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Virtuelle Eigenschaft In der Mathematik sagt man dass eine Gruppe eine Eigenschaft virtuell hat wenn diese Eigenschaft a

Virtuelle Eigenschaft

In der Mathematik sagt man, dass eine Gruppe eine Eigenschaft virtuell hat, wenn diese Eigenschaft auf eine Untergruppe von endlichem Index zutrifft. Man spricht beispielsweise von virtuell abelschen, virtuell nilpotenten oder virtuell zyklischen Gruppen.

Ein prominentes Beispiel einer virtuellen Eigenschaft ist die 2012 von Ian Agol bewiesene Virtuell-Haken-Vermutung, wofür er 2016 den mit 3 Millionen Dollar dotierten Breakthrough Prize in Mathematics erhielt.

Definition Bearbeiten

Es sei P eine Eigenschaft von Gruppen. Dann sagt man, dass eine Gruppe virtuell P ist, wenn sie eine Untergruppe von endlichem Index besitzt, die die Eigenschaft P hat.

Über die Korrespondenz zwischen Überlagerungen und Untergruppen der Fundamentalgruppe lässt sich diese Sprechweise auch auf Mannigfaltigkeiten übertragen: Man sagt, eine Mannigfaltigkeit ist virtuell P, wenn es eine endliche Überlagerung mit Eigenschaft P gibt.

Beispiele Bearbeiten

  • Eine Gruppe ist genau dann virtuell zyklisch, wenn sie einen zyklischen Normalteiler von endlichem Index hat.
  • Jede virtuell zyklische Gruppe hat endlichen Normalteiler mit isomorph zu entweder oder .
  • Semidirekte Produkte aus einer endlichen und einer abelschen Gruppe (oder umgekehrt) sind virtuell abelsch. Beispielsweise verallgemeinerte dihedrale Gruppen sind virtuell abelsch.
  • Semidirekte Produkte aus einer endlichen und einer nilpotenten Gruppe (oder umgekehrt) sind virtuell nilpotent.
  • Satz von Gromow: Eine Gruppe ist genau dann virtuell nilpotent, wenn sie polynomielles Wachstum hat.
  • Freie Produkte endlicher Gruppen sind virtuell frei. Beispielsweise die Modulgruppe ist virtuell frei.
  • Satz von Agol: Jede kompakte, orientierbare, irreduzible 3-Mannigfaltigkeit ist virtuell Haken, virtuell gefasert und hat virtuell positive erste Betti-Zahl.

Literatur Bearbeiten

  • John Stallings: Groups of dimension 1 are locally free. Bull. Amer. Math. Soc. 74 1968 361–364.
  • Michael Gromow: Groups of polynomial growth and expanding maps. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 53 (1981), 53–73.
  • Thomas Farrell, Lowell Jones: The lower algebraic K-theory of virtually infinite cyclic groups. K-Theory 9 (1995), no. 1, 13–30.
  • Daniel Juan-Pineda, Ian Leary: On classifying spaces for the family of virtually cyclic subgroups. Recent developments in algebraic topology, 135–145, Contemp. Math., 407, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006.
  • Wolfgang Lück: Survey on classifying spaces for families of subgroups. Infinite groups: geometric, combinatorial and dynamical aspects, 269–322, Progr. Math., 248, Birkhäuser, Basel, 2005.
  • Ian Agol: The virtual Haken conjecture. With an appendix by Agol, Daniel Groves, and Jason Manning. Doc. Math. 18 (2013), 1045–1087.

Weblinks Bearbeiten

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In der Mathematik sagt man dass eine Gruppe eine Eigenschaft virtuell hat wenn diese Eigenschaft auf eine Untergruppe von endlichem Index zutrifft Man spricht beispielsweise von virtuell abelschen virtuell nilpotenten oder virtuell zyklischen Gruppen Ein prominentes Beispiel einer virtuellen Eigenschaft ist die 2012 von Ian Agol bewiesene Virtuell Haken Vermutung wofur er 2016 den mit 3 Millionen Dollar dotierten Breakthrough Prize in Mathematics erhielt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Literatur 4 WeblinksDefinition BearbeitenEs sei P eine Eigenschaft von Gruppen Dann sagt man dass eine Gruppe virtuell P ist wenn sie eine Untergruppe von endlichem Index besitzt die die Eigenschaft P hat Uber die Korrespondenz zwischen Uberlagerungen und Untergruppen der Fundamentalgruppe lasst sich diese Sprechweise auch auf Mannigfaltigkeiten ubertragen Man sagt eine Mannigfaltigkeit ist virtuell P wenn es eine endliche Uberlagerung mit Eigenschaft P gibt Beispiele BearbeitenEine Gruppe ist genau dann virtuell zyklisch wenn sie einen zyklischen Normalteiler von endlichem Index hat Jede virtuell zyklische Gruppe hat endlichen Normalteiler N displaystyle N nbsp mit G N displaystyle G N nbsp isomorph zu entweder 1 Z displaystyle 1 mathbb Z nbsp oder D displaystyle D infty nbsp Semidirekte Produkte aus einer endlichen und einer abelschen Gruppe oder umgekehrt sind virtuell abelsch Beispielsweise verallgemeinerte dihedrale Gruppen sind virtuell abelsch Semidirekte Produkte aus einer endlichen und einer nilpotenten Gruppe oder umgekehrt sind virtuell nilpotent Satz von Gromow Eine Gruppe ist genau dann virtuell nilpotent wenn sie polynomielles Wachstum hat Freie Produkte endlicher Gruppen sind virtuell frei Beispielsweise die Modulgruppe P S L 2 Z displaystyle PSL 2 mathbb Z nbsp ist virtuell frei Satz von Agol Jede kompakte orientierbare irreduzible 3 Mannigfaltigkeit ist virtuell Haken virtuell gefasert und hat virtuell positive erste Betti Zahl Literatur BearbeitenJohn Stallings Groups of dimension 1 are locally free Bull Amer Math Soc 74 1968 361 364 Michael Gromow Groups of polynomial growth and expanding maps Inst Hautes Etudes Sci Publ Math No 53 1981 53 73 Thomas Farrell Lowell Jones The lower algebraic K theory of virtually infinite cyclic groups K Theory 9 1995 no 1 13 30 Daniel Juan Pineda Ian Leary On classifying spaces for the family of virtually cyclic subgroups Recent developments in algebraic topology 135 145 Contemp Math 407 Amer Math Soc Providence RI 2006 Wolfgang Luck Survey on classifying spaces for families of subgroups Infinite groups geometric combinatorial and dynamical aspects 269 322 Progr Math 248 Birkhauser Basel 2005 Ian Agol The virtual Haken conjecture With an appendix by Agol Daniel Groves and Jason Manning Doc Math 18 2013 1045 1087 Weblinks BearbeitenIan Agol Virtual Properties of 3 Manifolds planetmath virtually cyclic group Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Virtuelle Eigenschaft amp oldid 221435978