Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Der komplexe Schubmodul G displaystyle G beschreibt in der Schwingungsrheometrie das Verhalten viskoelastischer Korper bei einer oszillierenden Scherbelastung Er verknupft die auf die Probe einwirkende Schubspannung t displaystyle tau mit der resultierenden Scherdeformation g displaystyle gamma Der komplexe Schubmodul kann messtechnisch relativ einfach mit einem Rheometer fur Flussigkeiten und durch Dynamisch mechanische Analyse fur Feststoffe bestimmt werden Die Veranderung des komplexen Schubmoduls bei Variation von Amplitude Frequenz oder anderen Parametern wie der Temperatur gibt Aufschluss uber die Eigenschaften des Materials So kann z B der lineare Bereich ermittelt auf die Molekulstruktur geschlossen oder ein Vernetzungsvorgang untersucht werden Inhaltsverzeichnis 1 Speicher und Verlustmodul 2 Grundlagen 3 Herleitung fur den Kelvin Korper 4 Komplexe Viskositat 5 QuellenSpeicher und Verlustmodul BearbeitenAllgemein hat der komplexe Schubmodul die Form einer komplexen Zahl G G i G displaystyle G G i cdot G nbsp mit dem Speichermodul G displaystyle G nbsp Realteil der fur den elastischen Anteil steht Er ist proportional zu dem Anteil der Deformationsenergie der im Material gespeichert wird und nach Entlastung wieder aus dem Material gewonnen werden kann dem Verlustmodul G displaystyle G nbsp Imaginarteil der fur den viskosen Anteil steht Er entspricht dem Verlustanteil der Energie welcher durch innere Reibung in Warme umgewandelt wird Der Quotient aus G displaystyle G nbsp und G displaystyle G nbsp ist der Verlustfaktor tan d displaystyle tan delta nbsp tan d G G displaystyle tan delta frac G G nbsp Er nimmt fur einen ideal elastischen Korper den Wert 0 an G 0 tan d 0 displaystyle left G 0 Rightarrow tan delta 0 right nbsp fur einen ideal viskosen Korper geht er gegen unendlich G 0 tan d displaystyle left G to 0 Rightarrow tan delta to infty right nbsp Grundlagen Bearbeiten nbsp Prinzip der Scherung nbsp Maxwell KorperErfahrt ein Korper eine Scherung g tan 8 D x l displaystyle gamma tan theta frac Delta x l nbsp so ist dazu die Schubspannung t F A displaystyle tau frac F A nbsp notwendigmit 8 displaystyle theta nbsp Scherwinkel D x displaystyle Delta x nbsp Verformungsweg l displaystyle l nbsp Dicke des betrachteten Korpers F displaystyle F nbsp Verformungskraft A displaystyle A nbsp Flache Das Verhalten eines viskoelastischen Materials d h der Zusammenhang zwischen Schubspannung und Scherung kann durch rheologische Modellkorper nachgebildet werden die sich zusammensetzen aus Federn Hooke Elementen die den rein elastischen Anteil darstellen Hier ist die Schubspannung t H displaystyle tau H nbsp uber den Schubmodul G displaystyle G nbsp mit der Scherung g H displaystyle gamma H nbsp verbunden t H G g H displaystyle tau H G cdot gamma H nbsp dd Setzt man den Korper einer sinusformigen Scherung mit Amplitude g displaystyle hat gamma nbsp und Kreisfrequenz w displaystyle omega nbsp aus g t g sin w t displaystyle gamma t hat gamma cdot sin omega t nbsp dd dd so gilt im elastischen Zweig t H t G g sin w t displaystyle tau H t G cdot hat gamma cdot sin omega t nbsp dd Bei einem ideal elastischen Korper hat also auch die Schubspannung einen sinusformigen Verlauf und zwar in Phase mit der Scherung im Nulldurchgang der Schwingung erfahrt der Korper keine Verformung und deswegen ist auch keine Schubspannung zur Uberwindung der Ruckstellkraft notwendig In der Amplitude ist dagegen der Korper maximal verformt dann ist auch die Ruckstellkraft am grossten Dampfungszylindern Newton Elementen mit einer newtonschen Flussigkeit fur den ideal viskosen Anteil Hier ist die Schubspannung t N displaystyle tau N nbsp uber die Viskositat h displaystyle eta nbsp mit der Schergeschwindigkeit g N displaystyle dot gamma N nbsp verbunden also mit der ersten Ableitung der Scherung t N h g N h g sin w t h g w cos w t displaystyle begin aligned tau N amp eta cdot dot gamma N amp eta cdot hat gamma cdot sin omega t amp eta cdot hat gamma cdot omega cdot cos omega t end aligned nbsp dd Ein ideal viskoser Korper weist also einen um 90 phasenverschobenen Verlauf der Schubspannung auf im Nulldurchgang der Deformation ist die Anderung der Verformung am grossten deswegen ist auch der von der Flussigkeit entgegengesetzte Widerstand der uberwunden werden muss am grossten In der Amplitude kehrt sich die Bewegungsrichtung um die Schergeschwindigkeit und damit auch die Schubspannung werden fur einen Moment zu Null Einfache Modelle zur Beschreibung eines viskoelastischen Festkorpers sind z B das Maxwell Modell d h die Hintereinanderschaltung einer Feder mit einem Dampfungselement oder das Kelvin Modell d h die Parallelschaltung einer Feder mit einem Dampfungszylinder Herleitung fur den Kelvin Korper Bearbeiten nbsp Kelvin KorperBei einem Kelvin Korper ist wegen der Parallelschaltung die Scherung g displaystyle gamma nbsp in beiden Zweigen dieselbe die Gesamtschubspannung setzt sich dagegen aus den Schubspannungen in Hooke und Newton Element zusammen g t g H t g N t t t t H t t N t G g sin w t h w g cos w t displaystyle begin alignedat 2 gamma t amp gamma H t amp amp gamma N t tau t amp tau H t amp amp tau N t amp G cdot hat gamma cdot sin omega t amp amp eta cdot omega cdot hat gamma cdot cos omega t end alignedat nbsp Rein formal entsprechen die Beziehungen der Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes mit einer Induktivitat in der Elektrizitatslehre Wie dort kann die Gleichung mit einem Zeigerdiagramm umgeformt werden zu t t G g sin w t d displaystyle tau t G cdot hat gamma cdot sin omega t delta nbsp mit G G 2 h w 2 displaystyle G sqrt G 2 eta cdot omega 2 nbsp dd und tan d h w G displaystyle tan delta frac eta cdot omega G nbsp dd Die Schubspannung ist also um den Phasenwinkel d displaystyle delta nbsp der einen Wert zwischen 0 und 90 annehmen kann gegenuber der Scherung verschoben In Analogie zur komplexen Wechselstromrechnung konnen die Grossen auch mit komplexen Funktionen beschrieben werden g g e i w t mit g t Re g displaystyle gamma hat gamma cdot e i omega t qquad qquad qquad qquad qquad text mit quad gamma t operatorname Re gamma nbsp t G g i h w g e i w t mit t t Re t displaystyle tau G cdot hat gamma i cdot eta cdot omega cdot hat gamma cdot e i omega t qquad text mit quad tau t operatorname Re tau nbsp Dann ist der komplexe Schubmodul G displaystyle G nbsp der Quotient aus komplexer Schubspannung und komplexer Scherung G t g G g i h w g e i w t g e i w t G i h w displaystyle G frac tau gamma frac G cdot hat gamma i cdot eta cdot omega cdot hat gamma cdot e i omega t hat gamma cdot e i omega t G i cdot eta cdot omega nbsp Der Kehrwert J 1 G g t displaystyle J frac 1 G frac gamma tau nbsp wird als komplexe Nachgiebigkeit bezeichnet Komplexe Viskositat BearbeitenLeitet man g displaystyle gamma nbsp ab so erhalt man die komplexe Schergeschwindigkeit g d g e i w t d t g i w e i w t displaystyle dot gamma frac mathrm d hat gamma cdot e i omega t mathrm d t hat gamma cdot i cdot omega cdot e i omega t nbsp Damit lasst sich die komplexe Viskositat h h i h displaystyle eta eta i cdot eta nbsp berechnen h t g G g g G i G g e i w t g i w e i w t G w h i G w h displaystyle eta frac tau dot gamma frac G cdot gamma dot gamma frac G i cdot G cdot hat gamma cdot e i omega t hat gamma cdot i cdot omega cdot e i omega t underbrace frac G omega eta i cdot underbrace left frac G omega right eta nbsp Ihr Betrag ist h G w 2 G w 2 G w displaystyle eta sqrt left frac G omega right 2 left frac G omega right 2 frac G omega nbsp Aus dem Realteil von h displaystyle eta nbsp wird die dynamische Viskositat berechnet R e h G w h w w h displaystyle Re eta frac G omega frac eta omega omega eta nbsp Quellen BearbeitenGeorg Meichsner Thomas Mezger Jorg Schroder Lackeigenschaften messen und steuern Vincentz Network GmbH amp Co KG Hannover 2003 ISBN 3 87870 739 8 Kap 4 3 4 Der Oszillationsversuch Schwingungsrheometrie S 73 80 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Komplexer Schubmodul amp oldid 194715591 Speicher und Verlustmodul
