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Wachstum Gruppentheorie Im mathematischen Gebiet der Gruppentheorie zählt die Wachstumsrate einer Gruppe grob die Anzahl

Wachstum (Gruppentheorie)

Im mathematischen Gebiet der Gruppentheorie zählt die Wachstumsrate einer Gruppe grob die Anzahl der Elemente, die sich als Produkte der Länge aus gegebenen Erzeugern darstellen lassen.

Wachstum von Graphen Bearbeiten

Es sei ein Graph und ein fest gewählter Knoten.

Für sei die Anzahl der Knoten , für die es einen Weg aus maximal Kanten von nach gibt.

Die Wachstumsrate des Graphen ist per Definition die Wachstumsrate der Folge .

Wachstum von Gruppen Bearbeiten

Es sei eine endlich erzeugte Gruppe und ein endliches Erzeugendensystem. Als Wachstumsrate der Gruppe bezeichnet man die Wachstumsrate des Cayleygraphen für .

Genauer bedeutet dies das Folgende: Ist , so lässt sich jedes Gruppenelement als Wort schreiben, wobei , die Indizes Elemente von und die Exponenten beliebige ganze Zahlen sind. Für jedes sei die Anzahl der Elemente von , die eine solche Schreibung mit besitzen. Die Wachstumsrate der Gruppe ist dann gerade die Wachstumsrate der Folge .

Unterschiedliche Erzeugendensysteme geben zwar unterschiedliche Cayleygraphen und damit auch unterschiedliche Folgen , jedoch sind die Cayleygraphen unterschiedlicher endlicher Erzeugendensysteme zueinander bilipschitz-äquivalent, womit die Wachstumsrate der Folge nur von der Gruppe und nicht vom gewählten Erzeugendensystem abhängt.

Beispiele Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • J. Milnor: Growth of finitely generated solvable groups. J. Differential Geometry 2 (1968), 447–449.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. M. Gromow: Groups of polynomial growth and expanding maps. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 53 (1981), 53–73.
  2. B. Kleiner: A new proof of Gromov's theorem on groups of polynomial growth. J. Amer. Math. Soc. 23 (2010), no. 3, 815–829.
  3. R. I. Grigortschuk: Degrees of growth of finitely generated groups and the theory of invariant means. (Russisch) Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 48 (1984), no. 5, 939–985.
  4. J. Milnor: A note on curvature and fundamental group. J. Differential Geometry 2 (1968), 1–7.
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Veröffentlichungsdatum:
Im mathematischen Gebiet der Gruppentheorie zahlt die Wachstumsrate einer Gruppe grob die Anzahl der Elemente die sich als Produkte der Lange n displaystyle n aus gegebenen Erzeugern darstellen lassen Inhaltsverzeichnis 1 Wachstum von Graphen 2 Wachstum von Gruppen 3 Beispiele 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseWachstum von Graphen BearbeitenEs sei V E displaystyle V E nbsp ein Graph und v 0 V displaystyle v 0 in V nbsp ein fest gewahlter Knoten Fur n N displaystyle n in mathbb N nbsp sei a n displaystyle a n nbsp die Anzahl der Knoten v V displaystyle v in V nbsp fur die es einen Weg aus maximal n displaystyle n nbsp Kanten von v 0 displaystyle v 0 nbsp nach v displaystyle v nbsp gibt Die Wachstumsrate des Graphen ist per Definition die Wachstumsrate der Folge a n n displaystyle a n n nbsp Wachstum von Gruppen BearbeitenEs sei G displaystyle G nbsp eine endlich erzeugte Gruppe und S displaystyle S nbsp ein endliches Erzeugendensystem Als Wachstumsrate der Gruppe G displaystyle G nbsp bezeichnet man die Wachstumsrate des Cayleygraphen fur S displaystyle S nbsp Genauer bedeutet dies das Folgende Ist S s 1 s k displaystyle S s 1 dots s k nbsp so lasst sich jedes Gruppenelement g G displaystyle g in G nbsp als Wort g s i 1 e 1 s i m e m displaystyle g s i 1 e 1 cdots s i m e m nbsp schreiben wobei m N displaystyle m in mathbb N nbsp die Indizes i 1 i m displaystyle i 1 dots i m nbsp Elemente von 1 n displaystyle 1 dots n nbsp und die Exponenten e 1 e m Z displaystyle e 1 dots e m in mathbb Z nbsp beliebige ganze Zahlen sind Fur jedes n N displaystyle n in mathbb N nbsp sei a n displaystyle a n nbsp die Anzahl der Elemente von G displaystyle G nbsp die eine solche Schreibung mit e 1 e m n displaystyle e 1 dots e m leq n nbsp besitzen Die Wachstumsrate der Gruppe G displaystyle G nbsp ist dann gerade die Wachstumsrate der Folge a n n displaystyle a n n nbsp Unterschiedliche Erzeugendensysteme geben zwar unterschiedliche Cayleygraphen und damit auch unterschiedliche Folgen a n n displaystyle a n n nbsp jedoch sind die Cayleygraphen unterschiedlicher endlicher Erzeugendensysteme zueinander bilipschitz aquivalent womit die Wachstumsrate der Folge nur von der Gruppe G displaystyle G nbsp und nicht vom gewahlten Erzeugendensystem abhangt Beispiele BearbeitenDas Wachstum von Z displaystyle mathbb Z nbsp ist linear Das Wachstum von Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp ist quadratisch Das Wachstum einer nilpotenten Gruppe ist polynomiell vom Grad r k L i G displaystyle sum rk L i G nbsp wobei L i G displaystyle L i G nbsp die abelschen Gruppen in der absteigenden Zentralreihe von G displaystyle G nbsp und r k L i G displaystyle rk L i G nbsp ihr Rang sind Satz von Gromow Eine Gruppe hat genau dann polynomielles Wachstum wenn sie virtuell nilpotent ist 1 2 Satz von Milnor Wolf Eine auflosbare Gruppe hat entweder polynomielles oder exponentielles Wachstum Die Grigortschuk Gruppe hat subexponentielles aber nicht polynomielles Wachstum 3 Das Wachstum einer nichtabelschen freien Gruppe ist exponentiell Fundamentalgruppen kompakter riemannscher Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrummung haben exponentielles Wachstum 4 Literatur BearbeitenJ Milnor Growth of finitely generated solvable groups J Differential Geometry 2 1968 447 449 Weblinks BearbeitenM Duchin Counting in Groups Fine Asymptotic Geometry Notices of the American Mathematical Society September 2016Einzelnachweise Bearbeiten M Gromow Groups of polynomial growth and expanding maps Inst Hautes Etudes Sci Publ Math No 53 1981 53 73 B Kleiner A new proof of Gromov s theorem on groups of polynomial growth J Amer Math Soc 23 2010 no 3 815 829 R I Grigortschuk Degrees of growth of finitely generated groups and the theory of invariant means Russisch Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat 48 1984 no 5 939 985 J Milnor A note on curvature and fundamental group J Differential Geometry 2 1968 1 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Wachstum Gruppentheorie amp oldid 218489298