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Vollständig regulärer Raum Im mathematischen Teilgebiet der Topologie versteht man unter einem vollständig regulären Rau

Vollständig regulärer Raum

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie versteht man unter einem vollständig regulären Raum einen topologischen Raum mit speziellen Trennungseigenschaften. Dabei handelt es sich um topologische Räume, die im unten präzisierten Sinne hinreichend viele stetige Funktionen besitzen, um zu einer reichhaltigen Theorie zu führen. Die Bedeutung dieses Begriffs wird durch eine Vielzahl äquivalenter Charakterisierungen deutlich.

Definition Bearbeiten

Die Funktion f trennt den Punkt x von der Menge A.

Ein vollständig regulärer Raum ist ein topologischer Hausdorff-Raum , in dem es zu jeder abgeschlossenen Menge und jedem Punkt eine stetige Funktion gibt mit und für alle .

Im Sinne dieser Definition besitzt ein vollständig regulärer Raum hinreichend viele stetige Funktionen, um abgeschlossene Mengen von außerhalb liegenden Punkten zu trennen. Zudem ist es keine Einschränkung vorauszusetzen, dass es sich hierbei um beschränkte Funktionen handelt. Ist nämlich eine stetige Funktion, die und trennt, so ist es auch mit , definiert durch für sowie für und für .

Vollständig reguläre Räume werden nach dem russischen Mathematiker Andrei Nikolajewitsch Tichonow auch Tichonow-Räume genannt oder auch T3½-Räume bzw. T3a-Räume, da die definierende Eigenschaft zwischen den Trennungsaxiomen T3 und T4 liegt. Es gibt Autoren, die in der Definition der vollständigen Regularität nicht die Hausdorff-Eigenschaft fordern und unter einem Tichonow-Raum einen hausdorffschen vollständig regulären Raum verstehen.

Beispiele Bearbeiten

  • Normale Hausdorff-Räume sind vollständig regulär, wie leicht aus dem Lemma von Urysohn folgt. Insbesondere sind alle metrischen Räume vollständig regulär.
  • Der Niemytzki-Raum ist ein Beispiel eines vollständig regulären Raumes, der nicht normal ist.
  • Die Mysior-Ebene ist ein Beispiel für einen regulären Hausdorff-Raum, der nicht vollständig regulär ist.
  • Lokalkompakte Hausdorff-Räume sind vollständig regulär.
  • Hausdorffsche topologische Vektorräume sind vollständig regulär, die unendlich-dimensionalen unter ihnen sind nicht lokalkompakt.
  • Allgemeiner gilt, dass hausdorffsche topologische Gruppen vollständig regulär sind.
  • Noch allgemeiner sind alle hausdorffschen (je nach Definition), uniformen Räume Tichonow-Räume. Dies liefert im Gegensatz zu den anderen Beispielen sogar eine Charakterisierung (s. u.).

Permanenz-Eigenschaften Bearbeiten

  • Unterräume vollständig regulärer Räume sind wieder vollständig regulär.
  • Beliebige Produkte vollständig regulärer Räume sind wieder vollständig regulär.

Charakterisierungen Bearbeiten

Zu einem topologischen Raum betrachte man die Menge aller stetigen Funktionen . Definitionsgemäß ist für jeden topologischen Raum die Initialtopologie bzgl. gröber als die Ausgangstopologie auf X. Es gilt:

  • Ein Hausdorff-Raum ist genau dann vollständig regulär, wenn seine Topologie mit der Initialtopologie bzgl. zusammenfällt.

Mittels der Stone-Čech-Kompaktifizierung zeigt man leicht:

Uniforme Räume induzieren eine Topologie auf der unterliegenden Menge, siehe Artikel uniformer Raum. Es gilt:

  • Ein Hausdorff-Raum X ist genau dann vollständig regulär, wenn seine Topologie durch eine uniforme Struktur induziert wird.

Die uniforme Struktur ist nicht eindeutig durch den vollständig regulären Raum festgelegt. Uniforme Räume sind vollständig reguläre Räume mit einer Zusatzstruktur, nämlich der uniformen Struktur. Die im Artikel uniformer Raum definierten Begriffe Vollständigkeit, gleichmäßige Stetigkeit und gleichmäßige Konvergenz hängen von der uniformen Struktur ab, sie lassen sich nicht rein topologisch im Kontext vollständig regulärer Räume behandeln.

Eine Topologie auf einer Menge wird durch eine Familie von Pseudometriken erzeugt, wenn die offenen Mengen genau diejenigen Mengen sind, für die es zu jedem endlich viele Pseudometriken und ein gibt mit . Es gilt:

  • Ein topologischer Hausdorff-Raum ist genau dann vollständig regulär, wenn seine Topologie durch eine Familie von Pseudometriken erzeugt wird.

Eigenschaften Bearbeiten

Vollständig reguläre Räume sind regulär. Daher hat jeder Punkt eine Umgebungsbasis aus abgeschlossenen Mengen.

Ist X ein topologischer Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis, so sind äquivalent:

Literatur Bearbeiten

  • Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6 (BI-Hochschultaschenbücher 121).
  • Wolfgang Franz: Topologie. Band 1: Allgemeine Topologie. 4. Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-11-004117-0 (Sammlung Göschen 6181).
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Veröffentlichungsdatum:
Im mathematischen Teilgebiet der Topologie versteht man unter einem vollstandig regularen Raum einen topologischen Raum mit speziellen Trennungseigenschaften Dabei handelt es sich um topologische Raume die im unten prazisierten Sinne hinreichend viele stetige Funktionen besitzen um zu einer reichhaltigen Theorie zu fuhren Die Bedeutung dieses Begriffs wird durch eine Vielzahl aquivalenter Charakterisierungen deutlich Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Permanenz Eigenschaften 4 Charakterisierungen 5 Eigenschaften 6 LiteraturDefinition Bearbeiten nbsp Die Funktion f trennt den Punkt x von der Menge A Ein vollstandig regularer Raum ist ein topologischer Hausdorff Raum X displaystyle X nbsp in dem es zu jeder abgeschlossenen Menge A X displaystyle A subseteq X nbsp und jedem Punkt x X A displaystyle x in X setminus A nbsp eine stetige Funktion f X R displaystyle f colon X rightarrow mathbb R nbsp gibt mit f x 1 displaystyle f x 1 nbsp und f a 0 displaystyle f a 0 nbsp fur alle a A displaystyle a in A nbsp Im Sinne dieser Definition besitzt ein vollstandig regularer Raum hinreichend viele stetige Funktionen um abgeschlossene Mengen von ausserhalb liegenden Punkten zu trennen Zudem ist es keine Einschrankung vorauszusetzen dass es sich hierbei um beschrankte Funktionen handelt Ist namlich f displaystyle f nbsp eine stetige Funktion die x displaystyle x nbsp und A displaystyle A nbsp trennt so ist es auch g f displaystyle g circ f nbsp mit g R R displaystyle g colon mathbb R to mathbb R nbsp definiert durch g z z displaystyle g z z nbsp fur z 0 1 displaystyle z in 0 1 nbsp sowie g z 1 displaystyle g z 1 nbsp fur z gt 1 displaystyle z gt 1 nbsp und g z 0 displaystyle g z 0 nbsp fur z lt 0 displaystyle z lt 0 nbsp Vollstandig regulare Raume werden nach dem russischen Mathematiker Andrei Nikolajewitsch Tichonow auch Tichonow Raume genannt oder auch T3 Raume bzw T3a Raume da die definierende Eigenschaft zwischen den Trennungsaxiomen T3 und T4 liegt Es gibt Autoren die in der Definition der vollstandigen Regularitat nicht die Hausdorff Eigenschaft fordern und unter einem Tichonow Raum einen hausdorffschen vollstandig regularen Raum verstehen Beispiele BearbeitenNormale Hausdorff Raume sind vollstandig regular wie leicht aus dem Lemma von Urysohn folgt Insbesondere sind alle metrischen Raume vollstandig regular Der Niemytzki Raum ist ein Beispiel eines vollstandig regularen Raumes der nicht normal ist Die Mysior Ebene ist ein Beispiel fur einen regularen Hausdorff Raum der nicht vollstandig regular ist Lokalkompakte Hausdorff Raume sind vollstandig regular Hausdorffsche topologische Vektorraume sind vollstandig regular die unendlich dimensionalen unter ihnen sind nicht lokalkompakt Allgemeiner gilt dass hausdorffsche topologische Gruppen vollstandig regular sind Noch allgemeiner sind alle hausdorffschen je nach Definition uniformen Raume Tichonow Raume Dies liefert im Gegensatz zu den anderen Beispielen sogar eine Charakterisierung s u Permanenz Eigenschaften BearbeitenUnterraume vollstandig regularer Raume sind wieder vollstandig regular Beliebige Produkte vollstandig regularer Raume sind wieder vollstandig regular Charakterisierungen BearbeitenZu einem topologischen Raum betrachte man die Menge C X displaystyle C X nbsp aller stetigen Funktionen X R displaystyle X rightarrow mathbb R nbsp Definitionsgemass ist fur jeden topologischen Raum X displaystyle X nbsp die Initialtopologie bzgl C X displaystyle C X nbsp grober als die Ausgangstopologie auf X Es gilt Ein Hausdorff Raum ist genau dann vollstandig regular wenn seine Topologie mit der Initialtopologie bzgl C X displaystyle C X nbsp zusammenfallt Mittels der Stone Cech Kompaktifizierung zeigt man leicht Die vollstandig regularen Raume sind genau die Unterraume kompakter Hausdorff Raume Uniforme Raume induzieren eine Topologie auf der unterliegenden Menge siehe Artikel uniformer Raum Es gilt Ein Hausdorff Raum X ist genau dann vollstandig regular wenn seine Topologie durch eine uniforme Struktur induziert wird Die uniforme Struktur ist nicht eindeutig durch den vollstandig regularen Raum festgelegt Uniforme Raume sind vollstandig regulare Raume mit einer Zusatzstruktur namlich der uniformen Struktur Die im Artikel uniformer Raum definierten Begriffe Vollstandigkeit gleichmassige Stetigkeit und gleichmassige Konvergenz hangen von der uniformen Struktur ab sie lassen sich nicht rein topologisch im Kontext vollstandig regularer Raume behandeln Eine Topologie auf einer Menge X displaystyle X nbsp wird durch eine Familie D displaystyle mathcal D nbsp von Pseudometriken erzeugt wenn die offenen Mengen genau diejenigen Mengen U X displaystyle U subset X nbsp sind fur die es zu jedem x U displaystyle x in U nbsp endlich viele Pseudometriken d 1 d n D displaystyle d 1 ldots d n in mathcal D nbsp und ein ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp gibt mit y X d j x y lt e j 1 n U displaystyle y in X d j x y lt varepsilon j 1 ldots n subset U nbsp Es gilt Ein topologischer Hausdorff Raum ist genau dann vollstandig regular wenn seine Topologie durch eine Familie von Pseudometriken erzeugt wird Eigenschaften BearbeitenVollstandig regulare Raume sind regular Daher hat jeder Punkt eine Umgebungsbasis aus abgeschlossenen Mengen Ist X ein topologischer Hausdorff Raum mit abzahlbarer Basis so sind aquivalent X ist vollstandig regular X ist normal X ist parakompakt Literatur BearbeitenJohann Cigler Hans Christian Reichel Topologie Eine Grundvorlesung Bibliographisches Institut Mannheim u a 1978 ISBN 3 411 00121 6 BI Hochschultaschenbucher 121 Wolfgang Franz Topologie Band 1 Allgemeine Topologie 4 Auflage de Gruyter Berlin u a 1973 ISBN 3 11 004117 0 Sammlung Goschen 6181 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vollstandig regularer Raum amp oldid 209116262