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Satz von Weyl Lie Algebra Der Satz von Weyl benannt nach Hermann Weyl ist ein wichtiger Satz aus der Theorie der Lie Alg

Satz von Weyl (Lie-Algebra)

Der Satz von Weyl, benannt nach Hermann Weyl, ist ein wichtiger Satz aus der Theorie der Lie-Algebren. Er besagt im Wesentlichen, dass man endlichdimensionale Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren aus irreduziblen zusammensetzen kann, sofern der Grundkörper algebraisch abgeschlossen ist und die Charakteristik 0 hat.

Begriffe Bearbeiten

Eine Darstellung einer Lie-Algebra über einem Vektorraum ist ein Lie-Algebren-Homomorphismus von , wobei letzteres die allgemeine lineare Lie-Algebra über bezeichnet, d. h. die Menge aller linearen Operatoren mit der Kommutator-Klammer als Verknüpfung. Die Dimension des Vektorraums heißt auch Dimension der Darstellung. Ein Untervektorraum heißt invariant, falls für alle . Invariante Unterräume sind deshalb interessant, weil wieder eine Darstellung ist. Man hat stets die sogenannten trivialen invarianten Unterräume und ; gibt es nur diese, so nennt man die Darstellung irreduzibel, denn sie kann nicht durch weitere invariante Unterräume vereinfacht (reduziert) werden. Eine Darstellung heißt nun vollständig reduzibel, falls es vom Nullvektorraum verschiedene, invariante Unterräume , so dass die direkte Summe dieser Unterräume ist und jede Darstellung irreduzibel ist. Vollständig reduzible Darstellungen können also in ihre irreduziblen Bestandteile zerlegt werden. Daher sind Sätze, die die vollständige Reduzibilität von Darstellungen sichern, sehr wichtig, insbesondere dann, wenn man alle irreduziblen Darstellungen kennt.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Jede endlichdimensionale Darstellung einer halbeinfachen Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0 ist vollständig reduzibel.

Ein Beweis für -Lie-Algebren findet sich im unten angegebenen Lehrbuch von Hilgert und Neeb, dort wird dieser Satz auf das sogenannte Lemma von Whitehead über das Verschwinden gewisser Kohomologie-Gruppen zurückgeführt. Ein Beweis, der Kohomologie-Theorie vermeidet, findet sich bei Humphreys.

Positive Charakteristik Bearbeiten

Der Satz von Weyl wird falsch für Charakteristik . Ist ein solcher Körper, so betrachte die Lie-Algebra

die bekanntlich von

erzeugt wird. Für ist diese Lie-Algebra einfach, insbesondere also halbeinfach.

Weiter sei der Vektorraum der Polynome in zwei Unbestimmten. Durch die Formeln

wird eine unendlichdimensionale Darstellung definiert. Da die so definierte Operation von die Grade der Polynome unverändert lässt, sind die von den homogenen Polynomen erzeugten Unterräume invariant. Man kann nun zeigen, dass die endlich-dimensionale Darstellung nicht vollständig reduzibel ist. In der Tat ist der von und erzeugte Unterraum invariant, denn ist die Nulldarstellung, da die Ableitungen den Faktor erzeugen, was für Körper der Charakteristik der Multiplikation mit 0 gleichkommt, und es gibt keine invarianten, direkten Summanden von in . Daher ist der Satz von Weyl hier nicht gültig.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3
  2. James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer, Berlin/ New York 1972, ISBN 0-387-90053-5, Abschnitt 6.3: Weyl's Theorem
  3. Dimitriy Rumynin: Modular Lie-Algebras, Kapitel 2: Things that fail in positive characteristic
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Der Satz von Weyl benannt nach Hermann Weyl ist ein wichtiger Satz aus der Theorie der Lie Algebren Er besagt im Wesentlichen dass man endlichdimensionale Darstellungen halbeinfacher Lie Algebren aus irreduziblen zusammensetzen kann sofern der Grundkorper algebraisch abgeschlossen ist und die Charakteristik 0 hat Inhaltsverzeichnis 1 Begriffe 2 Formulierung des Satzes 3 Positive Charakteristik 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseBegriffe BearbeitenEine Darstellung einer Lie Algebra L displaystyle L nbsp uber einem Vektorraum V displaystyle V nbsp ist ein Lie Algebren Homomorphismus von p L g l V displaystyle pi L rightarrow mathrm gl V nbsp wobei letzteres die allgemeine lineare Lie Algebra uber V displaystyle V nbsp bezeichnet d h die Menge aller linearen Operatoren mit der Kommutator Klammer als Verknupfung Die Dimension des Vektorraums heisst auch Dimension der Darstellung Ein Untervektorraum W V displaystyle W subset V nbsp heisst invariant falls p x w W displaystyle pi x w in W nbsp fur alle x L w W displaystyle x in L w in W nbsp Invariante Unterraume sind deshalb interessant weil p W L g l W p W x p x W displaystyle pi W L rightarrow mathrm gl W pi W x pi x W nbsp wieder eine Darstellung ist Man hat stets die sogenannten trivialen invarianten Unterraume W 0 displaystyle W 0 nbsp und W V displaystyle W V nbsp gibt es nur diese so nennt man die Darstellung irreduzibel denn sie kann nicht durch weitere invariante Unterraume vereinfacht reduziert werden Eine Darstellung p L g l V displaystyle pi L rightarrow mathrm gl V nbsp heisst nun vollstandig reduzibel falls es vom Nullvektorraum verschiedene invariante Unterraume W 1 W n displaystyle W 1 ldots W n nbsp so dass V W 1 W n displaystyle V W 1 oplus ldots oplus W n nbsp die direkte Summe dieser Unterraume ist und jede Darstellung p W i displaystyle pi W i nbsp irreduzibel ist Vollstandig reduzible Darstellungen konnen also in ihre irreduziblen Bestandteile zerlegt werden Daher sind Satze die die vollstandige Reduzibilitat von Darstellungen sichern sehr wichtig insbesondere dann wenn man alle irreduziblen Darstellungen kennt Formulierung des Satzes BearbeitenJede endlichdimensionale Darstellung einer halbeinfachen Lie Algebra uber einem algebraisch abgeschlossenen Korper der Charakteristik 0 ist vollstandig reduzibel Ein Beweis fur C displaystyle mathbb C nbsp Lie Algebren findet sich im unten angegebenen Lehrbuch von Hilgert und Neeb 1 dort wird dieser Satz auf das sogenannte Lemma von Whitehead uber das Verschwinden gewisser Kohomologie Gruppen zuruckgefuhrt Ein Beweis der Kohomologie Theorie vermeidet findet sich bei Humphreys 2 Positive Charakteristik BearbeitenDer Satz von Weyl wird falsch fur Charakteristik p gt 0 displaystyle p gt 0 nbsp Ist K displaystyle mathbb K nbsp ein solcher Korper so betrachte die Lie Algebra L s l 2 K displaystyle L mathrm sl 2 mathbb K nbsp die bekanntlich von e 0 1 0 0 f 0 0 1 0 h 1 0 0 1 displaystyle e begin pmatrix 0 amp 1 0 amp 0 end pmatrix quad f 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L g l V p displaystyle pi V p L rightarrow mathrm gl V p nbsp nicht vollstandig reduzibel ist In der Tat ist der von x p displaystyle x p nbsp und y p displaystyle y p nbsp erzeugte Unterraum W V p displaystyle W subset V p nbsp invariant denn p W displaystyle pi W nbsp ist die Nulldarstellung da die Ableitungen den Faktor p displaystyle p nbsp erzeugen was fur Korper der Charakteristik p displaystyle p nbsp der Multiplikation mit 0 gleichkommt und es gibt keine invarianten direkten Summanden von W displaystyle W nbsp in V p displaystyle V p nbsp 3 Daher ist der Satz von Weyl hier nicht gultig Siehe auch BearbeitenSatz von Maschke fur eine analoge Situation in der Gruppentheorie Einzelnachweise Bearbeiten Joachim Hilgert Karl Hermann Neeb Lie Gruppen und Lie Algebren Vieweg 1999 ISBN 3 528 06432 3 James E Humphreys Introduction to Lie Algebras and Representation Theory Springer Berlin New York 1972 ISBN 0 387 90053 5 Abschnitt 6 3 Weyl s Theorem Dimitriy Rumynin Modular Lie Algebras Kapitel 2 Things that fail in positive characteristic Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Weyl Lie Algebra amp oldid 208891812