Der schiefe Ellipsenkegel englisch oblique cone ist eine Verallgemeinerung des schiefen Kreiskegels seine Grundflache ist eine Ellipse mit entsprechenden Halbachsen a displaystyle a und b displaystyle b Die Spitze S displaystyle S des Schiefkegels braucht nicht uber dem Ellipsenzentrum O displaystyle O zu liegen sondern kann sich uber S 0 u v displaystyle S 0 u v befinden schiefer elliptischer Kegel Inhaltsverzeichnis 1 Grundflache 2 Volumen 2 1 Faustformel 3 Generell Mantel des schiefen Ellipsenkegels 4 Ein Extremalwertsatz 5 Speziell Mantel des geraden Ellipsenkegels 6 Siehe auchGrundflache BearbeitenDie Grundflache wird von einer Ellipse gebildet A p a b p a 2 1 e 2 displaystyle A pi ab pi a 2 sqrt 1 varepsilon 2 nbsp Mit a displaystyle a nbsp als Lange der grossen und b displaystyle b nbsp der kleinen Halbachsen und e a 2 b 2 a 0 1 displaystyle varepsilon frac sqrt a 2 b 2 a in 0 1 nbsp Volumen BearbeitenFur das Volumen gilt die verallgemeinerte Formel des schiefen Kreiskegels V 1 3 h A 1 3 h p a b p 3 h a b displaystyle V frac 1 3 hA frac 1 3 h pi ab frac pi 3 hab nbsp mit h displaystyle h nbsp als Hohe des schiefen Kegels a d m a x 2 displaystyle a frac d mathrm max 2 nbsp als Lange der grossen halber maximaler Durchmesser und b d m i n 2 displaystyle b frac d mathrm min 2 nbsp der kleinen Halbachsen halber minimaler Durchmesser Faustformel Bearbeiten 1 049 8 h a b V p 3 h a b 1 049 7 h a b h a b displaystyle 1 0498 cdot hab geq V frac pi 3 hab geq 1 0497 cdot hab geq hab nbsp Der Fehler bei Verwendung von h a b displaystyle hab nbsp zur Berechnung des Volumens ist somit kleiner als 5 Faktor 1 05 und kann bei einer Abschatzung vernachlassigt werden Generell Mantel des schiefen Ellipsenkegels Bearbeiten nbsp schiefer EllipsenkegelDie Berechnung der Mantelflache ist anspruchsvoll Die Ellipse wird durch x t a cos t displaystyle x t a cdot cos t nbsp y t b sin t displaystyle y t b cdot sin t nbsp beschrieben t displaystyle t nbsp aus 0 2 p displaystyle 0 2 pi nbsp Parameterdarstellung siehe Zeichnung Es sei N t a 2 sin t 2 b 2 cos t 2 displaystyle N t sqrt a 2 cdot sin t 2 b 2 cdot cos t 2 nbsp Die Basis des infinitesimalen Dreiecks die zur Berechnung des Kegelmantels verwendet wird ist d U N t d t displaystyle dU N t cdot mathrm d t nbsp das folgt durch Differentiation aus der obigen Parameterdarstellung In der Literatur wird N t displaystyle N t nbsp haufig als N t a 1 n 2 cos t 2 displaystyle N t a cdot sqrt 1 n 2 cdot cos t 2 nbsp geschrieben n displaystyle n nbsp mit n 2 a 2 b 2 a 2 displaystyle n 2 a 2 b 2 a 2 nbsp heisst numerische Exzentrizitat Die Integration von t 0 displaystyle t 0 nbsp bis 2 p displaystyle 2 pi nbsp ergibt ein elliptisches Integral zweiter Gattung das ist die bekannte Formel fur den Umfang einer Ellipse Das infinitesimale Dreieck liegt in der Ebene die durch die Ellipsen Tangente an P a cos t b sin t displaystyle P a cdot cos t b cdot sin t nbsp und durch die Kegelspitze S displaystyle S nbsp im Abstand h displaystyle h nbsp senkrecht uber E u v displaystyle E u v nbsp festgelegt ist Die Hohe des infinitesimalen Dreiecks lautet f t k t 2 h 2 displaystyle f t sqrt k t 2 h 2 nbsp nicht zu verwechseln mit der Hohe h displaystyle h nbsp des Kegels Hier bedeutet k t displaystyle k t nbsp das Lot von E displaystyle E nbsp auf die Ellipsen Tangente an den Punkt P displaystyle P nbsp Es sei Z t a b v a sin t u b cos t displaystyle Z t ab va cdot sin t ub cdot cos t nbsp Dann gilt k t Z t N t displaystyle k t frac Z t N t nbsp Die Flache des infinitesimalen Dreiecks betragt also 1 2 f t N t d t 1 2 Z t 2 h 2 N t 2 d t displaystyle frac 1 2 cdot f t cdot N t cdot dt frac 1 2 sqrt Z t 2 h 2 cdot N t 2 mathrm d t nbsp Die Formel fur die Mantelflache M des schiefen Ellipsenkegels lautet demnach M 1 2 0 2 p Z t 2 h 2 N t 2 d t displaystyle M frac 1 2 int limits 0 2 pi sqrt Z t 2 h 2 cdot N t 2 mathrm d t nbsp Da der Integrand nicht symmetrisch um p displaystyle pi nbsp verlauft muss man hier uber den Vollkreis integrieren Unter dem Integral von 0 bis 2 p displaystyle 2 pi nbsp darf man die Minuszeichen in Z t displaystyle Z t nbsp gemeinsam durch Pluszeichen ersetzen Dann lautet die Formel ausgeschrieben M 1 2 0 2 p a b v a sin t u b cos t 2 h 2 a 2 sin t 2 b 2 cos t 2 d t displaystyle M frac 1 2 int limits 0 2 pi sqrt ab va cdot sin t ub cdot cos t 2 h 2 cdot a 2 cdot sin t 2 b 2 cdot cos t 2 mathrm d t nbsp Statt 0 displaystyle 0 nbsp und 2 p displaystyle 2 pi nbsp kann man auch p displaystyle pi nbsp und p displaystyle pi nbsp als Integrationsgrenzen wahlen ohne den Wert zu andern Wenn man M displaystyle M nbsp als Funktion von a b u v displaystyle a b u v nbsp und h displaystyle h nbsp auffasst dann dient sie als Erzeugende der bekannten Formeln fur Kreis Ellipse und Kegel M r r 0 0 0 displaystyle M r r 0 0 0 nbsp Kreisflache M a b 0 0 0 displaystyle M a b 0 0 0 nbsp Ellipsenflache M r r 0 0 h displaystyle M r r 0 0 h nbsp Mantelflache des geraden Kreiskegels M r r e 0 h M r r 0 e h displaystyle M r r e 0 h M r r 0 e h nbsp Mantelflache des schiefen Kreiskegels M a b 0 0 h displaystyle M a b 0 0 h nbsp Mantelflache des geraden Ellipsenkegels M a b u v h displaystyle M a b u v h nbsp Mantelflache des schiefen Ellipsenkegels Ein Extremalwertsatz BearbeitenBewegt man die Spitze S displaystyle S nbsp des schiefen Ellipsenkegels auf gleichbleibender Hohe bzw mit konstanter Achse uber den Strahl v u c u displaystyle v u cu nbsp c beliebige Steigung dann ist der Mantel eine differenzierbare Funktion von u displaystyle u nbsp bei u 0 displaystyle u 0 nbsp eine Funktion von v Es gilt M 0 0 displaystyle M 0 0 nbsp und M 0 gt 0 displaystyle M 0 gt 0 nbsp bzw M 0 lt 0 displaystyle M 0 lt 0 nbsp und damit der Satz analog zum Kreiskegel Unter allen Ellipsenkegeln derselben Hohe derselben Achse uber derselben Grundellipse besitzt der gerade den kleinsten bzw grossten Mantel Beim Beweis verwendet man die Tatsache dass sich die Differentiation nach u displaystyle u nbsp unter das Integral ziehen lasst und dass folgende Integranden uber den Vollkreis integriert verschwinden G t sin t displaystyle G t sin t nbsp G t sin 2 t displaystyle G t sin 2t nbsp und G t cos t displaystyle G t cos t nbsp wobei G t displaystyle G t nbsp eine Funktion bezeichnet die um i 2 p i 1 2 3 displaystyle frac i 2 pi i 1 2 3 nbsp symmetrisch verlauft z B G t cos 2 t displaystyle G t cos 2t nbsp oder G t a 2 sin t 2 b 2 cos t 2 displaystyle G t a 2 sin t 2 b 2 cos t 2 nbsp Speziell Mantel des geraden Ellipsenkegels BearbeitenFur u v 0 displaystyle u v 0 nbsp also fur den geraden Ellipsenkegel lautet die Mantel Formel M 1 2 0 2 p a 2 b 2 h 2 a 2 sin t 2 b 2 cos t 2 d t displaystyle M frac 1 2 int limits 0 2 pi sqrt a 2 b 2 h 2 cdot a 2 cdot sin t 2 b 2 cdot cos t 2 mathrm d t nbsp Durch den erlaubten Kniff a 2 b 2 a 2 b 2 sin t 2 cos t 2 displaystyle a 2 b 2 a 2 b 2 cdot sin t 2 cos t 2 nbsp lasst sich der Integrand nach sin t 2 displaystyle sin t 2 nbsp und cos t 2 displaystyle cos t 2 nbsp ordnen und man erhalt den Ausdruck M 1 2 0 2 p A 2 sin t 2 B 2 cos t 2 d t displaystyle M frac 1 2 int limits 0 2 pi sqrt A 2 cdot sin t 2 B 2 cdot cos t 2 mathrm d t nbsp wobei A 2 a 2 b 2 h 2 displaystyle A 2 a 2 b 2 h 2 nbsp und B 2 b 2 a 2 h 2 displaystyle B 2 b 2 a 2 h 2 nbsp Das Integral ohne den Faktor bedeutet den Umfang der Ellipse mit den Halbachsen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp Daher gilt der Satz Die Mantelflache des geraden Ellipsenkegels mit den Halbachsen a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp und der Hohe h displaystyle h nbsp ist zahlenmassig gleich dem halben Umfang der Ellipse mit den Halbachsen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp Der Nutzen dieses Satzes besteht darin dass man nun die bekannten Abschatzungen fur den Ellipsenumfang auf die Mantel Berechnung anwenden darf Fur den Umfang U displaystyle U nbsp der Ellipse mit den Halbachsen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp gilt in erster Naherung a b displaystyle a neq b nbsp und h gt 0 displaystyle h gt 0 nbsp also auch A B displaystyle A neq B nbsp U gt p A B displaystyle U gt pi cdot A B nbsp Fur den Mantel M displaystyle M nbsp des geraden Ellipsenkegels gewinnt man daraus die Abschatzung M gt 1 2 p a b 2 h 2 b a 2 h 2 displaystyle M gt frac 1 2 cdot pi cdot left a cdot sqrt b 2 h 2 b cdot sqrt a 2 h 2 right nbsp Das Gleichheitszeichen gilt fur a b displaystyle a b nbsp Mantel des geraden Kreiskegels oder h 0 displaystyle h 0 nbsp Ellipsen bzw Kreisflache Beispiel a 3 displaystyle a 3 nbsp b 2 displaystyle b 2 nbsp und h 4 displaystyle h 4 nbsp Die Abschatzung liefert den Wert 36 7 Der genaue Wert betragt 36 9 Schlussbemerkung Durch Abschatzung des Integranden nach unten und oben erhalt man die grobe Ungleichung p B lt M lt p A displaystyle pi B lt M lt pi A nbsp fur b lt a displaystyle b lt a nbsp das Gleichheitszeichen gilt fur a b displaystyle a b nbsp oder h 0 displaystyle h 0 nbsp Die Mantelflache ist also ungefahr gleich dem arithmetischen Mittel aus der unteren und oberen Schranke Siehe auch BearbeitenSchiefer Kreiskegel Schiefer Kegel allgemein Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schiefer Ellipsenkegel amp oldid 159488748
