In der Mathematik ist der Begriff der Korrespondenz eine Präzisierung des in der älteren mathematischen Literatur häufiger anzutreffenden Begriffs der mehrwertigen Funktion oder Multifunktion. Während eine Funktion im üblichen Sinn jedem Element der Definitionsmenge ein einziges Element der Zielmenge als Funktionswert zuordnet, können bei einer mehrwertigen Funktion einem Element der Definitionsmenge mehrere Elemente der Zielmenge zugeordnet werden. Beim Begriff der Korrespondenz werden diese mehreren Funktionswerte zu einer Menge (also einer Teilmenge der Zielmenge) zusammengefasst. Eine Korrespondenz von einer Menge in eine Menge ist somit eine Funktion, die jedem Element von eine Teilmenge von zuordnet.
Definition Bearbeiten
Eine Korrespondenz von einer Menge in eine Menge ist eine Abbildung von in die Potenzmenge von .
Notation Bearbeiten
Eine Korrespondenz von nach wird geschrieben als:
bzw.
Korrespondenzen als Relation Bearbeiten
Eine Korrespondenz von nach kann mit der Relation identifiziert werden, denn aus der Relation erhält man durch die Definition wieder die Korrespondenz zurück. Näheres siehe:
Demnach sind Relation und Korrespondenz äquivalente Begriffe, bei der Korrespondenz steht aber die Interpretation als Abbildung einer Menge in die Potenzmenge einer zweiten im Vordergrund.
Im Fall stellt die Relation eine Transitionsrelation dar, und ist die zugehörige Transitionsfunktion.
Eigenschaften von Korrespondenzen Bearbeiten
Sind und topologische Räume, so lassen sich interessante Eigenschaften von Korrespondenzen zwischen und definieren.
Man nennt abgeschlossen (offen), wenn die zugehörige Relation im Produktraum abgeschlossen (offen) ist.
Ein Fixpunkt einer Korrespondenz von nach ist ein Punkt mit .
Der folgende, nicht-konstruktive Existenzsatz von Shizuo Kakutani sichert die Existenz von Fixpunkten.
Fixpunktsatz von Kakutani Bearbeiten
Formulierung des Satzes für ℝn Bearbeiten
Sei nicht leer, konvex und kompakt, und sei eine abgeschlossene Korrespondenz von nach derart, dass für jedes konvex und nicht leer ist. Dann besitzt einen Fixpunkt.
Anwendungen Bearbeiten
Dieser Fixpunktsatz verallgemeinert den brouwerschen Fixpunktsatz, denn eine Abbildung kann man als Korrespondenz mit auffassen, und ein Fixpunkt von ist ein Fixpunkt von .
In der mathematischen Wirtschaftstheorie führt dieser Satz zu interessanten Existenzsätzen über Gleichgewichtspreise. In der mathematischen Spieltheorie hat John Nash diesen Satz verwendet, um die Existenz von Gleichgewichtspunkten in gewissen kooperativen Zweipersonenspielen zu zeigen (siehe Nash-Gleichgewicht).
Korrespondenzen in der algebraischen Geometrie Bearbeiten
In der algebraischen Geometrie bezeichnet man als Korrespondenz zwischen Varietäten und eine Untervarietät des Produkts .
Für einen Körper definiert man die Kategorie der Korrespondenzen als die Kategorie, deren Objekte die glatten, projektiven Varietäten über sind und deren Morphismen mittels der Chow-Gruppen gegeben sind durch
wobei die Zerlegung der Varietäten in irreduzible Komponenten bezeichnet. Die Komposition zweier Morphismen ist definiert durch
wobei die Projektion von auf das Produkt des -ten und -ten Faktors bezeichnet. Die Identität ist die Diagonale .
Literatur Bearbeiten
- Heinz König, Michael Neumann: Mathematische Wirtschaftstheorie. Verlag Anton Hain Meisenheim GmbH (1986)
- Burkhard Rauhut, Norbert Schmitz, Ernst-Wilhelm Zachow: Eine Einführung in die mathematische Theorie strategischer Spiele. Teubner Studienbücher (1979)
- Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. 5-te Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 609
Weblinks Bearbeiten
- Correspondence, Encyclopedia of Mathematics, Springer