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Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung Als symmetrische Wahrscheinlichkeits Verteilungen bezeichnet man in der Stoch

Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung

Als symmetrische (Wahrscheinlichkeits-) Verteilungen bezeichnet man in der Stochastik spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass (im einfachsten Fall) die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner als zu erhalten, immer gleich groß ist wie die Wahrscheinlichkeit, einen Wert größer als zu erhalten. Besitzt eine Zufallsvariable eine symmetrische Verteilung, so nennt man sie auch eine symmetrische Zufallsvariable.

Definition Bearbeiten

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf heißt symmetrisch (um Null), wenn für alle gilt:

Analog heißt eine reellwertige Zufallsvariable symmetrisch (um Null), wenn die Verteilung von mit der Verteilung von übereinstimmt, es gilt also

Allgemeiner heißt ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf symmetrisch um , wenn

für alle gilt, ebenso wie eine reellwertige Zufallsvariable symmetrisch um heißt, wenn

gilt.

Erste Beispiele Bearbeiten

Eigenschaften Bearbeiten

Charakterisierung durch die Verteilungsfunktion Bearbeiten

Die Symmetrie einer Zufallsvariablen/Verteilung kann auch über ihre Verteilungsfunktion charakterisiert oder definiert werden. Bezeichnet man mit den linksseitigen Grenzwert an der Stelle , so ist die Verteilung bzw. Zufallsvariable genau dann symmetrisch um Null, wenn

für alle gilt und genau dann symmetrisch um , wenn

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen und Wahrscheinlichkeitsfunktionen Bearbeiten

Die Symmetrie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich auch direkt über die Wahrscheinlichkeits(dichte)funktionen der Verteilung definieren:

Median und Momente Bearbeiten

Das Symmetriezentrum stimmt immer mit einem Median überein, ebenso der Erwartungswert falls dieser existiert. Dies muss aber bei symmetrischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht immer der Fall sein wie die Standard-Cauchy-Verteilung zeigt: Sie ist symmetrisch um Null, ihr Erwartungswert existiert aber nicht.

Allgemein gilt: ist eine um symmetrische Zufallsvariable und existiert ihr -tes Moment, so ist

Charakteristische Funktionen Bearbeiten

Die charakteristische Funktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist genau dann reellwertig, wenn die Verteilung symmetrisch um Null ist, und dann gilt

Des Weiteren ermöglicht der Satz von Pólya die Konstruktion von Funktionen, die stets charakteristische Funktion einer um Null symmetrischen Verteilung sind.

Weitere symmetrische Verteilungen Bearbeiten

Verteilung für Parameterwahl Symmetrisch um Bemerkung
Diskrete Verteilungen
Bernoulli-Verteilung Für siehe Dirac-Verteilung auf 0 bzw. 1
Binomialverteilung Geht für in die Dirac-Verteilung auf bzw. über, Symmetrien siehe dort.
Diskrete Gleichverteilung auf
Rademacher-Verteilung -
Zweipunktverteilung auf Degenerierter Fall siehe Dirac-Verteilung.
Absolutstetige Verteilungen
Normalverteilung
Stetige Gleichverteilung auf -
Cauchy-Verteilung Typisches Beispiel einer symmetrischen Verteilung ohne Erwartungswert
Studentsche t-Verteilung
Betaverteilung auf
Arcsin-Verteilung -
Logistische Verteilung
Stetigsinguläre Verteilungen und degenerierte Verteilungen
Cantor-Verteilung -
Dirac-Verteilung

Literatur Bearbeiten

  • Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 38, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.
  • Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, S. 244–245, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.
  • Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg / Dordrecht / London / New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.
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Als symmetrische Wahrscheinlichkeits Verteilungen bezeichnet man in der Stochastik spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen Sie zeichnen sich dadurch aus dass im einfachsten Fall die Wahrscheinlichkeit einen Wert kleiner als x displaystyle x zu erhalten immer gleich gross ist wie die Wahrscheinlichkeit einen Wert grosser als x displaystyle x zu erhalten Besitzt eine Zufallsvariable eine symmetrische Verteilung so nennt man sie auch eine symmetrische Zufallsvariable Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Erste Beispiele 3 Eigenschaften 3 1 Charakterisierung durch die Verteilungsfunktion 3 2 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen und Wahrscheinlichkeitsfunktionen 3 3 Median und Momente 3 4 Charakteristische Funktionen 4 Weitere symmetrische Verteilungen 5 LiteraturDefinition BearbeitenEin Wahrscheinlichkeitsmass P displaystyle P nbsp auf R B R displaystyle mathbb R mathcal B mathbb R nbsp heisst symmetrisch um Null wenn fur alle x R displaystyle x in mathbb R nbsp gilt P x P x displaystyle P infty x P x infty nbsp Analog heisst eine reellwertige Zufallsvariable symmetrisch um Null wenn die Verteilung von X displaystyle X nbsp mit der Verteilung von X displaystyle X nbsp ubereinstimmt es gilt also P X P X displaystyle P X P X nbsp bzw X D X displaystyle X stackrel mathcal D X nbsp Allgemeiner heisst ein Wahrscheinlichkeitsmass P displaystyle P nbsp auf R B R displaystyle mathbb R mathcal B mathbb R nbsp symmetrisch um a displaystyle a nbsp wenn P a x P a x displaystyle P infty a x P a x infty nbsp fur alle x R displaystyle x in mathbb R nbsp gilt ebenso wie eine reellwertige Zufallsvariable symmetrisch um a displaystyle a nbsp heisst wenn X a D X a displaystyle X a stackrel mathcal D X a nbsp gilt Erste Beispiele BearbeitenDie Gleichverteilung ist symmetrisch um ihren Erwartungswert Die Normalverteilung N m s displaystyle N mu sigma nbsp ist symmetrisch um ihren Erwartungswert m displaystyle mu nbsp Nicht symmetrisch also um keinen Punkt symmetrisch sind zum Beispiel die Exponentialverteilung oder die Poisson Verteilung Eigenschaften BearbeitenCharakterisierung durch die Verteilungsfunktion Bearbeiten Die Symmetrie einer Zufallsvariablen Verteilung kann auch uber ihre Verteilungsfunktion charakterisiert oder definiert werden Bezeichnet man mit F x displaystyle F x nbsp den linksseitigen Grenzwert an der Stelle x displaystyle x nbsp so ist die Verteilung bzw Zufallsvariable genau dann symmetrisch um Null wenn F x F x 1 displaystyle F x F x 1 nbsp fur alle x R displaystyle x in mathbb R nbsp gilt und genau dann symmetrisch um a displaystyle a nbsp wenn F a x F a x 1 displaystyle F a x F a x 1 nbsp Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen und Wahrscheinlichkeitsfunktionen Bearbeiten Die Symmetrie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung lasst sich auch direkt uber die Wahrscheinlichkeits dichte funktionen der Verteilung definieren Ist P displaystyle P nbsp eine absolutstetige Verteilung so ist P displaystyle P nbsp genau dann symmetrisch um a displaystyle a nbsp wenn die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion achsensymmetrisch bzgl der Achse x a displaystyle x a nbsp ist Ist P displaystyle P nbsp eine diskrete Verteilung auf den reellen Zahlen so ist P displaystyle P nbsp genau dann symmetrisch um a displaystyle a nbsp wenn die Wahrscheinlichkeitsfunktion achsensymmetrisch bzgl der Achse x a displaystyle x a nbsp ist Median und Momente Bearbeiten Das Symmetriezentrum stimmt immer mit einem Median uberein ebenso der Erwartungswert falls dieser existiert Dies muss aber bei symmetrischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht immer der Fall sein wie die Standard Cauchy Verteilung zeigt Sie ist symmetrisch um Null ihr Erwartungswert existiert aber nicht Allgemein gilt ist X displaystyle X nbsp eine um a displaystyle a nbsp symmetrische Zufallsvariable und existiert ihr 2 k 1 displaystyle 2k 1 nbsp tes Moment so ist E X a 2 k 1 0 displaystyle operatorname E X a 2k 1 0 nbsp Charakteristische Funktionen Bearbeiten Die charakteristische Funktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist genau dann reellwertig wenn die Verteilung symmetrisch um Null ist und dann gilt f X t E cos t X displaystyle varphi X t operatorname E cos tX nbsp Des Weiteren ermoglicht der Satz von Polya die Konstruktion von Funktionen die stets charakteristische Funktion einer um Null symmetrischen Verteilung sind Weitere symmetrische Verteilungen BearbeitenVerteilung fur Parameterwahl Symmetrisch um BemerkungDiskrete VerteilungenBernoulli Verteilung p 1 2 displaystyle p tfrac 1 2 nbsp a 1 2 displaystyle a tfrac 1 2 nbsp Fur p 0 1 displaystyle p in 0 1 nbsp siehe Dirac Verteilung auf 0 bzw 1Binomialverteilung X B i n n p displaystyle X sim Bin n p nbsp p 1 2 displaystyle p tfrac 1 2 nbsp a n 2 displaystyle a frac n 2 nbsp Geht fur p 0 1 displaystyle p in 0 1 nbsp in die Dirac Verteilung auf 0 displaystyle 0 nbsp bzw n displaystyle n nbsp uber Symmetrien siehe dort Diskrete Gleichverteilung auf r r 1 r n displaystyle r r 1 dots r n nbsp r R k N displaystyle r in mathbb R k in mathbb N nbsp a 2 r n 2 displaystyle a frac 2r n 2 nbsp Rademacher Verteilung a 0 displaystyle a 0 nbsp Zweipunktverteilung auf c d displaystyle c d nbsp c d R p 1 2 displaystyle c d in mathbb R p tfrac 1 2 nbsp a c d 2 displaystyle a frac c d 2 nbsp Degenerierter Fall p 0 1 displaystyle p in 0 1 nbsp siehe Dirac Verteilung Absolutstetige VerteilungenNormalverteilung m R s 2 gt 0 displaystyle mu in mathbb R sigma 2 gt 0 nbsp a m displaystyle a mu nbsp Stetige Gleichverteilung auf c d displaystyle c d nbsp a c d 2 displaystyle a frac c d 2 nbsp Cauchy Verteilung t R s gt 0 displaystyle t in mathbb R s gt 0 nbsp a t displaystyle a t nbsp Typisches Beispiel einer symmetrischen Verteilung ohne ErwartungswertStudentsche t Verteilung n N displaystyle n in mathbb N nbsp a 0 displaystyle a 0 nbsp Betaverteilung auf 0 1 displaystyle 0 1 nbsp p q displaystyle p q nbsp a 1 2 displaystyle a tfrac 1 2 nbsp Arcsin Verteilung a 1 2 displaystyle a tfrac 1 2 nbsp Logistische Verteilung a R b gt 0 displaystyle alpha in mathbb R beta gt 0 nbsp a a displaystyle a alpha nbsp Stetigsingulare Verteilungen und degenerierte VerteilungenCantor Verteilung a 1 2 displaystyle a tfrac 1 2 nbsp Dirac Verteilung d x displaystyle delta x nbsp x R displaystyle x in mathbb R nbsp a x displaystyle a x nbsp Literatur BearbeitenClaudia Czado Thorsten Schmidt Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2011 ISBN 978 3 642 17260 1 S 38 doi 10 1007 978 3 642 17261 8 Norbert Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie Eine Einfuhrung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 45386 1 S 244 245 doi 10 1007 978 3 642 45387 8 Klaus D Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2 durchgesehene Auflage Springer Verlag Heidelberg Dordrecht London New York 2011 ISBN 978 3 642 21025 9 doi 10 1007 978 3 642 21026 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung amp 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