www.wikidata.de-de.nina.az

Takai Dualität benannt nach Hiroshi Takai ist ein Konzept aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis Ist A

Takai-Dualität

Takai-Dualität, benannt nach Hiroshi Takai, ist ein Konzept aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Ist ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe, so operiert die Dualgruppe auf derart, dass man die C*-Algebra bis auf Tensorierung mit den kompakten Operatoren aus zurückgewinnen kann.

Die duale Operation Bearbeiten

Es sei ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe . Dann gibt es dazu die Dualgruppe der stetigen Gruppenhomomorphismen , die mit der Topologie der kompakten Konvergenz wieder eine, abelsche, lokalkompakte Gruppe ist. Weiter sei die in dicht liegende Faltungsalgebra der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger. Für sei

Dann lässt sich zu einem ebenso bezeichneten Automorphismus auf ausdehnen und ist ein Gruppenhomomorphismus von der Dualgruppe in die Automorphismengruppe von , der zu einem C*-dynamischen System macht, das man das duale C*-dynamische System nennt.

Dualitätssatz von Takai Bearbeiten

Es sei ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe und sei das duale C*-dynamische System. Ist die C*-Algebra der kompakten Operatoren über dem Hilbertraum der bzgl. des Haarmaßes quadratintegrierbaren Funktionen, so ist .

Bemerkungen Bearbeiten

Dies ist eine Analogie zur auf Takesaki zurückgehenden Dualität für W*-dynamischen Systeme. Die Tensorierung mit der vollen Operatorenalgebra für Von-Neumann-Algebren ist bei der hier vorgestellten Takai-Dualität durch das Tensorieren mit der C*-Algebra der kompakten Operatoren ersetzt.

Ist separabel, zum Beispiel wenn abzählbar unendlich und diskret ist, so ist isomorph zur C*-Algebra der kompakten Operatoren über dem Folgenraum . Man nennt zwei C*-Algebren und stabil-isomorph, wenn . Der Satz über die Takei-Dualität sagt somit, dass das Kreuzprodukt des zu dualen C*-dynamischen Systems stabil-isomorph zu ist.

Ist eine endliche Gruppe der Ordnung , so ist und daher . Insbesondere folgt bis auf Isomorphie und man erhält eine handliche Realisierung des Kreuzproduktes als Unteralgebra einer Matrizenalgebra.

Ist als konkretes Beispiel die zweielementige Gruppe, so ist und ein Automorphismus mit . Man erhält mit obiger Isomorphie

Um dann daraus zu erhalten, muss man nach obigem Satz die duale Operation von auf betrachten. ist natürlich die Identität auf dem Kreuzprodukt und

Wendet man darauf dieselbe Einbettung in die Matrizenalgebra an, erhält man insgesamt eine Unteralgebra von , von der man zeigen kann, dass sie zu isomorph ist.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Satz 10.1.2
  2. H. Takai: On a duality for crossed products of C*-algebras, Journal of Functional Analysis, Band 19 (1975), Seiten 25–39
  3. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Satz 7.9.3
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Takai Dualitat benannt nach Hiroshi Takai ist ein Konzept aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis Ist A G a displaystyle A G alpha ein C dynamisches System mit einer abelschen lokalkompakten Gruppe so operiert die Dualgruppe auf A a G displaystyle A ltimes alpha G derart dass man die C Algebra A displaystyle A bis auf Tensorierung mit den kompakten Operatoren aus A a G displaystyle A ltimes alpha G zuruckgewinnen kann Inhaltsverzeichnis 1 Die duale Operation 2 Dualitatssatz von Takai 3 Bemerkungen 4 EinzelnachweiseDie duale Operation BearbeitenEs sei A G a displaystyle A G alpha nbsp ein C dynamisches System mit einer abelschen lokalkompakten Gruppe G displaystyle G nbsp Dann gibt es dazu die Dualgruppe G displaystyle hat G nbsp der stetigen Gruppenhomomorphismen G z C z 1 displaystyle G rightarrow z in mathbb C z 1 nbsp die mit der Topologie der kompakten Konvergenz wieder eine abelsche lokalkompakte Gruppe ist Weiter sei K A G a displaystyle K A G alpha nbsp die in A a G displaystyle A ltimes alpha G nbsp dicht liegende Faltungsalgebra der stetigen Funktionen G A displaystyle G rightarrow A nbsp mit kompaktem Trager Fur x G displaystyle chi in hat G nbsp sei a x K A G a K A G a a x x t x t x t displaystyle hat alpha chi K A G alpha rightarrow K A G alpha hat alpha chi x t chi t x t nbsp wobei x K A G a t G displaystyle x in K A G alpha t in G nbsp Dann lasst sich a x displaystyle hat alpha chi nbsp zu einem ebenso bezeichneten Automorphismus auf A a G displaystyle A ltimes alpha G nbsp ausdehnen und x a x displaystyle chi mapsto hat alpha chi nbsp ist ein Gruppenhomomorphismus von der Dualgruppe G displaystyle hat G nbsp in die Automorphismengruppe von A a G displaystyle A ltimes alpha G nbsp der A a G G a displaystyle A ltimes alpha G hat G hat alpha nbsp zu einem C dynamischen System macht das man das duale C dynamische System nennt Dualitatssatz von Takai BearbeitenEs sei A G a displaystyle A G alpha nbsp ein C dynamisches System mit einer abelschen lokalkompakten Gruppe G displaystyle G nbsp und A a G G a displaystyle A ltimes alpha G hat G hat alpha nbsp sei das duale C dynamische System Ist K L 2 G displaystyle K L 2 G nbsp die C Algebra der kompakten Operatoren uber dem Hilbertraum L 2 G displaystyle L 2 G nbsp der bzgl des Haarmasses quadratintegrierbaren Funktionen so ist A a G a G A K L 2 G displaystyle A ltimes alpha G ltimes hat alpha hat G cong A otimes K L 2 G nbsp 1 2 3 Bemerkungen BearbeitenDies ist eine Analogie zur auf Takesaki zuruckgehenden Dualitat fur W dynamischen Systeme Die Tensorierung mit der vollen Operatorenalgebra fur Von Neumann Algebren ist bei der hier vorgestellten Takai Dualitat durch das Tensorieren mit der C Algebra der kompakten Operatoren ersetzt Ist L 2 G displaystyle L 2 G nbsp separabel zum Beispiel wenn G displaystyle G nbsp abzahlbar unendlich und diskret ist so ist K L 2 G displaystyle K L 2 G nbsp isomorph zur C Algebra der kompakten Operatoren uber dem Folgenraum ℓ 2 displaystyle ell 2 nbsp Man nennt zwei C Algebren A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp stabil isomorph wenn A K ℓ 2 B K ℓ 2 displaystyle A otimes K ell 2 cong B otimes K ell 2 nbsp Der Satz uber die Takei Dualitat sagt somit dass das Kreuzprodukt des zu A G a displaystyle A G alpha nbsp dualen C dynamischen Systems stabil isomorph zu A displaystyle A nbsp ist Ist G displaystyle G nbsp eine endliche Gruppe der Ordnung n displaystyle n nbsp so ist K L 2 G K C n M n C displaystyle K L 2 G cong K mathbb C n cong M n mathbb C nbsp und daher A a G a G M n A displaystyle A ltimes alpha G ltimes hat alpha hat G cong M n A nbsp Insbesondere folgt bis auf Isomorphie A a G M n A displaystyle A ltimes alpha G subset M n A nbsp und man erhalt eine handliche Realisierung des Kreuzproduktes als Unteralgebra einer Matrizenalgebra Ist als konkretes Beispiel G Z 2 0 1 displaystyle G mathbb Z 2 0 1 nbsp die zweielementige Gruppe so ist a 0 i d A displaystyle alpha 0 mathrm id A nbsp und a 1 A u t A displaystyle alpha 1 in mathrm Aut A nbsp ein Automorphismus mit a 1 a 1 i d A displaystyle alpha 1 circ alpha 1 mathrm id A nbsp Man erhalt mit obiger Isomorphie A a Z 2 a b a 1 b a 1 a a b A M 2 A displaystyle A ltimes alpha mathbb Z 2 cong left begin pmatrix a amp b alpha 1 b amp alpha 1 a end pmatrix a b in A right subset M 2 A nbsp Um dann daraus M 2 A displaystyle M 2 A nbsp zu erhalten muss man nach obigem Satz die duale Operation a displaystyle hat alpha nbsp von Z 2 Z 2 0 1 displaystyle hat mathbb Z 2 mathbb Z 2 0 1 nbsp auf A a Z 2 displaystyle A ltimes alpha mathbb Z 2 nbsp betrachten a 0 displaystyle hat alpha 0 nbsp ist naturlich die Identitat auf dem Kreuzprodukt und a 1 a b a 1 b a 1 a a b a 1 b a 1 a displaystyle hat alpha 1 begin pmatrix a amp b alpha 1 b amp alpha 1 a end pmatrix begin pmatrix a amp b alpha 1 b amp alpha 1 a end pmatrix nbsp Wendet man darauf dieselbe Einbettung in die Matrizenalgebra M 2 A a Z 2 displaystyle M 2 A ltimes alpha mathbb Z 2 nbsp an erhalt man insgesamt eine Unteralgebra von M 4 A displaystyle M 4 A nbsp von der man zeigen kann dass sie zu M 2 A displaystyle M 2 A nbsp isomorph ist Einzelnachweise Bearbeiten Bruce Blackadar K Theory for Operator Algebras Springer Verlag 1986 ISBN 3 540 96391 X Satz 10 1 2 H Takai On a duality for crossed products of C algebras Journal of Functional Analysis Band 19 1975 Seiten 25 39 Gert K Pedersen C Algebras and Their Automorphism Groups Academic Press Inc 1979 ISBN 0125494505 Satz 7 9 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Takai Dualitat amp oldid 194437650