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Schergeschwindigkeit Die ältere nicht DIN konforme Bezeichnungen Schergefälle Scherrate Geschwindigkeitsgefälle Symbol γ

Schergeschwindigkeit

Die Schergeschwindigkeit (ältere, nicht DIN-konforme Bezeichnungen: Schergefälle, Scherrate, Geschwindigkeitsgefälle, Symbol (Gamma punkt); früher: D, Dimension T−1 ) ist ein Begriff aus der Kinematik, der bei Flüssigkeiten die räumliche Veränderung der Flussgeschwindigkeit bezeichnet. Da in realen Flüssigkeiten Reibungskräfte vorhanden sind, bedeutet eine Scherung eines Fluids genauso wie bei einem Festkörper eine Übertragung von Kraft. In der Rheologie dient die Schergeschwindigkeit als Maß für die mechanische Belastung, der eine Probe bei einer rheologischen Messung unterworfen wird.

Messung der Viskosität Bearbeiten

Schichtströmung (blau) zwischen zwei Platten (schwarz)

Die Schergeschwindigkeit wird in der Rheologie zur Definition der Viskosität η verwendet, die der Proportionalitätsfaktor zwischen Schubspannung und Schergeschwindigkeit ist: . Betrachtet wird eine Schichtenströmung zwischen zwei Platten wie im Bild. Die Schergeschwindigkeit berechnet sich dann aus dem Verhältnis zwischen dem Geschwindigkeitsunterschied zweier benachbarter Flüssigkeitsschichten und deren Abstand :

Bei kleinem Abstand der Platten kann eine über die Höhe lineare Geschwindigkeitsverteilung wie im Bild angenommen werden und die Schergeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit der oberen Platte dividiert durch den Abstand der Platten. Im Grenzübergang entsteht die Ableitung der Geschwindigkeit u nach der Koordinate y.

In komplizierteren Strömungen kann eine Scherung auch durch eine Änderung der vertikalen Geschwindigkeitskomponente v in horizontaler x-Richtung erfolgen. Weil beide Richtungen gleichberechtigt sind, bietet sich die Verallgemeinerung

an. Bei der Schichtströmung hier kann freilich der zweite Term mit der Geschwindigkeit v senkrecht zu den Platten vernachlässigt werden. In axialsymmetrischen Strömungen wird vorteilhaft ein Zylinder- oder Kugelkoordinatensystem zugrunde gelegt, in dem dann die Radialgeschwindigkeit an den Wänden verschwindet.

Allgemeine Definition Bearbeiten

Mathematisch ausgedrückt bestimmt sich die Schergeschwindigkeit aus den Komponenten des Geschwindigkeitsgradienten, der ein Tensor zweiter Stufe ist:

Die Geschwindigkeitsanteile beziehen sich auf ein kartesisches Koordinatensystem mit den Koordinaten x, y und z. Die Schergeschwindigkeit berechnet sich mit dem symmetrischen Anteil des Gradienten, dem Verzerrungsgeschwindigkeitstensor

Das Superskript steht für die transponierte Matrix. In der Kontinuumsmechanik wird auch das kleine d als Bezeichnung benutzt, weil dieser Tensor in Euler'scher Betrachtungsweise formuliert ist. Die Schergeschwindigkeit in einer Ebene, die von zwei zueinander senkrechten Vektoren der Länge eins aufgespannt wird, ergibt sich dann aus dem Produkt

Bei der Schichtströmung oben sind die Vektoren parallel zur x- bzw. y-Richtung und es ergibt sich, wenn die Strömung wie im Bild in x-Richtung und in der x-y-Ebene stattfindet

denn der Term mit der Geschwindigkeit senkrecht zu den Platten kann, wie bereits erwähnt, vernachlässigt werden.

Literatur Bearbeiten

  • H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
  • DIN 1342-1

Siehe auch Bearbeiten

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Die Schergeschwindigkeit altere nicht DIN konforme Bezeichnungen Schergefalle Scherrate Geschwindigkeitsgefalle Symbol g displaystyle dot gamma Gamma punkt fruher D Dimension T 1 ist ein Begriff aus der Kinematik der bei Flussigkeiten die raumliche Veranderung der Flussgeschwindigkeit bezeichnet Da in realen Flussigkeiten Reibungskrafte vorhanden sind bedeutet eine Scherung eines Fluids genauso wie bei einem Festkorper eine Ubertragung von Kraft In der Rheologie dient die Schergeschwindigkeit als Mass fur die mechanische Belastung der eine Probe bei einer rheologischen Messung unterworfen wird Inhaltsverzeichnis 1 Messung der Viskositat 2 Allgemeine Definition 3 Literatur 4 Siehe auchMessung der Viskositat Bearbeiten nbsp Schichtstromung blau zwischen zwei Platten schwarz Die Schergeschwindigkeit wird in der Rheologie zur Definition der Viskositat h verwendet die der Proportionalitatsfaktor zwischen Schubspannung t displaystyle tau nbsp und Schergeschwindigkeit ist t h g displaystyle tau eta dot gamma nbsp Betrachtet wird eine Schichtenstromung zwischen zwei Platten wie im Bild Die Schergeschwindigkeit berechnet sich dann aus dem Verhaltnis zwischen dem Geschwindigkeitsunterschied d u displaystyle mathrm d u nbsp zweier benachbarter Flussigkeitsschichten und deren Abstand d y displaystyle mathrm d y nbsp g d u d y displaystyle dot gamma frac mathrm d u mathrm d y nbsp Bei kleinem Abstand der Platten kann eine uber die Hohe lineare Geschwindigkeitsverteilung wie im Bild angenommen werden und die Schergeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit der oberen Platte dividiert durch den Abstand der Platten Im Grenzubergang d y 0 displaystyle mathrm d y to 0 nbsp entsteht die Ableitung der Geschwindigkeit u nach der Koordinate y In komplizierteren Stromungen kann eine Scherung auch durch eine Anderung der vertikalen Geschwindigkeitskomponente v in horizontaler x Richtung erfolgen Weil beide Richtungen gleichberechtigt sind bietet sich die Verallgemeinerung g d u d y d v d x displaystyle dot gamma frac mathrm d u mathrm d y frac mathrm d v mathrm d x nbsp an Bei der Schichtstromung hier kann freilich der zweite Term mit der Geschwindigkeit v senkrecht zu den Platten vernachlassigt werden In axialsymmetrischen Stromungen wird vorteilhaft ein Zylinder oder Kugelkoordinatensystem zugrunde gelegt in dem dann die Radialgeschwindigkeit an den Wanden verschwindet Allgemeine Definition BearbeitenMathematisch ausgedruckt bestimmt sich die Schergeschwindigkeit aus den Komponenten des Geschwindigkeitsgradienten der ein Tensor zweiter Stufe ist grad v v x x v x y v x z v y x v y y v y z v z x v z y v z z displaystyle operatorname grad vec v begin pmatrix frac partial v x partial x amp frac partial v x partial y amp frac partial v x partial z frac partial v y partial x amp frac partial v y partial y amp frac partial v y partial z frac partial v z partial x amp frac partial v z partial y amp frac partial v z partial z end pmatrix nbsp Die Geschwindigkeitsanteile v x y z displaystyle v x y z nbsp beziehen sich auf ein kartesisches Koordinatensystem mit den Koordinaten x y und z Die Schergeschwindigkeit berechnet sich mit dem symmetrischen Anteil des Gradienten dem Verzerrungsgeschwindigkeitstensor D 1 2 grad v grad v 1 2 2 v x x v x y v y x v x z v z x 2 v y y v y z v z y sym 2 v z z displaystyle mathbf D frac 1 2 operatorname grad vec v operatorname grad vec v top frac 1 2 begin pmatrix 2 frac partial v x partial x amp frac partial v x partial y frac partial v y partial x amp frac partial v x partial z frac partial v z partial x amp 2 frac partial v y partial y amp frac partial v y partial z frac partial v z partial y text sym amp amp 2 frac partial v z partial z end pmatrix nbsp Das Superskript displaystyle top nbsp steht fur die transponierte Matrix In der Kontinuumsmechanik wird auch das kleine d als Bezeichnung benutzt weil dieser Tensor in Euler scher Betrachtungsweise formuliert ist Die Schergeschwindigkeit in einer Ebene die von zwei zueinander senkrechten Vektoren g 1 2 displaystyle hat g 1 2 nbsp der Lange eins aufgespannt wird ergibt sich dann aus dem Produkt g 2 g 2 D g 1 displaystyle dot gamma 2 hat g 2 cdot mathbf D cdot hat g 1 nbsp Bei der Schichtstromung oben sind die Vektoren g 1 2 displaystyle hat g 1 2 nbsp parallel zur x bzw y Richtung und es ergibt sich wenn die Stromung wie im Bild in x Richtung und in der x y Ebene stattfindet g 2 0 1 1 2 2 v x x v x y v y x v x y v y x 2 v y y 1 0 0 1 2 v x x v x y v y x v x y v y x v x y displaystyle dot gamma 2 begin pmatrix 0 1 end pmatrix cdot frac 1 2 begin pmatrix 2 frac partial v x partial x amp frac partial v x partial y frac partial v y partial x frac partial v x partial y frac partial v y partial x amp 2 frac partial v y partial y end pmatrix cdot begin pmatrix 1 0 end pmatrix begin pmatrix 0 1 end pmatrix cdot begin pmatrix 2 frac partial v x partial x frac partial v x partial y frac partial v y partial x end pmatrix frac partial v x partial y frac partial v y partial x frac partial v x partial y nbsp denn der Term mit der Geschwindigkeit v y displaystyle v y nbsp senkrecht zu den Platten kann wie bereits erwahnt vernachlassigt werden Literatur BearbeitenH Altenbach Kontinuumsmechanik Springer 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 DIN 1342 1Siehe auch BearbeitenFliesskurve Scherverzahung Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schergeschwindigkeit amp oldid 233579727