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Ziegenproblem Geometrie Das Ziegenproblem auch Die grasende Ziege genannt 1 ist ein seit dem 18 Jahrhundert bekanntes Pr

Ziegenproblem (Geometrie)

Das Ziegenproblem – auch Die grasende Ziege genannt – ist ein seit dem 18. Jahrhundert bekanntes Problem der Unterhaltungsmathematik. Die erste Veröffentlichung erfolgte 1748 in dem in England einmal jährlich erscheinenden The Ladies Diary: or, the Woman’s Almanack.

Ziegenproblem (Geometrie)

Problemstellung Bearbeiten

Wie groß muss bei der gezeigten Abbildung sein, damit die rote Fläche die Hälfte der Kreisfläche ist? Konkrete Motivation: Am Punkt sei eine Ziege (oder ein anderes Tier) angebunden. Wie lang muss die Leine sein, damit das Tier auf genau der Hälfte der Kreisfläche grasen kann?

Lösung mit Berechnung der Linsenfläche Bearbeiten

Die von der Ziege erreichbare Fläche hat die Form einer asymmetrischen Linse (siehe Berechnungsskizze), die von zwei Kreisbögen begrenzt wird.

Um den Flächeninhalt der durch die zwei Kreisbögen begrenzten Fläche zu bestimmen, kann man diese in zwei Kreissegmente zerlegen, wobei die Trennungslinie in den beiden Schnittpunkten und der Kreisbögen endet. Mit wird der Radius des Kreises, der die Wiese darstellt, und mit derjenige des Kreises, dessen Mittelpunkt auf dem Kreisrand des anderen liegt, und mit wird der Abstand zwischen den zwei Kreismittelpunkten und bezeichnet.

Höhen d1 und d2 der rechtwinkligen Dreiecke MDP bzw. DMQ Bearbeiten

Berechnungsskizze Die grasende Ziege

Gegeben: sowie

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

von in eingesetzt ergibt

ausmultipliziert und umgeordnet ergibt

daraus ergibt

wegen wird entsprechend ergänzt

wegen ergibt sich schließlich

Radius r Bearbeiten

Mittels zweimaliger Anwendung der Formel für den Flächeninhalt eines Kreissegments mit als Abstand des Kreismittelpunktes bzw. bis zur Kreissehne

und den darin eingesetzten Termen von und von erhält man nach entsprechender Umformulierung die Formel für den Flächeninhalt der asymmetrischen Linse:

Für und halber Kreisfläche vereinfacht sich dies zu

Diese Gleichung kann nur numerisch gelöst werden und ergibt (Folge A133731 in OEIS).

Lösung mit Integration Bearbeiten

Aus der Integration über die rechte Hälfte der Linsenfläche mit

ergibt sich die ebenfalls transzendente Gleichung

mit der gleichen Lösung.

Geometrische Näherungslösung Bearbeiten

Die grasende Ziege,
mit Approximation der halben Wiesenfläche (grün).
die Länge der Leine

Zwei sich schneidende Kreise und deren Schnittpunkt liefern den gesuchten Radius, der die kreisförmige Wiesenfläche nahezu halbiert.

Konstruktion Bearbeiten

Es beginnt mit dem Einheitskreis um Punkt und dem Einzeichnen von zwei zueinander senkrecht stehenden Radien; dabei ergeben sich die Schnittpunkte und Es folgt der Kreisbogen um mit Radius Er schneidet den Kreis in und bringt damit den gesuchten Radius als Strecke Der abschließende Kreisbogen um Punkt mit Radius ab schneidet den Kreis in und liefert nahezu eine Halbierung der Kreisfläche.

Nachrechnung Bearbeiten

Berechnungsskizze

Aus der nebenstehenden Berechnungsskizze bzw. aus der obigen Konstruktionsbeschreibung ist zu entnehmen:

  • ist der Einheitskreis mit der Gleichung
  • ist ein Teil des Kreises mit dem Radius und der Gleichung

Die Strecke erhält man durch Subtraktion der beiden Kreisgleichungen:

Die Strecke erhält man durch Einsetzen des x-Wertes in die Kreisgleichung des Kreises

Somit ist die Strecke

Für die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks gilt nach dem Satz des Pythagoras:

Absoluter Fehler der konstruierten Länge der Leine; darin entspricht Radius dem numerisch gelösten (s. oben):

Für den relativen Fehler des konstruierten Radius gilt:

mit den eingesetzten Werten ergibt sich

Den Radius eingesetzt in die vereinfachte Formel der Linsenfläche für den Einheitskreis (mit ), oben in Lösung mit Berechnung der Linsenfläche beschrieben, ergibt näherungsweise die konstruierte halbe, im Bild grüne, Wiesenfläche

Flächeninhalt der halben Wiese (halber Einheitskreis)

Absoluter Fehler der approximierten halben Wiesenfläche

Relativer Fehler der approximierten halben Wiesenfläche (Formel siehe oben bei )

Verdeutlichung der Approximation Bearbeiten

Hätte z. B. die kreisförmige Wiese einen Radius gleich dann wäre die Leine um ca. zu lang und die Ziege könnte – angebunden am Punkt an eine Leine mit der Länge – außer der für sie vorgesehenen Hälfte der Wiesenfläche (rund ), noch zusätzlich abgrasen, das wären etwa weniger als ein DIN-A4-Blatt.

Geschlossene Lösung Bearbeiten

Mit Methoden der komplexen Geometrie fand Ingo Ullisch im Jahr 2020 folgende geschlossene Lösung

Erweiterungen Bearbeiten

Die Ziege im Weltall Bearbeiten

Der dreidimensionale Fall mit Einheitskugel oben und Ziegenkugel unten

Im dreidimensionalen Fall befindet sich Punkt auf der Oberfläche einer Einheitskugel, und die Fragestellung ist, wie groß der Radius der zweiten Kugel sein muss, damit der Schnittkörper genau die Hälfte des Volumens der Einheitskugel hat.

Der vom Tier erreichbare Teil der Einheitskugel hat die Form einer dreidimensionalen Linse mit unterschiedlich gewölbten Seiten, die von den beiden Kugelkalotten begrenzt wird.

Das Volumen einer Linse bei zwei Kugeln mit Radien und Mittelpunktabstand ist:

was sich bei und halbem Kugelvolumen vereinfacht zu

woraus als Lösung folgt

Es kann gezeigt werden, dass sich bei weiter zunehmender Dimensionalität dem Wert annähert.

Die Ziege am Silo Bearbeiten

Das Ziegenproblem mit Silo für Seillängen von , , , und (grün)
Die Ziege außerhalb des Kreises

Im zweidimensionalen Fall kann auch die Frage nach der Größe der erreichbaren Fläche außerhalb des roten Kreises gestellt werden. Das entspricht der Situation, dass das Tier an einem Silo festgebunden ist.

In diesem Fall besteht die Fläche aus einem Halbkreis (hellblau) mit Radius und zwei Flächen, die durch den roten Kreis und die Kreisevolvente begrenzt sind (dunkelblau). Aus der Sektorformel von Leibniz folgt der Inhalt einer der dunkelblauen Flächen. Die gesamte erreichbare Fläche (hell- und dunkelblau) beträgt dann

unter der Bedingung, dass (andernfalls überschneiden sich die beiden dunkelblauen Flächen auf der Rückseite des Silos).

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Heinrich Hemme: Die Hölle der Zahlen. 92 mathematische Rätsel mit ausführlichen Lösungen. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 2007, ISBN 978-3-525-40841-4, S. 32 und 102 f.
  2. ↑ Eric Weisstein: Goat Problem. WolframMathworld, abgerufen am 17. November 2019.
  3. ↑ Eric Weisstein: Circle-Circle Intersection. WolframMathworld, abgerufen am 17. November 2019.
  4. Eric Weisstein: Circular Segment. WolframMathworld, abgerufen am 17. November 2019.
  5. Schnitt und Schnittwinkel zweier Kreise. (PDF) Nichtlineare analytische Geometrie. In: Dimensionen – Mathematik 7. Verlag E. Dorner, Wien, 2016, S. 1, abgerufen am 19. November 2020.
  6. Ingo Ullisch: A Closed-Form Solution to the Geometric Goat Problem. In: The Mathematical Intelligencer. 18. Februar 2020, ISSN 0343-6993, doi:10.1007/s00283-020-09966-0 (englisch).
  7. Steve Nadis: A After Centuries, a Seemingly Simple Math Problem Gets an Exact Solution. Quanta Magazin, 9. Dezember 2020, abgerufen am 23. Februar 2022.
  8. Ingo Ullisch: Correction to: A Closed-Form Solution to the Geometric Goat Problem. Abgerufen am 3. März 2024.
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Veröffentlichungsdatum:
Das Ziegenproblem auch Die grasende Ziege genannt 1 ist ein seit dem 18 Jahrhundert bekanntes Problem der Unterhaltungsmathematik Die erste Veroffentlichung erfolgte 1748 in dem in England einmal jahrlich erscheinenden The Ladies Diary or the Woman s Almanack Ziegenproblem Geometrie Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung 2 Losung mit Berechnung der Linsenflache 2 1 Hohen d1 und d2 der rechtwinkligen Dreiecke MDP bzw DMQ 2 2 Radius r 3 Losung mit Integration 4 Geometrische Naherungslosung 4 1 Konstruktion 4 2 Nachrechnung 4 3 Verdeutlichung der Approximation 5 Geschlossene Losung 6 Erweiterungen 6 1 Die Ziege im Weltall 6 2 Die Ziege am Silo 7 Siehe auch 8 Literatur 9 EinzelnachweiseProblemstellung BearbeitenWie gross muss bei der gezeigten Abbildung r displaystyle r nbsp sein damit die rote Flache die Halfte der Kreisflache ist Konkrete Motivation Am Punkt Q displaystyle Q nbsp sei eine Ziege oder ein anderes Tier angebunden Wie lang muss die Leine sein damit das Tier auf genau der Halfte der Kreisflache grasen kann Losung mit Berechnung der Linsenflache BearbeitenDie von der Ziege erreichbare Flache hat die Form einer asymmetrischen Linse siehe Berechnungsskizze die von zwei Kreisbogen begrenzt wird 2 Um den Flacheninhalt A displaystyle A nbsp der durch die zwei Kreisbogen begrenzten Flache zu bestimmen kann man diese in zwei Kreissegmente zerlegen wobei die Trennungslinie a displaystyle a nbsp in den beiden Schnittpunkten D displaystyle D nbsp und E displaystyle E nbsp der Kreisbogen endet Mit R displaystyle R nbsp wird der Radius des Kreises der die Wiese darstellt und mit r displaystyle r nbsp derjenige des Kreises dessen Mittelpunkt Q displaystyle Q nbsp auf dem Kreisrand des anderen liegt und mit d displaystyle d nbsp wird der Abstand zwischen den zwei Kreismittelpunkten P displaystyle P nbsp und Q displaystyle Q nbsp bezeichnet Hohen d1 und d2 der rechtwinkligen Dreiecke MDP bzw DMQ Bearbeiten nbsp Berechnungsskizze Die grasende ZiegeGegeben R displaystyle R nbsp sowie d d1 d2 displaystyle d d 1 d 2 nbsp Nach dem Satz des Pythagoras gilt 1 R2 d12 a2 2 1 1 a2 2 R2 d12 2 r2 d d1 2 a2 2 displaystyle begin aligned 1 R 2 amp d 1 2 left frac a 2 right 2 Rightarrow 1 1 left frac a 2 right 2 R 2 d 1 2 2 r 2 amp left d d 1 right 2 left frac a 2 right 2 end aligned nbsp a2 2 displaystyle left frac a 2 right 2 nbsp von 1 1 displaystyle left 1 1 right nbsp in 2 displaystyle left 2 right nbsp eingesetzt ergibt 3 r2 d d1 2 R2 d12 displaystyle left 3 right r 2 left d d 1 right 2 R 2 d 1 2 nbsp ausmultipliziert und umgeordnet ergibt 4 r2 R2 d2 2d d1 displaystyle left 4 right r 2 R 2 d 2 2d cdot d 1 nbsp daraus d1 displaystyle d 1 nbsp ergibt 5 d1 d2 r2 R22d displaystyle left 5 right d 1 frac d 2 r 2 R 2 2d nbsp 3 wegen d d1 d2 displaystyle d d 1 d 2 nbsp wird 5 displaystyle left 5 right nbsp entsprechend erganzt 6 d d2 r2 R22d d2 r2 R22d displaystyle left 6 right d frac d 2 r 2 R 2 2d frac d 2 r 2 R 2 2d nbsp wegen d2 d d1 displaystyle d 2 d d 1 nbsp ergibt sich schliesslich 7 d2 d2 r2 R22d displaystyle left 7 right d 2 frac d 2 r 2 R 2 2d nbsp 3 Radius r Bearbeiten Mittels zweimaliger Anwendung der Formel fur den Flacheninhalt eines Kreissegments mit d displaystyle d nbsp als Abstand des Kreismittelpunktes P displaystyle P nbsp bzw Q displaystyle Q nbsp bis zur Kreissehne a displaystyle a nbsp 8 A R2cos 1 dR d R d R d displaystyle left 8 right A R 2 cos 1 left frac d R right d sqrt left R d right left R d right nbsp 4 und den darin eingesetzten Termen d1 displaystyle d 1 nbsp von 5 displaystyle 5 nbsp und d2 displaystyle d 2 nbsp von 7 displaystyle 7 nbsp erhalt man nach entsprechender Umformulierung die Formel fur den Flacheninhalt der asymmetrischen Linse 3 9 A A1 R d1 A2 r d2 R2cos 1 d2 r2 R22dR r2cos 1 d2 r2 R22dr 12 d r R d r R d r R d r R displaystyle begin aligned 9 A amp A 1 left R d 1 right A 2 left r d 2 right amp R 2 cos 1 left frac d 2 r 2 R 2 2dR right r 2 cos 1 left frac d 2 r 2 R 2 2dr right amp frac 1 2 sqrt d r R d r R d r R d r R end aligned nbsp Fur R d 1 displaystyle R d 1 nbsp und halber Kreisflache vereinfacht sich dies zu 10 12p cos 1 1 12r2 r2cos 1 12r 12r4 r2 displaystyle left 10 right frac 1 2 pi cos 1 left 1 frac 1 2 r 2 right r 2 cos 1 left frac 1 2 r right frac 1 2 r sqrt 4 r 2 nbsp 2 Diese Gleichung kann nur numerisch gelost werden und ergibt r 1 1587284 displaystyle r 1 1587284 ldots nbsp Folge A133731 in OEIS Losung mit Integration BearbeitenAus der Integration uber die rechte Halfte der Linsenflache mit 14p 0r2 r44 r2 t2 1 t2 1 dt displaystyle frac 1 4 pi int 0 sqrt r 2 frac r 4 4 left sqrt r 2 t 2 sqrt 1 t 2 1 right mathrm d t nbsp ergibt sich die ebenfalls transzendente Gleichung r ppr 4 r2 4r 2r sin 1 12r displaystyle r frac pi pi r sqrt 4 r 2 left frac 4 r 2r right sin 1 left frac 1 2 r right nbsp mit der gleichen Losung Geometrische Naherungslosung Bearbeiten nbsp Die grasende Ziege mit Approximation der halben Wiesenflache grun displaystyle QC r displaystyle overline QC r nbsp die Lange der LeineZwei sich schneidende Kreise und deren Schnittpunkt liefern den gesuchten Radius der die kreisformige Wiesenflache nahezu halbiert Konstruktion Bearbeiten Es beginnt mit dem Einheitskreis um Punkt P displaystyle P nbsp und dem Einzeichnen von zwei zueinander senkrecht stehenden Radien dabei ergeben sich die Schnittpunkte A displaystyle A nbsp und Q displaystyle Q nbsp Es folgt der Kreisbogen kb displaystyle kb nbsp um A displaystyle A nbsp mit Radius AB 13 AP displaystyle overline AB tfrac 1 3 cdot overline AP nbsp Er schneidet den Kreis in C displaystyle C nbsp und bringt damit den gesuchten Radius r displaystyle r nbsp als Strecke QC displaystyle overline QC nbsp Der abschliessende Kreisbogen um Punkt Q displaystyle Q nbsp mit Radius r displaystyle r nbsp ab C displaystyle C nbsp schneidet den Kreis in D displaystyle D nbsp und liefert nahezu eine Halbierung der Kreisflache Nachrechnung Bearbeiten nbsp BerechnungsskizzeAus der nebenstehenden Berechnungsskizze bzw aus der obigen Konstruktionsbeschreibung ist zu entnehmen k1 displaystyle k 1 nbsp ist der Einheitskreis mit der Gleichungk1 x2 y2 1 displaystyle k 1 x 2 y 2 1 nbsp kb displaystyle kb nbsp ist ein Teil des Kreises k2 displaystyle k 2 nbsp mit dem Radius 13 AP displaystyle frac 1 3 cdot overline AP nbsp und der Gleichungk2 x 1 2 y2 0 1 19 displaystyle k 2 left x 1 right 2 y 2 0 bar 1 frac 1 9 nbsp Punkt C displaystyle C nbsp ist der Schnittpunkt des Kreises k1 displaystyle k 1 nbsp mit dem Kreis k2 displaystyle k 2 nbsp Die Abstande des Punktes C displaystyle C nbsp in einem kartesischen Koordinatensystem sind x FC displaystyle x overline FC nbsp und y PF displaystyle y overline PF nbsp Die Strecke FC x displaystyle overline FC x nbsp erhalt man durch Subtraktion der beiden Kreisgleichungen 5 k2 x 1 2 y2 19x2 2x 1 y2 19k1 x2 y2 1 k2 k11 2x 89 x 1718 displaystyle begin aligned k 2 left x 1 right 2 y 2 amp frac 1 9 x 2 2x 1 y 2 amp frac 1 9 k 1 x 2 y 2 amp 1 k 2 k 1 1 2x amp frac 8 9 Rightarrow x amp frac 17 18 end aligned nbsp Die Strecke PF displaystyle overline PF nbsp erhalt man durch Einsetzen des x Wertes in die Kreisgleichung des Kreises k1 displaystyle k 1 nbsp k1 1718 2 y2 1y2 1 289324y2 35324y 3518 displaystyle begin aligned k 1 left frac 17 18 right 2 y 2 amp 1 y 2 amp 1 frac 289 324 y 2 amp frac 35 324 y amp frac sqrt 35 18 end aligned nbsp Somit ist die Strecke FQ 1 3518 displaystyle overline FQ 1 frac sqrt 35 18 nbsp Fur die Hypotenuse QC r displaystyle overline QC r nbsp des rechtwinkligen Dreiecks QCF displaystyle QCF nbsp gilt nach dem Satz des Pythagoras r FQ 2 FC 2 1 3518 2 1718 2 18 353 r 1 158731117161276 LE displaystyle begin aligned r amp sqrt left overline FQ right 2 left overline FC right 2 amp sqrt left 1 frac sqrt 35 18 right 2 left frac 17 18 right 2 Rightarrow amp frac sqrt 18 sqrt 35 3 Rightarrow r amp 1 158731117161276 ldots LE end aligned nbsp Absoluter Fehler der konstruierten Lange r displaystyle r nbsp der Leine darin entspricht Radius rn displaystyle r n nbsp dem numerisch gelosten r displaystyle r nbsp s oben Fr r rn 1 158731117 1 158728473 0 000002644 displaystyle F r r r n 1 158731117 1 158728473 0 000002644 ldots nbsp LE Fur den relativen Fehler des konstruierten Radius r displaystyle r nbsp gilt fr rrn 1 100 displaystyle f r left frac r r n 1 right cdot 100 nbsp mit den eingesetzten Werten ergibt sich fr 1 1587311171 158728473 1 100 0 000228 displaystyle f r left frac 1 158731117 1 158728473 1 right cdot 100 approx 0 000228 nbsp Den Radius r displaystyle r nbsp eingesetzt in die vereinfachte Formel der Linsenflache fur den Einheitskreis mit R d 1 displaystyle R d 1 nbsp oben in Losung mit Berechnung der Linsenflache beschrieben ergibt naherungsweise die konstruierte halbe im Bild grune Wiesenflache Ak 1 1587311172 cos 1 12 1 158731117 cos 1 1 12 1 1587311172 12 1 158731117 4 1 1587311172 1 570802165 displaystyle A k 1 158731117 2 cdot cos 1 left frac 1 2 cdot 1 158731117 right cos 1 left 1 frac 1 2 cdot 1 158731117 2 right frac 1 2 cdot 1 158731117 cdot sqrt 4 1 158731117 2 1 570802165 ldots nbsp FE Flacheninhalt der halben Wiese halber Einheitskreis AW p2 1 570796326 displaystyle A W frac pi 2 1 570796326 ldots nbsp FE Absoluter Fehler der approximierten halben Wiesenflache FAk Ak AW 1 570802165 1 570796326 0 000005829 displaystyle F A k A k A W 1 570802165 1 570796326 0 000005829 ldots nbsp FE Relativer Fehler der approximierten halben Wiesenflache Formel siehe oben bei fr displaystyle f r nbsp fAk 1 5708021651 570796326 1 100 0 000371 displaystyle f A k left frac 1 570802165 1 570796326 1 right cdot 100 approx 0 000371 nbsp Verdeutlichung der Approximation Bearbeiten Hatte z B die kreisformige Wiese einen Radius gleich 100m displaystyle 100 mathrm m nbsp dann ware die Leine um ca 0 3mm displaystyle 0 3 mathrm mm nbsp zu lang und die Ziege konnte angebunden am Punkt Q displaystyle Q nbsp an eine Leine mit der Lange 115 8731m displaystyle 115 8731 mathrm m nbsp ausser der fur sie vorgesehenen Halfte der Wiesenflache rund 15 707 963m2 displaystyle 15 707 963 mathrm m 2 nbsp noch zusatzlich 5 8dm2 displaystyle 5 8 mathrm dm 2 nbsp abgrasen das waren etwa 40mm2 displaystyle 40 mathrm mm 2 nbsp weniger als ein DIN A4 Blatt Geschlossene Losung BearbeitenMit Methoden der komplexen Geometrie fand Ingo Ullisch im Jahr 2020 folgende geschlossene Losung 6 7 8 r 2cos 12 z 3p 4 p 4z sin z zcos z p 2 dz z 3p 4 p 41 sin z zcos z p 2 dz displaystyle r 2 cos left frac 1 2 frac oint z 3 pi 4 pi 4 z sin z z cos z pi 2 dz oint z 3 pi 4 pi 4 1 sin z z cos z pi 2 dz right nbsp Erweiterungen BearbeitenDie Ziege im Weltall Bearbeiten nbsp Der dreidimensionale Fall mit Einheitskugel oben und Ziegenkugel untenIm dreidimensionalen Fall befindet sich Punkt Q displaystyle Q nbsp auf der Oberflache einer Einheitskugel und die Fragestellung ist wie gross der Radius r displaystyle r nbsp der zweiten Kugel sein muss damit der Schnittkorper genau die Halfte des Volumens der Einheitskugel hat Der vom Tier erreichbare Teil der Einheitskugel hat die Form einer dreidimensionalen Linse mit unterschiedlich gewolbten Seiten die von den beiden Kugelkalotten begrenzt wird Das Volumen V displaystyle V nbsp einer Linse bei zwei Kugeln mit Radien R r displaystyle R r nbsp und Mittelpunktabstand d displaystyle d nbsp ist V p R r d 2 d2 2dr 3r2 2dR 6rR 3R2 12d displaystyle V frac pi R r d 2 left d 2 2dr 3r 2 2dR 6rR 3R 2 right 12d nbsp was sich bei R d 1 displaystyle R d 1 nbsp und halbem Kugelvolumen vereinfacht zu 12 43p 14pr4 23pr3 displaystyle frac 1 2 cdot frac 4 3 pi frac 1 4 pi r 4 frac 2 3 pi r 3 nbsp woraus als Losung folgt r 1 2285 displaystyle r 1 2285 ldots nbsp Es kann gezeigt werden dass sich r displaystyle r nbsp bei weiter zunehmender Dimensionalitat dem Wert 2 displaystyle sqrt 2 nbsp annahert Die Ziege am Silo Bearbeiten nbsp Das Ziegenproblem mit Silo fur Seillangen von 14 pr displaystyle tfrac 1 4 cdot pi r nbsp 12 pr displaystyle tfrac 1 2 cdot pi r nbsp 34 pr displaystyle tfrac 3 4 cdot pi r nbsp 1 pr displaystyle 1 cdot pi r nbsp und 1 r displaystyle 1 cdot r nbsp grun nbsp Die Ziege ausserhalb des Kreises Im zweidimensionalen Fall kann auch die Frage nach der Grosse der erreichbaren Flache ausserhalb des roten Kreises gestellt werden Das entspricht der Situation dass das Tier an einem Silo festgebunden ist In diesem Fall besteht die Flache aus einem Halbkreis hellblau mit Radius r displaystyle r nbsp und zwei Flachen die durch den roten Kreis und die Kreisevolvente begrenzt sind dunkelblau Aus der Sektorformel von Leibniz folgt der Inhalt einer der dunkelblauen Flachen Die gesamte erreichbare Flache hell und dunkelblau betragt dann A 12pr2 13r3 displaystyle A frac 1 2 pi r 2 frac 1 3 r 3 nbsp unter der Bedingung dass r p displaystyle r leq pi nbsp andernfalls uberschneiden sich die beiden dunkelblauen Flachen auf der Ruckseite des Silos Siehe auch BearbeitenZiegenproblemLiteratur BearbeitenRaymond Clare Archibald Involutes of a circle and a pasturage problem In American Mathematical Monthly 28 1921 S 328 329 Marshall Fraser A tale of two goats In Mathematics Magazine 55 1982 S 221 227 Jean Jacquelin Le probleme de l hyperchevre In Quadrature 49 2003 ISSN 1142 2785 S 6 12 Einzelnachweise Bearbeiten Heinrich Hemme Die Holle der Zahlen 92 mathematische Ratsel mit ausfuhrlichen Losungen Vandenhoeck amp Ruprecht Gottingen 2007 ISBN 978 3 525 40841 4 S 32 und 102 f a b Eric Weisstein Goat Problem WolframMathworld abgerufen am 17 November 2019 a b c Eric Weisstein Circle Circle Intersection WolframMathworld abgerufen am 17 November 2019 Eric Weisstein Circular Segment WolframMathworld abgerufen am 17 November 2019 Schnitt und Schnittwinkel zweier Kreise PDF Nichtlineare analytische Geometrie In Dimensionen Mathematik 7 Verlag E Dorner Wien 2016 S 1 abgerufen am 19 November 2020 Ingo Ullisch A Closed Form Solution to the Geometric Goat Problem In The Mathematical Intelligencer 18 Februar 2020 ISSN 0343 6993 doi 10 1007 s00283 020 09966 0 englisch Steve Nadis A After Centuries a Seemingly Simple Math Problem Gets an Exact Solution Quanta Magazin 9 Dezember 2020 abgerufen am 23 Februar 2022 Ingo Ullisch Correction to A Closed Form Solution to the Geometric Goat Problem Abgerufen am 3 Marz 2024 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ziegenproblem Geometrie amp oldid 242774211