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Lie Algebren Kohomologie In der Mathematik ist die ein technisches Hilfsmittel welches insbesondere in Differentialgeome

Lie-Algebren-Kohomologie

In der Mathematik ist die Lie-Algebren-Kohomologie ein technisches Hilfsmittel, welches insbesondere in Differentialgeometrie, Mathematischer Physik und der Theorie der Lie-Gruppen Anwendung findet. Sie wird definiert als Kohomologie des Koszul-Komplexes. Für kompakte Lie-Gruppen ist die algebraisch definierte Lie-Algebren-Kohomologie der Lie-Algebra isomorph zur De-Rham-Kohomologie der Lie-Gruppe.

Definition Bearbeiten

Sei eine Lie-Algebra. Auf der äußeren Algebra des dualen -Vektorraumes definieren wir für alle einen Operator

Sei

dann definieren wir

durch

Der Komplex heißt Koszul-Komplex. Für alle gilt

Die Lie-Algebren-Kohomologie von ist definiert als Kohomologie des Koszul-Komplexes, also als

Lie-Gruppen und Lie-Algebren-Kohomologie Bearbeiten

Für eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ist der Koszul-Komplex kanonisch isomorph zum Komplex der -invarianten Differentialformen auf :

die Lie-Algebren-Komologie von ist also isomorph zur Kohomologie des Komplexes .

Élie Cartan hat bewiesen, dass für kompakte Lie-Gruppen die Inklusion

einen Isomorphismus der De-Rham-Kohomologie-Gruppen induziert. Für kompakte Lie-Gruppen gilt also

Lie-Algebren-Kohomologie bzgl. einer Darstellung Bearbeiten

C. Chevalley und S. Eilenberg haben zu einer Lie-Algebren-Darstellung die folgende Kohomologie-Konstruktion durchgeführt.

Für sei der Raum der -linearen, alternierenden Abbildungen , für k=0 sei . Ferner sei durch

In der angegebenen Arbeit von C. Chevalley und S. Eilenberg wird noch durch dividiert, was im unten angegebenen Lehrbuch von Hilgert und Neeb nicht der Fall ist. Man zeigt , das heißt, es liegt ein Kokettenkomplex vor, den man auch den Chevalley-Eilenberg-Komplex nennt. Die Elemente aus

nennt man wie üblich k-Kozykel, diejenigen aus

heißen k-Koränder. Damit sind die Kohomologiegruppen

definiert, wobei im Falle der Korandoperator als 0 definiert ist. Man spricht genauer von der Chevalley-Kohomologie von mit Werten in bzgl. .

Elemente aus dem Chevalley-Eilenberg-Komplex treten in natürlicher Weise auf. So ist zum Beispiel durch die Formel

eine Darstellung definiert, die für weitere Untersuchungen der Lie-Algebra herangezogen werden kann. Man kann weitere Folgerungen ziehen, wenn ist, das heißt, wenn die 1-te Chevalley-Kohomologie verschwindet. Daher sind die folgenden beiden sogenannten Lemmata von Whitehead von besonderem Interesse:

1. Lemma von Whitehead: Ist eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist eine endlich-dimensionale Darstellung, so ist .

2. Lemma von Whitehead: Ist eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist eine endlich-dimensionale Darstellung, so ist .

Folgender Satz ist eine Konsequenz aus dem 1. Lemma von Whitehead und der obigen Konstruktion von Darstellungen auf :

  • Ist eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist eine kurze exakte Sequenz von endlichdimensionalen -Moduln, so zerfällt diese, das heißt, es gibt einen -Modul-Morphismus mit .

Dieser Satz kann als wesentlicher Schritt im Beweis des Satzes von Weyl angesehen werden.

Das 2. Lemma von Whitehead ist ein wichtiger Baustein zum Satz von Levi.

Literatur Bearbeiten

  • C. Chevalley, S. Eilenberg: Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 63 (1948), 85–124.
  • J. L. Koszul: Homologie et cohomologie des algèbres de Lie. Bull. Soc. Math. France, 78 (1950) pp. 65–127
  • Gerhard Hochschild, Jean-Pierre Serre: Cohomology of Lie algebras. Ann. of Math. (2) 57, (1953). 591–603. JSTOR:1969740
  • J. C. Jantzen, Representations of Algebraic groups, Pure and Applied Mathematics, vol. 131, Boston, etc., 1987 (Academic).
  • J. C. Jantzen: Restricted Lie algebra cohomology. Lecture Notes in Math. 1271 (1986), 91–108.
  • Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, Kapitel II.5: Lie-Algebra-Kohomologie
  • A. W. Knapp, Lie groups, Lie algebras and cohomology, Mathematical Notes, Princeton University Press, 1988, 509 pp.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. C. Chevalley, S. Eilenberg: Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 63 (1948), Kapitel IV: Cohomology Groups associated with a representation
  2. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, Definition II.5.3
  3. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.5.12, II.5.14
  4. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.4.16, II.5.5, II.5.12
  5. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.4.8, II.5.7, II.5.14
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik ist die Lie Algebren Kohomologie ein technisches Hilfsmittel welches insbesondere in Differentialgeometrie Mathematischer Physik und der Theorie der Lie Gruppen Anwendung findet Sie wird definiert als Kohomologie des Koszul Komplexes Fur kompakte Lie Gruppen ist die algebraisch definierte Lie Algebren Kohomologie der Lie Algebra isomorph zur De Rham Kohomologie der Lie Gruppe Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Lie Gruppen und Lie Algebren Kohomologie 3 Lie Algebren Kohomologie bzgl einer Darstellung 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei g displaystyle mathfrak g nbsp eine Lie Algebra Auf der ausseren Algebra L g k L k g displaystyle Lambda mathfrak g bigoplus k Lambda k mathfrak g nbsp des dualen R displaystyle mathbb R nbsp Vektorraumes g displaystyle mathfrak g nbsp definieren wir fur alle k N displaystyle k in mathbb N nbsp einen Operator d k L k g L k 1 g displaystyle d k Lambda k mathfrak g rightarrow Lambda k 1 mathfrak g nbsp wie folgt Sei f Hom 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Lie Gruppen und Lie Algebren Kohomologie BearbeitenFur eine Lie Gruppe G displaystyle G nbsp mit Lie Algebra g displaystyle mathfrak g nbsp ist der Koszul Komplex kanonisch isomorph zum Komplex der G displaystyle G nbsp invarianten Differentialformen auf G displaystyle G nbsp L g d W G G d displaystyle Lambda mathfrak g d bullet Omega G G d nbsp die Lie Algebren Komologie von g displaystyle mathfrak g nbsp ist also isomorph zur Kohomologie des Komplexes W G G d displaystyle Omega G G d nbsp Elie Cartan hat bewiesen dass fur kompakte Lie Gruppen die Inklusion W G G W G displaystyle Omega G G subset Omega bullet G nbsp einen Isomorphismus der De Rham Kohomologie Gruppen induziert Fur kompakte Lie Gruppen G displaystyle G nbsp gilt also H d R G H g displaystyle H dR bullet G H bullet mathfrak g nbsp Lie Algebren Kohomologie bzgl einer Darstellung BearbeitenC Chevalley und S Eilenberg haben zu einer Lie Algebren Darstellung p g g l V displaystyle pi mathfrak g rightarrow mathrm gl V nbsp die folgende Kohomologie Konstruktion durchgefuhrt 1 Fur k gt 0 displaystyle k gt 0 nbsp sei C p k displaystyle C pi k nbsp der Raum der k displaystyle k nbsp linearen alternierenden Abbildungen g k V displaystyle mathfrak g k rightarrow V nbsp fur k 0 sei C p 0 V displaystyle C pi 0 V nbsp Ferner sei d k C p k C p k 1 displaystyle delta k C pi k rightarrow C pi k 1 nbsp durch d k f g 1 g k 1 1 i lt j k 1 1 i j 1 f g i g j g 1 g i g j g k 1 1 i k 1 1 i p g i f g 1 g i g k 1 displaystyle delta k f g 1 wedge ldots wedge g k 1 sum 1 leq i lt j leq k 1 left 1 right i j 1 f left g i g j right wedge g 1 wedge ldots hat g i ldots hat g j ldots wedge g k 1 sum 1 leq i leq k 1 left 1 right i pi g i f g 1 wedge ldots hat g i ldots wedge g k 1 nbsp In der angegebenen Arbeit von C Chevalley und S Eilenberg wird noch durch k 1 displaystyle k 1 nbsp dividiert was im unten angegebenen Lehrbuch von Hilgert und Neeb nicht der Fall ist Man zeigt d k d k 1 0 displaystyle delta k circ delta k 1 0 nbsp das 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Untersuchungen der Lie Algebra herangezogen werden kann Man kann weitere Folgerungen ziehen wenn Z p 1 B p 1 displaystyle Z pi 1 B pi 1 nbsp ist das heisst wenn die 1 te Chevalley Kohomologie verschwindet Daher sind die folgenden beiden sogenannten Lemmata von Whitehead von besonderem Interesse 3 1 Lemma von Whitehead Ist g displaystyle mathfrak g nbsp eine halbeinfache endlichdimensionale reelle oder komplexe Lie Algebra und ist p g g l V displaystyle pi mathfrak g rightarrow mathrm gl V nbsp eine endlich dimensionale Darstellung so ist H p 1 0 displaystyle H pi 1 0 nbsp 2 Lemma von Whitehead Ist g displaystyle mathfrak g nbsp eine halbeinfache endlichdimensionale reelle oder komplexe Lie Algebra und ist p g g l V displaystyle pi mathfrak g rightarrow mathrm gl V nbsp eine endlich dimensionale Darstellung so ist H p 2 0 displaystyle H pi 2 0 nbsp Folgender Satz ist eine Konsequenz aus dem 1 Lemma von Whitehead und der obigen Konstruktion von Darstellungen auf Z p 1 displaystyle Z pi 1 nbsp Ist g displaystyle mathfrak g nbsp eine halbeinfache endlichdimensionale reelle oder komplexe Lie Algebra und ist 0 U V f W 0 displaystyle 0 rightarrow U rightarrow V xrightarrow varphi W rightarrow 0 nbsp eine kurze exakte Sequenz von endlichdimensionalen g displaystyle mathfrak g nbsp Moduln so zerfallt diese das heisst es gibt einen g displaystyle mathfrak g nbsp Modul Morphismus ps W V displaystyle psi W rightarrow V nbsp mit f ps i d W displaystyle varphi circ psi mathrm id W nbsp Dieser Satz kann als wesentlicher Schritt im Beweis des Satzes von Weyl angesehen werden 4 Das 2 Lemma von Whitehead ist ein wichtiger Baustein zum Satz von Levi 5 Literatur BearbeitenC Chevalley S Eilenberg Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras Trans Amer Math Soc 63 1948 85 124 J L Koszul Homologie et cohomologie des algebres de Lie Bull Soc Math France 78 1950 pp 65 127 Gerhard Hochschild Jean Pierre Serre Cohomology of Lie algebras Ann of Math 2 57 1953 591 603 JSTOR 1969740 J C Jantzen Representations of Algebraic groups Pure and Applied Mathematics vol 131 Boston etc 1987 Academic J C Jantzen Restricted Lie algebra cohomology Lecture Notes in Math 1271 1986 91 108 Joachim Hilgert Karl Hermann Neeb Lie Gruppen und Lie Algebren Vieweg 1999 ISBN 3 528 06432 3 Kapitel II 5 Lie Algebra Kohomologie A W Knapp Lie groups Lie algebras and cohomology Mathematical Notes Princeton University Press 1988 509 pp Einzelnachweise Bearbeiten C Chevalley S Eilenberg Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras Trans Amer Math Soc 63 1948 Kapitel IV Cohomology Groups associated with a representation Joachim Hilgert Karl Hermann Neeb Lie Gruppen und Lie Algebren Vieweg 1999 ISBN 3 528 06432 3 Definition II 5 3 Joachim Hilgert Karl Hermann Neeb Lie Gruppen und Lie Algebren Vieweg 1999 ISBN 3 528 06432 3 II 5 12 II 5 14 Joachim Hilgert Karl Hermann Neeb Lie Gruppen und Lie Algebren Vieweg 1999 ISBN 3 528 06432 3 II 4 16 II 5 5 II 5 12 Joachim Hilgert Karl Hermann Neeb Lie Gruppen und Lie Algebren Vieweg 1999 ISBN 3 528 06432 3 II 4 8 II 5 7 II 5 14 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lie Algebren Kohomologie amp oldid 184803450