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Saccheri Viereck Ein ist ein Viereck in der absoluten Geometrie mit den Eigenschaften dass zwei benachbarte Innenwinkel

Saccheri-Viereck

Ein Saccheri-Viereck ist ein Viereck in der absoluten Geometrie mit den Eigenschaften, dass zwei benachbarte Innenwinkel rechte Winkel sind und zwei einander gegenüberliegende Seiten, an denen diese Winkel anliegen, gleich lang sind. Solche Vierecke wurden von dem italienischen Mathematiker Giovanni Girolamo Saccheri im ersten Drittel des 18. Jahrhunderts definiert und untersucht, nach dem sie heute auch benannt sind. Sein ursprüngliches Ziel war es dabei, Euklids 5. Postulat, das Parallelenaxiom, mit einem Widerspruchsbeweis aus den übrigen Axiomen herzuleiten.

Drei verschiedenartige Saccheri-Vierecke: Oben sind die beiden Innenwinkel, über die in der Definition nichts gesagt wird, rechte (euklidische Geometrie), in der Mitte stumpfe (elliptische Geometrie) und unten spitze Winkel (hyperbolische Geometrie).

Zum ersten Mal wurde ein Viereck dieser Art von dem persischen Mathematiker Omar Chayyam im späten 11. Jahrhundert untersucht, daher wird das Viereck auch (korrekter) als Chayyam-Saccheri-Viereck bezeichnet. Ob Saccheri von Khayyams Schriften wusste, ist unbekannt.

Geschichte und Eigenschaften Bearbeiten

  • In der ebenen euklidischen Geometrie ist natürlich jedes Saccheri-Viereck ein Rechteck.
  • In der ebenen absoluten Geometrie gilt der folgende Satz:
  • Aus diesem Satz folgt, dass die beiden Innenwinkel eines Saccheri-Vierecks, über die in dessen Definition nichts ausgesagt wird, in der absoluten Geometrie stets einander gleich sein müssen.
  • Saccheri zeigte im Wesentlichen korrekt, dass in dem von ihm verwendeten Axiomensystem der absoluten Geometrie, das im Großen und Ganzen gleichwertig zu den Axiomengruppen I-III und V in dem von David Hilbert viel später definierten Axiomensystem der euklidischen Geometrie war, die fraglichen Winkel nicht stumpf sein können. Hilbert hat sein Axiomensystem so formuliert, dass seine Axiome ohne das Parallelenaxiom sowohl euklidische (es existiert durch einen Punkt eine eindeutige Parallele) als auch hyperbolische (es existieren durch einen Punkt mehrere Parallelen) Modelle der Geometrie zulassen. Um auch die elliptische Geometrie, in der durch einen Punkt außerhalb einer Geraden keine Parallele existiert, axiomatisch erfassen zu können, werden in der absoluten Geometrie Hilberts Axiome der Anordnung (Gruppe II) und der Kongruenz (Gruppe III) oft durch schwächere Axiome der Bewegung ersetzt. Eine neuere Axiomatik der absoluten Geometrie, die ganz auf dem Bewegungsbegriff aufbaut, ist die metrische absolute Geometrie.
  • Hingegen war Saccheris Beweis, dass diese Winkel nicht spitz sein können, fehlerhaft.

Das Parallelenaxiom durch Saccheri-Vierecke ausgedrückt Bearbeiten

Jede der folgenden Aussagen ist auf der Grundlage der Axiome der absoluten Geometrie (nach Hilbert) gleichwertig zum Parallelenaxiom (Axiom IV bei Hilbert):

  • Es existiert ein Rechteck.
  • In einem und damit in jedem Saccheri-Viereck sind alle Innenwinkel rechte.

Literatur Bearbeiten

  • Girolamo Saccheri: Euclides ab omni naevo vindicatus. sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa universae geometriae principia / Hieronymus Saccherius. 1733, doi:10.3931/e-rara-10433.
  • H.S.M. Coxeter: Non-Euclidean Geometry. 6. Auflage. Mathematical Association of America, Washington DC 1998, ISBN 0-88385-522-4.
  • Richard L. Faber: Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry. Marcel Dekker, New York 1983, ISBN 0-8247-1748-1.
  • M. J. Greenberg: Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. 4. Auflage. W. H. Freeman, 2008.
  • George E. Martin: The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane. Springer-Verlag, 1975.
  • Richard Trudeau: Die geometrische Revolution. Birkhäuser Verlag, Basel/Boston/Berlin 1998, ISBN 3-7643-5914-5.
  • Benno Klotzek: Euklidische und nichteuklidische Elementargeometrien. 1. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2001, ISBN 3-8171-1583-0.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Boris Abramovich Rozenfeld: A History of Non-Euclidean Geometry. 1988 (books.google.com).
  2. Trudeau (1998), Kapitel 4: Das Problem mit dem Postulat 5, Satz A
  3. ↑ Trudeau (1998), Kapitel 4
  4. Klotzek (2001) 1.1.3, Bewegungen und Spiegelungen
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Ein Saccheri Viereck ist ein Viereck in der absoluten Geometrie mit den Eigenschaften dass zwei benachbarte Innenwinkel rechte Winkel sind und zwei einander gegenuberliegende Seiten an denen diese Winkel anliegen gleich lang sind Solche Vierecke wurden von dem italienischen Mathematiker Giovanni Girolamo Saccheri im ersten Drittel des 18 Jahrhunderts definiert und untersucht nach dem sie heute auch benannt sind Sein ursprungliches Ziel war es dabei Euklids 5 Postulat das Parallelenaxiom mit einem Widerspruchsbeweis aus den ubrigen Axiomen herzuleiten Drei verschiedenartige Saccheri Vierecke Oben sind die beiden Innenwinkel uber die in der Definition nichts gesagt wird rechte euklidische Geometrie in der Mitte stumpfe elliptische Geometrie und unten spitze Winkel hyperbolische Geometrie Zum ersten Mal wurde ein Viereck dieser Art von dem persischen Mathematiker Omar Chayyam im spaten 11 Jahrhundert untersucht daher wird das Viereck auch korrekter als Chayyam Saccheri Viereck bezeichnet Ob Saccheri von Khayyams Schriften wusste ist unbekannt 1 Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte und Eigenschaften 1 1 Das Parallelenaxiom durch Saccheri Vierecke ausgedruckt 2 Literatur 3 EinzelnachweiseGeschichte und Eigenschaften BearbeitenIn der ebenen euklidischen Geometrie ist naturlich jedes Saccheri Viereck ein Rechteck In der ebenen absoluten Geometrie gilt der folgende Satz 2 Sind die Eckpunkte eines Vierecks aufeinanderfolgend mit A B C und D bezeichnet und sind die Innenwinkel bei A und B rechte dann ist die Seite DA langer gleich lang oder kurzer als die Seite CB je nachdem ob der Innenwinkel bei D kleiner als gleich oder grosser als der Winkel bei C ist dd Aus diesem Satz folgt dass die beiden Innenwinkel eines Saccheri Vierecks uber die in dessen Definition nichts ausgesagt wird in der absoluten Geometrie stets einander gleich sein mussen Saccheri zeigte im Wesentlichen korrekt dass in dem von ihm verwendeten Axiomensystem der absoluten Geometrie das im Grossen und Ganzen gleichwertig zu den Axiomengruppen I III und V in dem von David Hilbert viel spater definierten Axiomensystem der euklidischen Geometrie war die fraglichen Winkel nicht stumpf sein konnen Hilbert hat sein Axiomensystem so formuliert dass seine Axiome ohne das Parallelenaxiom sowohl euklidische es existiert durch einen Punkt eine eindeutige Parallele als auch hyperbolische es existieren durch einen Punkt mehrere Parallelen Modelle der Geometrie zulassen Um auch die elliptische Geometrie in der durch einen Punkt ausserhalb einer Geraden keine Parallele existiert axiomatisch erfassen zu konnen werden in der absoluten Geometrie Hilberts Axiome der Anordnung Gruppe II und der Kongruenz Gruppe III oft durch schwachere Axiome der Bewegung ersetzt 3 4 Eine neuere Axiomatik der absoluten Geometrie die ganz auf dem Bewegungsbegriff aufbaut ist die metrische absolute Geometrie Hingegen war Saccheris Beweis dass diese Winkel nicht spitz sein konnen fehlerhaft 3 Das Parallelenaxiom durch Saccheri Vierecke ausgedruckt Bearbeiten Jede der folgenden Aussagen ist auf der Grundlage der Axiome der absoluten Geometrie nach Hilbert gleichwertig zum Parallelenaxiom Axiom IV bei Hilbert 3 Es existiert ein Rechteck In einem und damit in jedem Saccheri Viereck sind alle Innenwinkel rechte Literatur BearbeitenGirolamo Saccheri Euclides ab omni naevo vindicatus sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa universae geometriae principia Hieronymus Saccherius 1733 doi 10 3931 e rara 10433 H S M Coxeter Non Euclidean Geometry 6 Auflage Mathematical Association of America Washington DC 1998 ISBN 0 88385 522 4 Richard L Faber Foundations of Euclidean and Non Euclidean Geometry Marcel Dekker New York 1983 ISBN 0 8247 1748 1 M J Greenberg Euclidean and Non Euclidean Geometries Development and History 4 Auflage W H Freeman 2008 George E Martin The Foundations of Geometry and the Non Euclidean Plane Springer Verlag 1975 Richard Trudeau Die geometrische Revolution Birkhauser Verlag Basel Boston Berlin 1998 ISBN 3 7643 5914 5 Benno Klotzek Euklidische und nichteuklidische Elementargeometrien 1 Auflage Harri Deutsch Frankfurt am Main 2001 ISBN 3 8171 1583 0 Einzelnachweise Bearbeiten Boris Abramovich Rozenfeld A History of Non Euclidean Geometry 1988 books google com Trudeau 1998 Kapitel 4 Das Problem mit dem Postulat 5 Satz A a b c Trudeau 1998 Kapitel 4 Klotzek 2001 1 1 3 Bewegungen und Spiegelungen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Saccheri Viereck amp oldid 213796317