen als Folge eines Eingangssprungs an dem Modell zeigt den Vorteil der Behandlung des Systems im Zustandsraum gegenüber einer klassischen „Ausgangsrückführung“ des Systems. Die Zustandsvariablen erscheinen zeitlich früher als die Ausgangsgröße . Dieses Verhalten wird beim Zustandsregelkreis genutzt, indem die Zustandsvariablen auf eine Soll-Ist-Differenz mit der Führungsgröße zurückgeführt werden.
Zustandsregler Bearbeiten
Simulationen eines Zustandsregelkreises können mit einem guten Modell der Regelstrecke an einem programmierbaren Rechner einfach durchgeführt werden. Die Beschreibung des Signalflussplanes der Regelstrecke und des Reglers im Zustandsraum kann sowohl in Form von Matrizen als auch mit Differenzengleichungen erfolgen. Je nach Höhe der Ordnung der Differenzialgleichung werden alle Zustandsgrößen einem Zustandsregler zugeführt, der auf den Eingang des Zustandsraummodells der Regelstrecke wirkt. Durch die Rückführung sämtlicher Zustandsvariablen entsteht ein mehrschleifiger Regelkreis.
Der lineare Zustandsregler bewertet die einzelnen Zustandsvariablen der Regelstrecke mit Faktoren und summiert die so entstandenen Zustandsprodukte zu einem Soll-Istwert-Vergleich.
Es handelt sich bei diesem Zustandsregler nicht um einen P-Regler, wenngleich ein solcher Eindruck laut Signalflussplan entstehen könnte. Durch die mit dem Regler zurückgeführten Zustandsvariablen mit Bewertungsfaktoren durchlaufen noch einmal die Rechenschaltung zur Lösung der Differenzialgleichung mit n Integratoren und bilden neue Kreisvariablen, wodurch differenzierendes Verhalten entsteht. Deshalb entspricht die Wirkung der zurückgeführten Zustandsgrößen je nach Höhe der Ordnung der Differenzialgleichung der Strecke der eines -Reglers.
Als Entwurfsstrategie für die Bestimmung der Bewertungsfaktoren des Zustandsreglers gilt die Polzuweisung (Polvorgabe) des geschlossenen Regelkreises.
Auch empirische Einstellungen eines Modellregelkreises sind leicht möglich. Durch die Hintereinanderschaltung der Integratoren ist nur die Zustandsvariable eine stationäre Größe, wenn die Eingangsgröße konstant ist. Alle anderen Zustandsvariablen – eine stabile Regelstrecke vorausgesetzt – streben gegen den Wert Null. Nach Einstellung und Optimierung des Faktors ergibt sich ein stabiler Regelkreis bestimmter Dämpfung mit einem Proportionalfehler der Regelgröße gegenüber . Die anderen Faktoren der Zustandsvariablen werden hintereinander z. B. zur Optimierung des Übergangsverhaltens eingestellt.
Ein Vorfilter vor dem Soll-Ist-Vergleich korrigiert den statischen Fehler zwischen und .
Voraussetzung zur Rückführung der Zustandsvariablen:
- Die Regelstrecke muss steuerbar sein.
- Alle Zustandsvariablen müssen verfügbar sein. Pol-Nullstellenkompensation im Zustandsraum ist nicht erlaubt, weil Informationsverlust.
Mit dem Zustandsregler ergeben sich folgende regelungstechnischen Eigenschaften eines Regelkreises:
- Dynamisches Verhalten
- Differenzieren durch Integrieren
- Zustandsvariable im stationären Zustand
- Verhalten der Regelgröße
- Verhalten der Regelgröße bei Störgrößen
- Vorfilter
Der Zustandsregler in der dargestellten Eigenschaft dient dem Verständnis seiner Vorteile. Er erlaubt in seinem Verhalten als PD-Regler eine höhere Kreisverstärkung als in einem Regelkreis mit einer Ausgangsrückführung. Dabei ist innerhalb des Zustandsregelkreises keine differenzierende Komponente enthalten.
In einem Vergleich mit einem Standard-PD2-Regler und Ausgangsrückführung und sonst gleicher Kreisdämpfung, gleicher Regelstrecke und Störgröße ergeben sich für diesen Regler erhebliche Nachteile wie riesige Stellgrößen, sehr schlechte Störunterdrückung und bei Stellgrößenbegrenzungen auf () totzeitähnliches Allpassverhalten.
Je nach Anforderung hinsichtlich Regelabweichung und Störunterdrückung am Ausgang der Regelstrecke kann er im Vergleich zu einem konventionellen PID-Standardregler unterlegen sein. Abhilfe dieser Nachteile schafft ein mit einem PI-Regler überlagerter Regelkreis. Damit hat der Zustandsregler die erheblich besseren Eigenschaften.
Der Einsatz der Zustandsregler hängt letztlich von einer Kosten-Nutzen-Bewertung ab.
Zustandsregler mit überlagertem Regelkreis Bearbeiten
Für anspruchsvolle Regelaufgaben mit Systemen im Zustandsraum kann die Einführung eines überlagerten Regelkreises für den Zustandsregelkreis mit einer Ausgangsrückführung erforderlich sein. Damit sind sämtliche stationären Probleme für die Übereinstimmung der Führungsgröße mit der Regelgröße und konstante Störanteile ausgeschaltet.
Es empfiehlt sich der Einsatz eines PI-Reglers. Laut der Übertragungsfunktion des PI-Reglers in der Produktdarstellung besteht der Regler aus den Komponenten I-Glied und PD-Glied. Dieser Regler lässt nur eine vorübergehende Regelabweichung zu, vorausgesetzt, die Führungsgröße und eine mögliche Störgröße sind konstant. Durch die PD-Komponente kann ein Verzögerungsanteil (PT1-Glied) des Zustandsregelkreises kompensiert werden. Signalrauschen des PD-Gliedes wird durch das I-Glied reduziert.
Für die Auslegung des überlagerten PI-Zustandsregelkreises sind folgende Parameter zu beachten:
- Stellgrößen
- Bewertung der Faktoren der Zustandskoeffizienten
- Zustandsvariable im stationären Zustand
- Störgröße
Ein Zustandsregler mit überlagertem PI-Regelkreis hat gegenüber einem konventionellen gut optimierten Regelkreis mit jeweils gleicher Regelstrecke und gleichem Einschwingverhalten eindeutige dynamische Vorteile.
Vorteile:
- Eine höhere Kreisverstärkung erlaubt eine bessere Störunterdrückung,
- die Stellgrößen sind bei der Sprungantwort für einen gegebenen Grenzwert der Überschwingung kleiner,
- keine parasitäre Zeitkonstante des Reglers erforderlich,
- das Vorfilter entfällt,
- die Signal-Rauschanteile sind im überlagerten Zustands-Regelkreis gering, weil keine Differenzierung beim PI-Regler vorkommt.
Nachteile allgemein:
- Die Zustandsgrößen stehen meistens nicht zur Verfügung. Sie müssen gemessen werden.
- Evtl. müssen die Zustandsgrößen durch einen Beobachter rekonstruiert werden.
- Wie bei allen Reglern mit I-Anteil erfolgt im Falle der Begrenzung durch die Regelstrecke bei der Sprungantwort ein überhöhtes Überschwingen der Regelgröße. Durch eine Wind-Up-Korrektur wird dieser Effekt kompensiert.
- Erhöhter Materialaufwand, speziell geschultes Fachpersonal erforderlich.
Mathematisches Konzentrat der Regeln und Gleichungen im Zustandsraum Bearbeiten
Beschreibung linearer Systeme Bearbeiten
Zeitkontinuierliche lineare Systeme werden durch die lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung
beschrieben. Falls die Koeffizienten und alle konstant sind, ist die Laplace-Transformation ausführbar und es gilt die Übertragungsfunktion
Eine Differentialgleichung n-ter Ordnung kann in ein System von n Differentialgleichungen 1. Ordnung
überführt werden.
Zeitdiskrete lineare Systeme werden durch die lineare Differenzengleichung n-ter Ordnung
beschrieben. Falls die Koeffizienten und alle konstant sind, ist die z-Transformation ausführbar und es gilt die Übertragungsfunktion
Eine Differenzengleichung n-ter Ordnung kann in ein System von n Differenzengleichungen 1. Ordnung
überführt werden.
Lineare Zustandsgleichungen Bearbeiten
Für zeitkontinuierliche Systeme lauten die linearen Grundgleichungen in vektorieller Form:
Über die Matrizen und sind die Verkettungen der einzelnen Zustände, samt die Zugriffe über die Steuervariablen (Eingangsgrößen) darstellbar. Die Matrix wird als Systemmatrix, als Steuermatrix bezeichnet. Die Beobachtungsmatrix beschreibt die Auswirkungen des Systems auf den Ausgang. Die Durchgangsmatrix beschreibt die Durchgriffe des Systems, sie ist bei nicht sprungfähigen Systemen Null.
Einen wichtigen Sonderfall stellen Systeme mit einer Ein- und einer Ausgangsgröße dar (SISO Single Input, Single-Output Systeme). Hier sind und Vektoren und ein Skalar. Es werden dann häufig die Formelzeichen , und verwendet.
In vielen Fällen interessiert anstelle eines kontinuierlichen Verlaufs nur der Systemzustand zu diskreten Zeitpunkten, beispielsweise den Abtastzeitpunkten bei Regelung durch einen Digitalrechner. In diesem Fall ist