www.wikidata.de-de.nina.az

Strikt konvexer Raum Strikt konvexe Räume werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet Es hande

Strikt konvexer Raum

Strikt konvexe Räume werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Es handelt sich um normierte Räume, deren Norm bestimmte geometrische Eigenschaften hat, die für die Optimierungstheorie wichtig sind.

Definitionen Bearbeiten

Ist ein reeller normierter Raum, so sei die Einheitskugel, das heißt die Menge aller Elemente mit , sei der Dualraum, das heißt der Banachraum der stetigen linearen Funktionale mit der Dualraumnorm .

Ein reeller normierter Raum heißt strikt konvex, wenn er eine der folgenden untereinander äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  • Ist für , so gibt es eine reelle Zahl mit .
  • Ist für zwei verschiedene , so gilt für alle reellen Zahlen .
  • Ist für zwei verschiedene , so gilt .
  • Die Funktion ist strikt konvex.
  • Jedes nimmt das Supremum auf in höchstens einem Punkt an.

Aus der zweiten Eigenschaft ergibt sich direkt, dass die Menge der Extremalpunkte von mit dem Rand der Einheitskugel zusammenfällt.

Aus der vierten Eigenschaft folgt die für die Optimierungstheorie wichtige Aussage, dass eine konvexe Menge in einem strikt konvexen Raum höchstens einen Vektor minimaler Länge hat.

Beispiele Bearbeiten

  • Gleichmäßig konvexe Räume sind strikt konvex, insbesondere also prä-Hilberträume und die Lp-Räume für .
  • ist nicht strikt konvex, denn ist und , so ist .
  • Jeder endlichdimensionale strikt konvexe Raum ist gleichmäßig konvex. Es gibt strikt konvexe Räume, die nicht gleichmäßig konvex sind; diese müssen dann unendlichdimensional sein. Siehe auch Renormierungssatz.

Glattheit Bearbeiten

Die hier vorgestellte Eigenschaft Glattheit (engl.: smoothness) ist die zur strikten Konvexität duale Eigenschaft. Es sei die Korrespondenz, die jedem die Menge derjenigen Funktionale mit zuordnet. Man nennt auch die Dualitätsabbildung. Nach dem Satz von Hahn-Banach ist für alle . Man nennt einen normierten Raum glatt, wenn für jedes einelementig ist. Es gilt nun folgender Satz:

  • Sei ein normierter Raum.

Für reflexive Räume erhält man dann perfekte Dualität:

Da die Dualitätsabbildung für glatte Räume nur einelementige Bilder hat, kann man sie auch als Funktion betrachten. Man kann zeigen, dass diese Abbildung stetig ist, wenn man auf die Normtopologie und auf die schwach-*-Topologie betrachtet.

Ein Renormierungssatz Bearbeiten

In vielen Fällen kann man sich durch Übergang zu einer äquivalenten Norm die hier vorgestellten Normeigenschaften verschaffen, denn es gilt:

  • Jeder separable Banachraum hat eine äquivalente Norm, die sowohl strikt konvex als auch glatt ist.

Insbesondere kann man auf diese Weise nicht-reflexive, strikt konvexe Banachräume konstruieren. Damit hat man Beispiele für strikt konvexe aber nicht gleichmäßig konvexe Banachräume, denn letztere sind nach einem Satz von Milman stets reflexiv.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. V. Barbu, Th. Precupanu: Convexity and Optimization in Banach Spaces, D. Reidel Publishing Company (1986), ISBN 90-277-1761-3, Satz 2.13
  2. Peter Kosmol: Optimierung und Approximation, Walter de Gruyter (2010), ISBN 3-110-21814-3, Folgerung aus Satz 3.17.1
  3. N. L. Carothers: A short course on Banach space theory, Cambridge University Press (2005), ISBN 0521603722, Kapitel 11, Seite 114
  4. V. Barbu, Th. Precupanu: Convexity and Optimization in Banach Spaces, D. Reidel Publishing Company (1986), ISBN 90-277-1761-3, Theorem 2.6
  5. N. L. Carothers: A short course on Banach space theory, Cambridge University Press (2005), ISBN 0521603722, Theorem 11.4
  6. V. Barbu, Th. Precupanu: Convexity and Optimization in Banach Spaces, D. Reidel Publishing Company (1986), ISBN 90-277-1761-3, Theorem 2.8
  7. Joram Lindenstrauss: Handbook of the geometry of Banach spaces Band 1, Elsevier (2001), ISBN 0444828427, Seite 33
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Strikt konvexe Raume werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet Es handelt sich um normierte Raume deren Norm bestimmte geometrische Eigenschaften hat die fur die Optimierungstheorie wichtig sind Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Beispiele 3 Glattheit 4 Ein Renormierungssatz 5 Siehe auch 6 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenIst X displaystyle X cdot nbsp ein reeller normierter Raum so sei X 1 displaystyle X 1 nbsp die Einheitskugel das heisst die Menge aller Elemente x X displaystyle x in X nbsp mit x 1 displaystyle x leq 1 nbsp X displaystyle X nbsp sei der Dualraum das heisst der Banachraum der stetigen linearen Funktionale f X R displaystyle f colon X rightarrow mathbb R nbsp mit der Dualraumnorm f sup x X 1 f x displaystyle textstyle f sup x in X 1 f x nbsp Ein reeller normierter Raum X displaystyle X cdot nbsp heisst strikt konvex wenn er eine der folgenden untereinander aquivalenten Bedingungen erfullt 1 Ist x y x y displaystyle x y x y nbsp fur x y X 0 displaystyle x y in X setminus 0 nbsp so gibt es eine reelle Zahl l displaystyle lambda nbsp mit x l y displaystyle x lambda y nbsp Ist x y 1 displaystyle x y 1 nbsp fur zwei verschiedene x y X displaystyle x y in X nbsp so gilt l x 1 l y lt 1 displaystyle lambda x 1 lambda y lt 1 nbsp fur alle reellen Zahlen 0 lt l lt 1 displaystyle 0 lt lambda lt 1 nbsp Ist x y 1 displaystyle x y 1 nbsp fur zwei verschiedene x y X displaystyle x y in X nbsp so gilt 1 2 x y lt 1 displaystyle tfrac 1 2 x y lt 1 nbsp Die Funktion X R x x 2 displaystyle X rightarrow mathbb R x mapsto x 2 nbsp ist strikt konvex Jedes f X 0 displaystyle f in X setminus 0 nbsp nimmt das Supremum auf X 1 displaystyle X 1 nbsp in hochstens einem Punkt an Aus der zweiten Eigenschaft ergibt sich direkt dass die Menge der Extremalpunkte von X 1 displaystyle X 1 nbsp mit dem Rand der Einheitskugel X 1 x X x 1 displaystyle partial X 1 x in X x 1 nbsp zusammenfallt Aus der vierten Eigenschaft folgt die fur die Optimierungstheorie wichtige Aussage dass eine konvexe Menge in einem strikt konvexen Raum hochstens einen Vektor minimaler Lange hat 2 Beispiele BearbeitenGleichmassig konvexe Raume sind strikt konvex insbesondere also pra Hilbertraume und die Lp Raume fur 1 lt p lt displaystyle 1 lt p lt infty nbsp ℓ 1 displaystyle ell 1 nbsp ist nicht strikt konvex denn ist x 1 0 0 displaystyle x 1 0 0 ldots nbsp und y 0 1 0 displaystyle y 0 1 0 ldots nbsp so ist x y 2 x y displaystyle x y 2 x y nbsp Jeder endlichdimensionale strikt konvexe Raum ist gleichmassig konvex Es gibt strikt konvexe Raume die nicht gleichmassig konvex sind diese mussen dann unendlichdimensional sein 3 Siehe auch Renormierungssatz Glattheit BearbeitenDie hier vorgestellte Eigenschaft Glattheit engl smoothness ist die zur strikten Konvexitat duale Eigenschaft Es sei F X P X displaystyle F X rightarrow mathcal P X nbsp die Korrespondenz die jedem x X displaystyle x in X nbsp die Menge derjenigen Funktionale f X displaystyle f in X nbsp mit f x x 2 f 2 displaystyle f x x 2 f 2 nbsp zuordnet Man nennt F displaystyle F nbsp auch die Dualitatsabbildung Nach dem Satz von Hahn Banach ist F x displaystyle F x not emptyset nbsp fur alle x X displaystyle x in X nbsp Man nennt einen normierten Raum glatt wenn F x displaystyle F x nbsp fur jedes x X displaystyle x in X nbsp einelementig ist Es gilt nun folgender Satz 4 5 Sei X displaystyle X nbsp ein normierter Raum Ist X displaystyle X nbsp strikt konvex so ist X displaystyle X nbsp glatt Ist X displaystyle X nbsp glatt so ist X displaystyle X nbsp strikt konvex Fur reflexive Raume erhalt man dann perfekte Dualitat Sei X displaystyle X nbsp ein reflexiver Banachraum X displaystyle X nbsp ist genau dann strikt konvex wenn X displaystyle X nbsp glatt ist X displaystyle X nbsp ist genau dann glatt wenn X displaystyle X nbsp strikt konvex ist Da die Dualitatsabbildung F displaystyle F nbsp fur glatte Raume nur einelementige Bilder hat kann man sie auch als Funktion F X X displaystyle F X rightarrow X nbsp betrachten Man kann zeigen dass diese Abbildung stetig ist wenn man auf X displaystyle X nbsp die Normtopologie und auf X displaystyle X nbsp die schwach Topologie betrachtet 6 Ein Renormierungssatz BearbeitenIn vielen Fallen kann man sich durch Ubergang zu einer aquivalenten Norm die hier vorgestellten Normeigenschaften verschaffen denn es gilt 7 Jeder separable Banachraum hat eine aquivalente Norm die sowohl strikt konvex als auch glatt ist Insbesondere kann man auf diese Weise nicht reflexive strikt konvexe Banachraume konstruieren Damit hat man Beispiele fur strikt konvexe aber nicht gleichmassig konvexe Banachraume denn letztere sind nach einem Satz von Milman stets reflexiv Siehe auch BearbeitenKonvexitatsbedingung fur verwandte Klassen normierter RaumeEinzelnachweise Bearbeiten V Barbu Th Precupanu Convexity and Optimization in Banach Spaces D Reidel Publishing Company 1986 ISBN 90 277 1761 3 Satz 2 13 Peter Kosmol Optimierung und Approximation Walter de Gruyter 2010 ISBN 3 110 21814 3 Folgerung aus Satz 3 17 1 N L Carothers A short course on Banach space theory Cambridge University Press 2005 ISBN 0521603722 Kapitel 11 Seite 114 V Barbu Th Precupanu Convexity and Optimization in Banach Spaces D Reidel Publishing Company 1986 ISBN 90 277 1761 3 Theorem 2 6 N L Carothers A short course on Banach space theory Cambridge University Press 2005 ISBN 0521603722 Theorem 11 4 V Barbu Th Precupanu Convexity and Optimization in Banach Spaces D Reidel Publishing Company 1986 ISBN 90 277 1761 3 Theorem 2 8 Joram Lindenstrauss Handbook of the geometry of Banach spaces Band 1 Elsevier 2001 ISBN 0444828427 Seite 33 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Strikt konvexer Raum amp oldid 195004327