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Satz von Milnor Moore Der benannt nach John Milnor und John Moore ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der The

Satz von Milnor-Moore

Der Satz von Milnor-Moore, benannt nach John Milnor und John Moore, ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Theorie der Hopf-Algebren. Er stellt unter gewissen Voraussetzungen einen Zusammenhang zwischen einer solchen Hopf-Algebra und der in ihr enthaltenen Lie-Algebra der primitiven Elemente her.

Formulierung Bearbeiten

Es sei eine graduierte ko-kommutative Hopf-Algebra über einem Körper der Charakteristik und es gelte und für alle .

Es sei die graduierte Lie-Algebra der primitiven Elemente in und die universelle einhüllende Algebra von .

Dann ist der natürliche Hopf-Algebren-Homomorphismus

ein Isomorphismus.

H-Räume Bearbeiten

Häufig wird auch die folgende Anwendung als Satz von Milnor-Moore bezeichnet.

Es sei ein wegzusammenhängender homotopie-assoziativer H-Raum. Dann ist der Hurewicz-Homomorphismus

injektiv und sein Bild wird von den primitiven Elementen in erzeugt.

K-Theorie Bearbeiten

Ein Spezialfall ergibt sich durch Anwendung auf die algebraische K-Theorie eines Ringes : der Hurewicz-Homomorphismus

in die Gruppenhomologie der allgemeinen linearen Gruppe ist injektiv und sein Bild wird von den primitiven Elementen in erzeugt.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Milnor-Moore, Theorem 5.18
  2. Milnor-Moore, Appendix
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Der Satz von Milnor Moore benannt nach John Milnor und John Moore ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Theorie der Hopf Algebren Er stellt unter gewissen Voraussetzungen einen Zusammenhang zwischen einer solchen Hopf Algebra und der in ihr enthaltenen Lie Algebra der primitiven Elemente her Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 H Raume 3 K Theorie 4 Literatur 5 EinzelnachweiseFormulierung BearbeitenEs sei A n N A n displaystyle A bigoplus n in N A n nbsp eine graduierte ko kommutative Hopf Algebra uber einem Korper k displaystyle k nbsp der Charakteristik char k 0 displaystyle operatorname char k 0 nbsp und es gelte A 0 k displaystyle A 0 cong k nbsp und dim A n lt displaystyle dim A n lt infty nbsp fur alle n displaystyle n nbsp Es sei P A displaystyle P A nbsp die graduierte Lie Algebra der primitiven Elemente in A displaystyle A nbsp und U P A displaystyle U P A nbsp die universelle einhullende Algebra von P A displaystyle P A nbsp Dann ist der naturliche Hopf Algebren Homomorphismus U P A A displaystyle U P A to A nbsp ein Isomorphismus 1 H Raume BearbeitenHaufig wird auch die folgende Anwendung als Satz von Milnor Moore bezeichnet 2 Es sei X displaystyle X nbsp ein wegzusammenhangender homotopie assoziativer H Raum Dann ist der Hurewicz Homomorphismus p X k H X k displaystyle pi X otimes k to H X k nbsp injektiv und sein Bild wird von den primitiven Elementen in H X k displaystyle H X k nbsp erzeugt K Theorie BearbeitenEin Spezialfall ergibt sich durch Anwendung auf die algebraische K Theorie eines Ringes R displaystyle R nbsp der Hurewicz Homomorphismus K R k H B G L R k displaystyle K R otimes k to H BGL R k nbsp in die Gruppenhomologie der allgemeinen linearen Gruppe ist injektiv und sein Bild wird von den primitiven Elementen in H B G L R k displaystyle H BGL R k nbsp erzeugt Literatur BearbeitenJohn Milnor John Moore On the structure of Hopf algebras Ann of Math 2 81 1965 S 211 264 online Einzelnachweise Bearbeiten Milnor Moore Theorem 5 18 Milnor Moore Appendix Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Milnor Moore amp oldid 208290387