Doob Martingal Ein ist ein spezieller stochastischer Prozess in der Stochastik Dem Namen entsprechend gehören e zur Klas

Doob-Martingal

Ein Doob-Martingal ist ein spezieller stochastischer Prozess in der Stochastik. Dem Namen entsprechend gehören Doob-Martingale zur Klasse der Martingale. Doob-Martingale zeichnen sich durch ihre einfache Darstellung aus. Außerdem stehen sie in enger Verbindung zu den Martingalkonvergenzsätzen. Doob-Martingale selbst konvergieren bereits aufgrund ihrer Eigenschaften, die aus der Definition folgen. Die Martingalkonvergenzsätze beantworten dann die Frage, welche Martingale als Doob-Martingale dargestellt werden können.

Die Doob-Martingale sind nach Joseph L. Doob benannt.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsraum , eine Indexmenge sowie eine Filtrierung in und eine integrierbare Zufallsvariable , das heißt .

Dann heißt der stochastische Prozess, der durch

definiert wird, ein Doob-Martingal.

Dabei bezeichnet den bedingten Erwartungswert der Zufallsvariable , gegeben die σ-Algebra .

Nachweis der Martingal-Eigenschaft Bearbeiten

Die Integrierbarkeit des Doob-Martingals folgt aus

nach der Definition, der Dreiecksungleichung für den bedingten Erwartungswert und der Regel über das Bilden des Erwartungswertes über den bedingten Erwartungswert.

Die Adaptiertheit des Doob-Martingals folgt daraus, das per Definition immer -messbar ist.

Der Nachweis der definierenden Eigenschaft für Martingale folgt aus der Turmeigenschaft des bedingten Erwartungswertes:

Eigenschaften Bearbeiten

Gleichgradige Integrierbarkeit Bearbeiten

Jedes Doob-Martingal ist immer gleichgradig integrierbar. Dies lässt sich zeigen, indem man von der Zufallsvariable , welche gleichgradig integrierbar ist, über ein Kriterium für die gleichgradige Integrierbarkeit, welches konvexe Funktionen verwendet, mittels der Jensenschen Ungleichung für den bedingten Erwartungswert auf die gleichgradige Integrierbarkeit schließt.

Als abgeschlossenes Martingal Bearbeiten

Jedes abgeschlossene Martingal lässt sich als Doob-Martingal darstellen: Ist das letzte Element des abgeschlossenen Martingals, so ist

Umgekehrt lässt sich jedes Doob-Martingal abschließen. Dazu setzt man sowie als letztes Element

die σ-Algebra des zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraumes.

Konvergenz Bearbeiten

Setzt man

so lässt sich aus dem Martingalkonvergenzsatz daraus folgende Aussage ableiten:

Satz von Lévy Bearbeiten

Teilweise wird ein Martingalkonvergenzsatz für Doob-Martingale beziehungsweise für den bedingten Erwartungswert auch als eigenständige Aussage formuliert und dann als Satz von Lévy (nach Paul Lévy) bezeichnet. Er lautet:

Je nach Quelle wird auch gefordert, dass die Zufallsvariable quadratintegrierbar ist. Die Konvergenz ist dann entsprechend im quadratischen Mittel.

Literatur Bearbeiten

Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.

Einzelnachweise Bearbeiten

Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 273.
Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 431, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.
A.N. Shiryaev: Martingale. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

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Veröffentlichungsdatum: März 16, 2024, 14:49 pm

Ein Doob Martingal ist ein spezieller stochastischer Prozess in der Stochastik Dem Namen entsprechend gehoren Doob Martingale zur Klasse der Martingale Doob Martingale zeichnen sich durch ihre einfache Darstellung aus Ausserdem stehen sie in enger Verbindung zu den Martingalkonvergenzsatzen Doob Martingale selbst konvergieren bereits aufgrund ihrer Eigenschaften die aus der Definition folgen Die Martingalkonvergenzsatze beantworten dann die Frage welche Martingale als Doob Martingale dargestellt werden konnen Die Doob Martingale sind nach Joseph L Doob benannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Nachweis der Martingal Eigenschaft 3 Eigenschaften 3 1 Gleichgradige Integrierbarkeit 3 2 Als abgeschlossenes Martingal 3 3 Konvergenz 3 4 Satz von Levy 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A P nbsp eine Indexmenge T N 0 displaystyle T subset mathbb N 0 nbsp sowie eine Filtrierung F F t t T displaystyle mathbb F mathcal F t t in T nbsp in A displaystyle mathcal A nbsp und eine integrierbare Zufallsvariable X displaystyle X nbsp das heisst E X lt displaystyle operatorname E X lt infty nbsp Dann heisst der stochastische Prozess der durch X n E X F n displaystyle X n operatorname E X mathcal F n nbsp definiert wird ein Doob Martingal Dabei bezeichnet E Y A displaystyle operatorname E Y mathcal A nbsp den bedingten Erwartungswert der Zufallsvariable Y displaystyle Y nbsp gegeben die s Algebra A displaystyle mathcal A nbsp Nachweis der Martingal Eigenschaft BearbeitenDie Integrierbarkeit des Doob Martingals folgt aus E X n E E X F n E E X F n E X displaystyle operatorname E X n operatorname E left operatorname E X mathcal F n right leq operatorname E operatorname E left X right mathcal F n operatorname E X nbsp nach der Definition der Dreiecksungleichung fur den bedingten Erwartungswert und der Regel uber das Bilden des Erwartungswertes uber den bedingten Erwartungswert Die Adaptiertheit des Doob Martingals folgt daraus das per Definition X n E X F n displaystyle X n operatorname E X mathcal F n nbsp immer F n displaystyle mathcal F n nbsp messbar ist Der Nachweis der definierenden Eigenschaft fur Martingale folgt aus der Turmeigenschaft des bedingten Erwartungswertes X n E X F n E E X F n F n 1 E E X F n 1 F n E X n 1 F n displaystyle X n operatorname E X mathcal F n operatorname E operatorname E X mathcal F n mathcal F n 1 operatorname E operatorname E X mathcal F n 1 mathcal F n operatorname E X n 1 mathcal F n nbsp Eigenschaften BearbeitenGleichgradige Integrierbarkeit Bearbeiten Jedes Doob Martingal ist immer gleichgradig integrierbar Dies lasst sich zeigen indem man von der Zufallsvariable X displaystyle X nbsp welche gleichgradig integrierbar ist uber ein Kriterium fur die gleichgradige Integrierbarkeit welches konvexe Funktionen verwendet mittels der Jensenschen Ungleichung fur den bedingten Erwartungswert auf die gleichgradige Integrierbarkeit schliesst Als abgeschlossenes Martingal Bearbeiten Jedes abgeschlossene Martingal X X n n T displaystyle X X n n in T nbsp lasst sich als Doob Martingal darstellen Ist X u displaystyle X u nbsp das letzte Element des abgeschlossenen Martingals so ist X n E X u F n displaystyle X n operatorname E X u mathcal F n nbsp fur alle n u displaystyle n leq u nbsp Umgekehrt lasst sich jedes Doob Martingal abschliessen Dazu setzt man T T u displaystyle T T cup u nbsp sowie als letztes Element X u X displaystyle X u X nbsp und F u A displaystyle mathcal F u mathcal A nbsp die s Algebra des zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraumes Konvergenz Bearbeiten Setzt man F s n N F n displaystyle mathcal F infty sigma left bigcup n in mathbb N mathcal F n right nbsp so lasst sich aus dem Martingalkonvergenzsatz daraus folgende Aussage ableiten Ist X n n N displaystyle X n n in mathbb N nbsp ein Martingal bezuglich F F n n N displaystyle mathbb F mathcal F n n in mathbb N nbsp so lasst sich X n n N displaystyle X n n in mathbb N nbsp genau dann als ein Doob Martingal bezuglich einer Zufallsvariable X displaystyle X nbsp darstellen wenn eine der beiden folgenden aquivalenten Bedingung erfullt sind 1 X n n N displaystyle X n n in mathbb N nbsp ist gleichgradig integrierbar X n n N displaystyle X n n in mathbb N nbsp Konvergiert im ersten Mittel und fast sicherIst dann X displaystyle X infty nbsp der Grenzwert von X n n N displaystyle X n n in mathbb N nbsp so giltX E X F displaystyle X infty operatorname E X mathcal F infty nbsp dd Satz von Levy Bearbeiten Teilweise wird ein Martingalkonvergenzsatz fur Doob Martingale beziehungsweise fur den bedingten Erwartungswert auch als eigenstandige Aussage formuliert und dann als Satz von Levy nach Paul Levy bezeichnet Er lautet Ist X displaystyle X nbsp eine integrierbare Zufallsvariable so konvergiert E X F n displaystyle operatorname E X mathcal F n nbsp fast sicher und im ersten Mittel gegen E X F displaystyle operatorname E X mathcal F infty nbsp Je nach Quelle wird auch gefordert dass die Zufallsvariable quadratintegrierbar ist Die Konvergenz ist dann entsprechend im quadratischen Mittel 2 3 Literatur BearbeitenNorbert Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie Eine Einfuhrung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 45386 1 doi 10 1007 978 3 642 45387 8 Einzelnachweise Bearbeiten Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie 2014 S 273 Klaus D Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2 durchgesehene Auflage Springer Verlag Heidelberg Dordrecht London New York 2011 ISBN 978 3 642 21025 9 S 431 doi 10 1007 978 3 642 21026 6 A N Shiryaev Martingale In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Doob Martingal amp oldid 236995442 Satz von Levy