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Satz von Gliwenko Cantelli Der oder Satz von Gliwenko auch Hauptsatz der mathematischen Statistik oder Fundamentalsatz d

Satz von Gliwenko-Cantelli

Der Satz von Gliwenko-Cantelli oder Satz von Gliwenko, auch Hauptsatz der mathematischen Statistik oder Fundamentalsatz der Statistik genannt, englisch Central statistical theorem, ist ein mathematischer Lehrsatz auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welcher auf zwei Arbeiten der beiden Mathematiker Waleri Iwanowitsch Gliwenko und Francesco Cantelli aus dem Jahre 1933 zurückgeht. Aus dem Satz geht hervor, dass bei unabhängig durchgeführten Zufallsversuchen die aus den Zufallsstichproben gewonnenen empirischen Verteilungsfunktionen einer Zufallsgröße gleichmäßig mit Wahrscheinlichkeit Eins gegen deren tatsächliche Verteilungsfunktion konvergieren und dass dadurch die Möglichkeit der Schätzung dieser Verteilungsfunktion gegeben ist.

Empirische Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Stichprobe vom Umfang n=100

Formulierung des Satzes im Einzelnen Bearbeiten

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum

und darauf eine Folge

von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit gemeinsamer Verteilungsfunktion .

Die zum Stichprobenumfang gehörige empirische Verteilungsfunktion ist

Hierzu hat man auf dem gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum die Zufallsvariable

welche die obere Grenze aller Abstände dieser empirischen Verteilung von der gemeinsamen Verteilung unter Berücksichtigung alle nur möglichen Ausprägungen angibt.

Dann gilt:

Anmerkungen Bearbeiten

  1. Der Satz ergibt sich als Anwendung des kolmogorowschen Gesetzes der großen Zahlen.
  2. Er ist in verschiedene Richtungen verallgemeinert und abgewandelt worden. Einen Eindruck davon gibt die Arbeit des dänischen Mathematikers Flemming Topsøe aus dem Jahre 1970.

Quellen und Hintergrundliteratur Bearbeiten

Originalarbeiten Bearbeiten

  • F. P. Cantelli: Sulla determinazione empirica delle leggi di probabilità. In: Giornale dell'Istituto Italiano degli Attuari. Band 4, 1933, S. 421–424.
  • V. Glivenko: Sulla determinazione empirica delle leggi di probabilità. In: Giornale dell'Istituto Italiano degli Attuari. Band 4, 1933, S. 92–99.
  • Flemming Topsøe: On the Glivenko-Cantelli theorem. In: Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. Band 14, 1970, S. 239–250, doi:10.1007/BF01111419 (MR0292143).

Monographien Bearbeiten

  • Krishna B. Athreya, Soumendra N. Lahiri: Measure Theory and Probability Theory (= Springer Texts in Statistics). Springer Verlag, New York 2006, ISBN 978-0-387-32903-1. MR2247694
  • Kai Lai Chung: A Course in Probability Theory. Academic Press, Inc., San Diego (u. a.) 2001, ISBN 0-12-174151-6. MR1796326
  • Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 40). 10. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1980.
  • P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie (= Hochschultext. Band 91). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1977, ISBN 3-540-08418-5.MR0501219
  • Boris Wladimirowitsch Gnedenko: Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitstheorie. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt am Main 1997, ISBN 3-8171-1531-8.
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3., überarbeitete und ergänzte Auflage. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-6.
  • Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung (= Springer-Lehrbuch). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-322-96418-2.
  • R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). John Wiley & Sons, New York (u. a.) 1979, ISBN 0-471-03262-X. MR0534143
  • M. Loève: Probability Theory I (= Graduate Texts in Mathematics. Band 45). 4. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90210-4. MR0651017
  • Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit (= Springer-Lehrbuch). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3.
  • Vladimir Spokoiny, Thorsten Dickhaus: Basics of Modern Mathematical Statistics (= Springer Texts in Statistics). Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2015, ISBN 978-3-642-39908-4. MR3289985
  • Walter Vogel: Wahrscheinlichkeitstheorie (= Studia Mathematica. Band XXII). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1970. MR0286145

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 1980, S. 456 ff
  2. P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 145
  3. B. W. Gnedenko: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie 1980, S. 185 ff
  4. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 117 ff
  5. Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung. 2014, S. 262 ff
  6. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2009, S. 353 ff
  7. Walter Vogel: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1970, S. 318 ff
  8. Mit werde die charakteristische Funktion bezeichnet.
  9. Dabei steht für das Supremum.
  10. Flemming Topsøe: On the Glivenko-Cantelli theorem. in: Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 14 , S. 239 ff
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Gliwenko Cantelli oder Satz von Gliwenko auch Hauptsatz der mathematischen Statistik oder Fundamentalsatz der Statistik genannt englisch Central statistical theorem ist ein mathematischer Lehrsatz auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung welcher auf zwei Arbeiten der beiden Mathematiker Waleri Iwanowitsch Gliwenko und Francesco Cantelli aus dem Jahre 1933 zuruckgeht Aus dem Satz geht hervor dass bei unabhangig durchgefuhrten Zufallsversuchen die aus den Zufallsstichproben gewonnenen empirischen Verteilungsfunktionen einer Zufallsgrosse gleichmassig mit Wahrscheinlichkeit Eins gegen deren tatsachliche Verteilungsfunktion konvergieren und dass dadurch die Moglichkeit der Schatzung dieser Verteilungsfunktion gegeben ist Empirische Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Stichprobe vom Umfang n 100 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes im Einzelnen 2 Anmerkungen 3 Quellen und Hintergrundliteratur 3 1 Originalarbeiten 3 2 Monographien 4 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes im Einzelnen BearbeitenDer Satz lasst sich angeben wie folgt 1 2 3 4 5 6 7 Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A operatorname P nbsp und darauf eine Folge X n W A P R n N displaystyle X n colon Omega mathcal A operatorname P to mathbb R quad n in mathbb N nbsp von stochastisch unabhangigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit gemeinsamer Verteilungsfunktion F R R displaystyle F colon mathbb R to mathbb R nbsp Die zum Stichprobenumfang n N displaystyle n in mathbb N nbsp gehorige empirische Verteilungsfunktion ist F n R W 0 1 displaystyle F n colon mathbb R times Omega to 0 1 nbsp mit F n x w 1 n k 1 n x x X k w x R w W displaystyle F n x omega frac 1 n cdot sum k 1 n chi infty x X k omega quad x in mathbb R omega in Omega nbsp 8 Hierzu hat man auf dem gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum die Zufallsvariable D n W R displaystyle D n colon Omega to mathbb R nbsp mit D n w sup x R F n x w F x displaystyle D n omega sup x in mathbb R bigl F n x omega F x bigr nbsp 9 welche die obere Grenze aller Abstande dieser empirischen Verteilung von der gemeinsamen Verteilung F displaystyle F nbsp unter Berucksichtigung alle nur moglichen Auspragungen x R displaystyle x in mathbb R nbsp angibt Dann gilt Die Folge D n n N displaystyle D n n in mathbb N nbsp konvergiert mit Wahrscheinlichkeit 1 also fast sicher gegen Null Es gilt also P lim n D n 0 1 displaystyle operatorname P bigl lim n to infty D n 0 bigr 1 nbsp Anmerkungen BearbeitenDer Satz ergibt sich als Anwendung des kolmogorowschen Gesetzes der grossen Zahlen Er ist in verschiedene Richtungen verallgemeinert und abgewandelt worden Einen Eindruck davon gibt die Arbeit des danischen Mathematikers Flemming Topsoe aus dem Jahre 1970 10 Quellen und Hintergrundliteratur BearbeitenOriginalarbeiten Bearbeiten F P Cantelli Sulla determinazione empirica delle leggi di probabilita In Giornale dell Istituto Italiano degli Attuari Band 4 1933 S 421 424 V Glivenko Sulla determinazione empirica delle leggi di probabilita In Giornale dell Istituto Italiano degli Attuari Band 4 1933 S 92 99 Flemming Topsoe On the Glivenko Cantelli theorem In Zeitschrift fur Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete Band 14 1970 S 239 250 doi 10 1007 BF01111419 MR0292143 Monographien Bearbeiten Krishna B Athreya Soumendra N Lahiri Measure Theory and Probability Theory Springer Texts in Statistics Springer Verlag New York 2006 ISBN 978 0 387 32903 1 MR2247694 Kai Lai Chung A Course in Probability Theory Academic Press Inc San Diego u a 2001 ISBN 0 12 174151 6 MR1796326 Marek Fisz Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik Hochschulbucher fur Mathematik Band 40 10 Auflage VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1980 P Ganssler W Stute Wahrscheinlichkeitstheorie Hochschultext Band 91 Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1977 ISBN 3 540 08418 5 MR0501219 Boris Wladimirowitsch Gnedenko Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitstheorie Verlag Harri Deutsch Thun Frankfurt am Main 1997 ISBN 3 8171 1531 8 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 uberarbeitete und erganzte Auflage Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 6 Norbert Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie Eine Einfuhrung Springer Lehrbuch 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 45386 1 doi 10 1007 978 3 322 96418 2 R G Laha V K Rohatgi Probability Theory Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics John Wiley amp Sons New York u a 1979 ISBN 0 471 03262 X MR0534143 M Loeve Probability Theory I Graduate Texts in Mathematics Band 45 4 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 1977 ISBN 3 540 90210 4 MR0651017 Klaus D Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit Springer Lehrbuch Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89729 3 Vladimir Spokoiny Thorsten Dickhaus Basics of Modern Mathematical Statistics Springer Texts in Statistics Springer Verlag Heidelberg New York Dordrecht London 2015 ISBN 978 3 642 39908 4 MR3289985 Walter Vogel Wahrscheinlichkeitstheorie Studia Mathematica Band XXII Vandenhoeck amp Ruprecht Gottingen 1970 MR0286145Einzelnachweise Bearbeiten Marek Fisz Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik 1980 S 456 ff P Ganssler W Stute Wahrscheinlichkeitstheorie 1977 S 145 B W Gnedenko Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie 1980 S 185 ff Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 2013 S 117 ff Norbert Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie Eine Einfuhrung 2014 S 262 ff Klaus D Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2009 S 353 ff Walter Vogel Wahrscheinlichkeitstheorie 1970 S 318 ff Mit x displaystyle chi nbsp werde die charakteristische Funktion bezeichnet Dabei steht sup displaystyle sup nbsp fur das Supremum Flemming Topsoe On the Glivenko Cantelli theorem in Z Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw Gebiete 14 S 239 ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Gliwenko Cantelli amp oldid 234931686