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Satz von Mourier Der ist ein Lehrsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung einem der Teilgebiete der Mathematik Er geht auf d

Satz von Mourier

Der Satz von Mourier ist ein Lehrsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er geht auf die französische Mathematikerin Édith Mourier zurück und formuliert eine hinreichende Bedingung zum Bestehen des starken Gesetzes der großen Zahlen für gewisse Folgen von Zufallselementen in einem separablen Banachraum über dem Körper der reellen Zahlen. Der Satz lässt sich als Verallgemeinerung des zweiten kolmogorowschen Gesetzes der großen Zahlen auffassen.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:

von Zufallselementen in .

Erläuterungen Bearbeiten

  • Eine Borel-messbare Zufallsvariable mit Werten in einem topologischen Raum wird allgemein als Zufallselement bezeichnet.
  • Bei einem Zufallselement mit Werten in einem separablen normierten -Vektorraum wird mit stets dessen Erwartungswert bezeichnet, sofern dieser definiert ist. Er ist zumindest immer dann definiert, wenn für das Pettis-Integral existiert. Ist dies der Fall, so ist der Erwartungswert gleich dem Pettis-Integral. Der Erwartungswert zeichnet sich dadurch aus, dass für stetige Linearformen stets gilt.
  • Für ein Zufallselement mit Werten in einem separablen -Banachraum ist stets eine nichtnegative reelle Zufallsvariable, für die der Erwartungswert stets existiert.   Ist dabei sogar , so existiert auch der Erwartungswert .

Verwandtes Resultat im Zusammenhang mit Kolmogorows erstem Gesetz der großen Zahlen Bearbeiten

Ausgehend von dem Satz von Mourier ergibt sich die Frage, ob und inwieweit auch Kolmogorows erstes Gesetz der großen Zahlen auf Folgen von Zufallselementen in normierten Vektorräumen auszudehnen ist. Wie sich zeigen lässt, ist diese Ausdehnung zumindest immer im Falle der separablen Hilberträume möglich. Es gilt nämlich der folgende Satz:

von Pettis-integrierbaren Zufallselementen in .

Quellen und Hintergrundliteratur Bearbeiten

  • P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie (= Hochschultext. Band 91). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1977, ISBN 3-540-08418-5.MR0501219
  • R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). John Wiley & Sons, New York (u. a.) 1979, ISBN 0-471-03262-X. MR0534143
  • Michel Ledoux, Michel Talagrand: Probability in Banach Spaces. Isoperimetry and Processes (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge). Band 23). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1991, ISBN 3-540-52013-9. MR1102015
  • Édith Mourier: Eléments aléatoires dans un espace de Banach. In: Annales de l'Institut Henri Poincaré. Band 13, 1953, S. 161–244. MR0064339
  • Pál Révész: Die Gesetze der grossen Zahlen (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der Exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 35). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1968. MR0245080
  • N. N. Vakhania, V. I. Tarieladze, S. A. Chobanyan: Probability Distributions on Banach Spaces (= Mathematics and its Applications (Soviet Series). Band 14). D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Boston, Lancaster, Tokio 1987, ISBN 90-277-2496-2.

Einzelnachweise und Fußnoten Bearbeiten

  1. P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 337–338
  2. R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 452–454
  3. Pál Révész: Die Gesetze der grossen Zahlen. 1968, S. 146–147
  4. P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 335
  5. R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 447
  6. P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 336
  7. R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 455
  8. Hier ist die auf dem Hilbertraum durch das Skalarprodukt erzeugte Norm.
  9. Die zuletzt genannte Bedingung entspricht der aus dem Fall der reellen Zufallsvariablen bekannten Varianzbedingung.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Mourier ist ein Lehrsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung einem der Teilgebiete der Mathematik Er geht auf die franzosische Mathematikerin Edith Mourier zuruck und formuliert eine hinreichende Bedingung zum Bestehen des starken Gesetzes der grossen Zahlen fur gewisse Folgen von Zufallselementen in einem separablen Banachraum uber dem Korper der reellen Zahlen Der Satz lasst sich als Verallgemeinerung des zweiten kolmogorowschen Gesetzes der grossen Zahlen auffassen Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Erlauterungen 3 Verwandtes Resultat im Zusammenhang mit Kolmogorows erstem Gesetz der grossen Zahlen 4 Quellen und Hintergrundliteratur 5 Einzelnachweise und FussnotenFormulierung des Satzes BearbeitenDer Satz lasst sich angeben wie folgt 1 2 3 Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A operatorname P nbsp ein separabler R displaystyle mathbb R nbsp Banachraum X displaystyle X cdot nbsp und eine Folge3 n W A P X n N displaystyle xi n 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Erwartungswert bezeichnet sofern dieser definiert ist Er ist zumindest immer dann definiert wenn fur 3 displaystyle xi nbsp das Pettis Integral existiert Ist dies der Fall so ist der Erwartungswert gleich dem Pettis Integral Der Erwartungswert E 3 displaystyle operatorname E bigl xi bigr nbsp zeichnet sich dadurch aus dass fur stetige Linearformen f X R displaystyle f colon X cdot to mathbb R nbsp stets E f 3 f E 3 displaystyle operatorname E bigl f circ xi bigr f operatorname E bigl xi bigr nbsp gilt 4 Fur ein Zufallselement 3 displaystyle xi nbsp mit Werten in einem separablen R displaystyle mathbb R nbsp Banachraum X displaystyle X cdot nbsp ist 3 W A P R w 3 w w W displaystyle xi colon Omega mathcal A operatorname P to mathbb R omega mapsto xi omega omega in Omega nbsp stets eine nichtnegative reelle Zufallsvariable fur die der Erwartungswert E 3 0 displaystyle operatorname E bigl xi bigr in 0 infty nbsp stets existiert 5 Ist dabei sogar E 3 lt displaystyle operatorname E bigl xi bigr lt infty nbsp so existiert auch der Erwartungswert E 3 displaystyle operatorname E bigl xi bigr nbsp 6 Verwandtes Resultat im Zusammenhang mit Kolmogorows erstem Gesetz der grossen Zahlen BearbeitenAusgehend von dem Satz von Mourier ergibt sich die Frage ob und inwieweit auch Kolmogorows erstes Gesetz der grossen Zahlen auf Folgen von Zufallselementen in normierten Vektorraumen auszudehnen ist Wie sich zeigen lasst ist diese Ausdehnung zumindest immer im Falle der separablen Hilbertraume moglich Es gilt namlich der folgende Satz 7 Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A operatorname P nbsp ein separabler R displaystyle mathbb R nbsp Hilbertraum H H displaystyle H H langle cdot cdot rangle cdot nbsp 8 und eine Folge3 n W A P H n N displaystyle xi n colon Omega mathcal A operatorname P to H n in mathbb N nbsp dd von Pettis integrierbaren Zufallselementen in H displaystyle H nbsp Die Folge sei stochastisch unabhangig und es gelte n 1 E 3 n E 3 n 2 n 2 lt displaystyle sum n 1 infty frac operatorname E bigl xi n operatorname E xi n 2 bigr n 2 lt infty nbsp 9 dd Dann genugt die Folge der BedingungP lim n j 1 n 3 j E 3 j n 0 1 displaystyle operatorname P left lim n to infty frac sum j 1 n bigl xi j operatorname E xi j bigr n 0 right 1 nbsp dd und damit dem starken Gesetz der grossen Zahlen Quellen und Hintergrundliteratur BearbeitenP Ganssler W Stute Wahrscheinlichkeitstheorie Hochschultext Band 91 Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1977 ISBN 3 540 08418 5 MR0501219 R G Laha V K Rohatgi Probability Theory Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics John Wiley amp Sons New York u a 1979 ISBN 0 471 03262 X MR0534143 Michel Ledoux Michel Talagrand Probability in Banach Spaces Isoperimetry and Processes Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3 Folge Band 23 Springer Verlag Berlin u a 1991 ISBN 3 540 52013 9 MR1102015 Edith Mourier Elements aleatoires dans un espace de Banach In Annales de l Institut Henri 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Skalarprodukt erzeugte Norm Die zuletzt genannte Bedingung entspricht der aus dem Fall der reellen Zufallsvariablen bekannten Varianzbedingung Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Mourier amp oldid 189230474