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Schiefer Kreiskegel Beim geraden Kreis kegel steht die Spitze S displaystyle S senkrecht über dem Zentrum O displaystyle

Schiefer Kreiskegel

Beim geraden Kreis­kegel steht die Spitze senkrecht über dem Zentrum des Grund­kreises mit dem Radius , beim schiefen Kreiskegel (siehe Zeichnung) senkrecht über einem von verschiedenen Punkt der Kreis­ebene. Die Entfernung („Abweichung“) des Punktes vom Kreismittelpunkt sei . Die Höhe ist der Abstand zwischen und der Kreisebene (beim geraden Kreiskegel die Strecke , beim schiefen die Strecke ). Als Mantel eines Kreiskegels bezeichnet man seine Oberfläche ohne die Fläche des Grundkreises. Zugunsten einer bequemen Sprechweise werden Strecke und Streckenlänge, Mantel und Mantelfläche usw. identifiziert. Kreiskegel derselben Höhe über demselben Grundkreis haben dasselbe Volumen (das folgt aus dem Cavalierischen Prinzip). Der Mantel des geraden Kreiskegels lässt sich elementar berechnen: , wobei . Es gibt keine ähnlich einfache Formel für den Mantel des schiefen Kreiskegels.

Kegelmantel Bearbeiten

schiefer Kreiskegel

Den Mantel des schiefen Kreiskegels erhält man durch Integration. Das infinitesimale Dreieck (in der Zeichnung grün unterlegt) hat die Basis

wobei der Winkel im Mittelpunkt des Kreises ist, und die Höhe (rote Strecke in der Zeichnung)

mithin die Fläche

Da symmetrisch um liegt, genügt es, von 0 bis zu integrieren und das Ergebnis zu verdoppeln. Daher lautet die Formel für den Mantel des schiefen Kreiskegels

Man kann im Integranden das Minus durch ein Plus ersetzen, ohne den Wert des Integrals zu ändern (wenn man über den Vollkreis integriert, darf man sogar den Kosinus gegen den Sinus tauschen). Der Ausdruck berücksichtigt den geraden Kreiskegel als Sonderfall und liefert für die bekannte Formel. Durch geeignete Wahl einer oberen und unteren Schranke des Integranden lässt sich der Mantel nach oben und unten abschätzen. Aus der Schätzung des Intervalls folgt, wenn unter einer festen Schranke bleibt,

Wenn also die Abweichung groß gegenüber Radius und Höhe ist, gilt näherungsweise (Durchmesser mal Abweichung). Beispiel: Der Mantel des schiefen Kreiskegels vom Radius 2 cm, der Höhe 6 cm und der Abweichung 50 cm hat eine Fläche von 205,92… cm2, also ungefähr 2 mal 2 mal 50 cm2 (wäre die Höhe nur halb so groß, ergäbe sich ein Mantel von 201,85… cm2).

Extremalwertsätze Bearbeiten

Unter allen Kreiskegeln derselben Höhe über demselben Grundkreis besitzt der gerade den kleinsten Mantel (und damit die kleinste Oberfläche).

Denn wenn man den Mantel und den Integranden als Funktionen von auffasst, wenn also

dann ist

Nach der partiellen Ableitung des Integranden erkennt man, dass für und sonst (außerdem ). ist also monoton steigend (der Mantel wird größer mit wachsender Abweichung). Die Strecke heißt Achse des Kreiskegels. Wenn die Achse eine konstante Länge beibehält, wenn also ( fest) und damit , dann gilt wieder für , nun aber ist , hat bei ein Maximum. Deshalb gilt der Satz:

Unter allen Kreiskegeln derselben Achse über demselben Grundkreis besitzt der gerade den größten Mantel (und damit die größte Oberfläche).

Beziehung zwischen geradem Ellipsen- und schiefem Kreiskegel Bearbeiten

Schnitt durch einen geraden Ellipsenkegel

Ein gerader Ellipsenkegel mit der Höhe und der Ellipse

als Basis () wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

Alle Werte , die erfüllen (), liegen auf dem Mantel des geraden Ellipsenkegels, dessen Spitze der Nullpunkt ist (siehe Zeichnung). sei der minimale Böschungswinkel () und der maximale (), also . Eine Ebene, deren Normale in der yz-Ebene liegt und die mit der xy-Ebene den Winkel bildet, wobei

ist, schneidet den geraden Ellipsenkegel in einem Kreis. Sein Radius beträgt

dabei bedeutet den Abstand der Schnittebene von der Kegelspitze (Lot auf die Ebene), ggf. muss man sich den Kegel über die Basis hinaus verlängert denken, um den Kreisschnitt ganz ausführen zu können. Der Restkegel zwischen Spitze und (in der Zeichnung gelb angedeuteter) Schnittfläche ist also ein schiefer Kreiskegel. Jeder gerade Ellipsenkegel enthält einen schiefen Kreiskegel und umgekehrt: Jeder schiefe Kreiskegel lässt sich zu einem geraden Ellipsenkegel erweitern.

Siehe auch Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Beim geraden Kreis kegel steht die Spitze S displaystyle S senkrecht uber dem Zentrum O displaystyle O des Grund kreises mit dem Radius r displaystyle r beim schiefen Kreiskegel siehe Zeichnung senkrecht uber einem von O displaystyle O verschiedenen Punkt E displaystyle E der Kreis ebene Die Entfernung Abweichung des Punktes E displaystyle E vom Kreismittelpunkt sei e displaystyle e Die Hohe h displaystyle h ist der Abstand zwischen S displaystyle S und der Kreisebene beim geraden Kreiskegel die Strecke S O displaystyle overline SO beim schiefen die Strecke S E displaystyle overline SE Als Mantel M displaystyle M eines Kreiskegels bezeichnet man seine Oberflache ohne die Flache des Grundkreises Zugunsten einer bequemen Sprechweise werden Strecke und Streckenlange Mantel und Mantelflache usw identifiziert Kreiskegel derselben Hohe uber demselben Grundkreis haben dasselbe Volumen das folgt aus dem Cavalierischen Prinzip Der Mantel des geraden Kreiskegels lasst sich elementar berechnen M p r s displaystyle M pi rs wobei s 2 r 2 h 2 displaystyle s 2 r 2 h 2 Es gibt keine ahnlich einfache Formel fur den Mantel des schiefen Kreiskegels Inhaltsverzeichnis 1 Kegelmantel 2 Extremalwertsatze 3 Beziehung zwischen geradem Ellipsen und schiefem Kreiskegel 4 Siehe auchKegelmantel Bearbeiten nbsp schiefer Kreiskegel Den Mantel des schiefen Kreiskegels erhalt man durch Integration Das infinitesimale Dreieck in der Zeichnung grun unterlegt hat die Basis r d x displaystyle r cdot mathrm d x nbsp wobei x displaystyle x nbsp der Winkel im Mittelpunkt des Kreises ist und die Hohe rote Strecke in der Zeichnung f x r e cos x 2 h 2 displaystyle f x sqrt r e cdot cos x 2 h 2 nbsp mithin die Flache r 2 f x d x displaystyle frac r 2 cdot f x cdot mathrm d x nbsp Da f x displaystyle f x nbsp symmetrisch um p displaystyle pi nbsp liegt genugt es von 0 bis p displaystyle pi nbsp zu integrieren und das Ergebnis zu verdoppeln Daher lautet die Formel fur den Mantel M displaystyle M nbsp des schiefen Kreiskegels M r 0 p r e cos x 2 h 2 d x displaystyle M r int limits 0 pi sqrt r e cdot cos x 2 h 2 mathrm d x nbsp Man kann im Integranden das Minus durch ein Plus ersetzen ohne den Wert des Integrals zu andern wenn man uber den Vollkreis integriert darf man sogar den Kosinus gegen den Sinus tauschen Der Ausdruck berucksichtigt den geraden Kreiskegel als Sonderfall und liefert fur e 0 displaystyle e 0 nbsp die bekannte Formel Durch geeignete Wahl einer oberen und unteren Schranke des Integranden lasst sich der Mantel nach oben und unten abschatzen Aus der Schatzung des Intervalls folgt wenn r h displaystyle r h nbsp unter einer festen Schranke bleibt M 2 r e 1 displaystyle frac M 2re rightarrow 1 nbsp fur e displaystyle e rightarrow infty nbsp Wenn also die Abweichung gross gegenuber Radius und Hohe ist gilt naherungsweise M 2 r e displaystyle M approx 2re nbsp Durchmesser mal Abweichung Beispiel Der Mantel des schiefen Kreiskegels vom Radius 2 cm der Hohe 6 cm und der Abweichung 50 cm hat eine Flache von 205 92 cm2 also ungefahr 2 mal 2 mal 50 cm2 ware die Hohe nur halb so gross ergabe sich ein Mantel von 201 85 cm2 Extremalwertsatze BearbeitenUnter allen Kreiskegeln derselben Hohe uber demselben Grundkreis besitzt der gerade den kleinsten Mantel und damit die kleinste Oberflache Denn wenn man den Mantel und den Integranden als Funktionen von e displaystyle e nbsp auffasst wenn also M e r 0 p f e x d x displaystyle M e r int limits 0 pi f e x mathrm d x nbsp dann ist M e r 0 p f e x e d x displaystyle M prime e r int limits 0 pi frac partial f e x partial e mathrm d x nbsp Nach der partiellen Ableitung des Integranden f e x displaystyle f e x nbsp erkennt man dass M e 0 displaystyle M e 0 nbsp fur e 0 displaystyle e 0 nbsp und sonst M e gt 0 displaystyle M e gt 0 nbsp ausserdem M 0 gt 0 displaystyle M 0 gt 0 nbsp M e displaystyle M e nbsp ist also monoton steigend der Mantel wird grosser mit wachsender Abweichung Die Strecke S O displaystyle overline SO nbsp heisst Achse des Kreiskegels Wenn die Achse eine konstante Lange beibehalt wenn also e 2 h 2 l 2 displaystyle e 2 h 2 l 2 nbsp l displaystyle l nbsp fest und damit h 2 l 2 e 2 displaystyle h 2 l 2 e 2 nbsp dann gilt wieder M e 0 displaystyle M e 0 nbsp fur e 0 displaystyle e 0 nbsp nun aber ist M 0 lt 0 displaystyle M 0 lt 0 nbsp M e displaystyle M e nbsp hat bei e 0 displaystyle e 0 nbsp ein Maximum Deshalb gilt der Satz Unter allen Kreiskegeln derselben Achse uber demselben Grundkreis besitzt der gerade den grossten Mantel und damit die grosste Oberflache Beziehung zwischen geradem Ellipsen und schiefem Kreiskegel Bearbeiten nbsp Schnitt durch einen geraden EllipsenkegelEin gerader Ellipsenkegel mit der Hohe h displaystyle h nbsp und der Ellipse x 2 a 2 y 2 b 2 1 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 nbsp als Basis a gt b displaystyle a gt b nbsp wird durch die folgende Gleichung beschrieben F x y z x 2 a 2 y 2 b 2 z 2 h 2 0 displaystyle F x y z frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 frac z 2 h 2 0 nbsp Alle Werte x y z displaystyle x y z nbsp die F x y z 0 displaystyle F x y z 0 nbsp erfullen 0 z h displaystyle 0 leq z leq h nbsp liegen auf dem Mantel des geraden Ellipsenkegels dessen Spitze der Nullpunkt ist siehe Zeichnung a displaystyle alpha nbsp sei der minimale Boschungswinkel tan a h a displaystyle tan alpha h a nbsp und b displaystyle beta nbsp der maximale tan b h b displaystyle tan beta h b nbsp also a lt b displaystyle alpha lt beta nbsp Eine Ebene deren Normale in der yz Ebene liegt und die mit der xy Ebene den Winkel g displaystyle gamma nbsp bildet wobei cos g cos b cos a displaystyle cos gamma frac cos beta cos alpha nbsp ist schneidet den geraden Ellipsenkegel in einem Kreis Sein Radius r displaystyle r nbsp betragt r n a 2 b h displaystyle r n cdot frac a 2 bh nbsp dabei bedeutet n displaystyle n nbsp den Abstand der Schnittebene von der Kegelspitze Lot auf die Ebene ggf muss man sich den Kegel uber die Basis hinaus verlangert denken um den Kreisschnitt ganz ausfuhren zu konnen Der Restkegel zwischen Spitze und in der Zeichnung gelb angedeuteter Schnittflache ist also ein schiefer Kreiskegel Jeder gerade Ellipsenkegel enthalt einen schiefen Kreiskegel und umgekehrt Jeder schiefe Kreiskegel lasst sich zu einem geraden Ellipsenkegel erweitern Siehe auch BearbeitenSchiefer Ellipsenkegel Schiefer Kegel allgemein Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schiefer Kreiskegel amp oldid 159729129