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Bilipschitz Äquivalenz Der Begriff der dient in der Mathematik dazu die grobe Geometrie metrischer Räume zu untersuchen

Bilipschitz-Äquivalenz

Der Begriff der Bilipschitz-Äquivalenz dient in der Mathematik dazu, die „grobe“ Geometrie metrischer Räume zu untersuchen.

Definition Bearbeiten

Eine Bijektion

zwischen metrischen Räumen und ist eine Bilipschitz-Äquivalenz, wenn es eine Konstante gibt, so dass

für alle gilt.

Beispiele Bearbeiten

  • Eine lineare Abbildung ist genau dann eine Bilipschitz-Äquivalenz, wenn gilt.
  • ist bilipschitz-äquivalent zur Cantormenge, die Bilipschitz-Äquivalenz ist gegeben durch .
  • Die zu verschiedenen endlichen Erzeugendensystemen S1, S2 einer Gruppe zugeordneten Cayley-Graphen sind bilipschitz-äquivalent.
  • Es gibt Quasi-Isometrien, die keine Bilipschitz-Äquivalenzen sind.
  • Wenn zwei gleichmäßig diskrete, nicht-mittelbare metrische Räume quasi-isometrisch sind, dann sind sie auch bilipschitz-äquivalent.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. D. Burago, B. Kleiner: Separated nets in Euclidean space and Jacobians of bi-Lipschitz maps. Geom. Funct. Anal. 8 (1998), no. 2, 273–282. online
  2. T. Dymarz: Bilipschitz equivalence is not equivalent to quasi-isometric equivalence for finitely generated groups. Duke Math. J. 154 (2010), no. 3, 509–526. online
  3. Ein metrischer Raum heißt gleichmäßig diskret, wenn es eine Konstante gibt, so dass für alle die Ungleichung gilt. Er heißt nicht-mittelbar, wenn es keine Følner-Folgen gibt.
  4. K. Whyte: Amenability, bi-Lipschitz equivalence, and the von Neumann conjecture. Duke Math. J. 99 (1999), no. 1, 93–112. online
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Der Begriff der Bilipschitz Aquivalenz dient in der Mathematik dazu die grobe Geometrie metrischer Raume zu untersuchen Definition BearbeitenEine Bijektion f M 1 M 2 displaystyle f colon M 1 to M 2 nbsp zwischen metrischen Raumen M 1 d 1 displaystyle M 1 d 1 nbsp und M 2 d 2 displaystyle M 2 d 2 nbsp ist eine Bilipschitz Aquivalenz wenn es eine Konstante L 1 displaystyle L geq 1 nbsp gibt so dass 1 L d 1 x y d 2 f x f y L d 1 x y displaystyle frac 1 L d 1 x y leq d 2 f x f y leq Ld 1 x y nbsp fur alle x y M 1 displaystyle x y in M 1 nbsp gilt Beispiele BearbeitenEine lineare Abbildung A R n R n displaystyle A colon mathbb R n to mathbb R n nbsp ist genau dann eine Bilipschitz Aquivalenz wenn det A 0 displaystyle det A neq 0 nbsp gilt 0 1 N displaystyle left 0 1 right mathbb N nbsp ist bilipschitz aquivalent zur Cantormenge die Bilipschitz Aquivalenz ist gegeben durch f x n n n 1 x n 3 n displaystyle f x n n sum n 1 infty frac x n 3 n nbsp Die zu verschiedenen endlichen Erzeugendensystemen S1 S2 einer Gruppe G displaystyle G nbsp zugeordneten Cayley Graphen sind bilipschitz aquivalent Es gibt Quasi Isometrien die keine Bilipschitz Aquivalenzen sind 1 2 Wenn zwei gleichmassig diskrete nicht mittelbare metrische Raume 3 quasi isometrisch sind dann sind sie auch bilipschitz aquivalent 4 Einzelnachweise Bearbeiten D Burago B Kleiner Separated nets in Euclidean space and Jacobians of bi Lipschitz maps Geom Funct Anal 8 1998 no 2 273 282 online T Dymarz Bilipschitz equivalence is not equivalent to quasi isometric equivalence for finitely generated groups Duke Math J 154 2010 no 3 509 526 online Ein metrischer Raum heisst gleichmassig diskret wenn es eine Konstante r gt 0 displaystyle r gt 0 nbsp gibt so dass fur alle x y displaystyle x not y nbsp die Ungleichung d x y gt r displaystyle d x y gt r nbsp gilt Er heisst nicht mittelbar wenn es keine Folner Folgen gibt K Whyte Amenability bi Lipschitz equivalence and the von Neumann conjecture Duke Math J 99 1999 no 1 93 112 online Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bilipschitz Aquivalenz amp oldid 227597752