Riemann Hilbert Problem Die e kurz RHP oder auch Riemann Hilbert Analysis sind eine Klasse von mathematischen Problemste

Riemann-Hilbert-Problem

Die Riemann-Hilbert-Probleme (kurz RHP oder auch Riemann-Hilbert-Analysis) sind eine Klasse von mathematischen Problemstellungen, in denen eine komplexwertige Funktion gesucht wird.

Die Problemstellung ist folgende: Gegeben sei eine orientierte, glatte Kurve und eine Jump-Funktion , um von einer Seite der Kurve auf die andere Seite zu gelangen. Das Ziel ist es nun, die darunterliegende Funktion zu rekonstruieren, welche analytisch auf ist.

Die Probleme sind nach den deutschen Mathematikern Bernhard Riemann und David Hilbert benannt und haben mannigfaltige Anwendungen in der Mathematik und Physik, unter anderem trifft man sie in der Theorie der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen an.

Vorkommen Bearbeiten

Viele Problemstellungen lassen sich als Riemann-Hilbert-Probleme formulieren und sind Startpunkt für asymptotische Analyse. Klassische Riemann-Hilbert-Probleme sind das Lösen von Differentialgleichungen wie der Painlevé-Gleichung vom Typ 2 (Airy-Funktion) oder das Finden von orthogonalen Polynome, wie man sie in der Spektraltheorie von Zufallsmatrizen benötigt.

Auch lässt sich das Finden von Lösungen für nichtlineare partielle Differentialgleichungen wie der KdV-Gleichung als RHP formulieren.

Riemann-Hilbert-Problem Bearbeiten

Eine orientierte, glatte Kurve teilt die komplexe Ebene in auf, wobei die positive Seite links von liegt.

Mit respektive bezeichnen wir die Limits von der positiven Seite resp. der negativen Seite nach

sofern diese existieren. Weiter sei die Menge der Punkte, in denen sich die Kurve selbst überschneidet. Dann definiere .

Formulierung Bearbeiten

Sei , eine orientierte, glatte Kurve und eine glatte Funktion.

Dann definiert das paar ein Riemann-Hilbert-Problem:

Gesucht wird eine Funktion , so dass

ist analytisch auf .
.
wenn .

Existenz und Eindeutigkeit der Lösung Bearbeiten

Die Existenz einer Lösung zu einem RHP zu zeigen ist keine triviale Aufgabe und oft schwieriger als die Eindeutigkeit. Eine klassische Methode für ein RHP ist die Methode des steilsten Anstiegs (englisch Method of steepest descent) von Deift und Zhou.

Beispiele Bearbeiten

Skalares Hilbert-Riemann-Problem Bearbeiten

Sei und , orientiert in Richtung .

Da wir eine skalare Funktion suchen, können wir unter Anwendung des Logarithmus die Problemstellung etwas umschreiben

welches sich mit Sokhotski-Plemeljs Formel lösen lässt. Die Lösung hat folgende Form

allerdings existiert dieses Integral nicht immer.

Nichtlineare Schrödinger-Gleichung Bearbeiten

Betrachte die nichtlineare Schrödinger-Gleichung

wobei den Schwartz-Raum bezeichnet. Wir wählen , orientiert in Richtung und weiter sei für

wobei den durch die inverse Streutransformation zu assoziierten Reflexionskoeffizient bezeichnet.

Dann ist ein RHP.

Einzelnachweise Bearbeiten

Thomas Bothner: On the origins of Riemann–Hilbert problems in mathematics. In: IOP Publishing (Hrsg.): Nonlinearity. 2021, doi:10.1088/1361-6544/abb543.
Percy Deift, Xin Zhou: A steepest descent method for oscillatory Riemann-Hilbert problems. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.). Nr. 26, 1992, S. 119–124, doi:10.2307/2946540.
Percy Deift: Orthogonal Polynomials and Random Matrices: A-Riemann Hilbert Approach. Hrsg.: American Mathematical Society. Rhode Island 2000, ISBN 978-0-8218-8344-0, S. 2.
Percy Deift: Orthogonal Polynomials and Random Matrices: A-Riemann Hilbert Approach. Hrsg.: American Mathematical Society. Rhode Island 2000, ISBN 978-0-8218-8344-0, S. 12.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 02, 2023, 18:10 pm

Die Riemann Hilbert Probleme kurz RHP oder auch Riemann Hilbert Analysis sind eine Klasse von mathematischen Problemstellungen in denen eine komplexwertige Funktion M displaystyle M gesucht wird Die Problemstellung ist folgende Gegeben sei eine orientierte glatte Kurve G C displaystyle Gamma in mathbb C und eine Jump Funktion J displaystyle J um von einer Seite der Kurve auf die andere Seite zu gelangen Das Ziel ist es nun die darunterliegende Funktion M displaystyle M zu rekonstruieren welche analytisch auf C G displaystyle mathbb C setminus Gamma ist Die Probleme sind nach den deutschen Mathematikern Bernhard Riemann und David Hilbert benannt und haben mannigfaltige Anwendungen in der Mathematik und Physik unter anderem trifft man sie in der Theorie der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen an Inhaltsverzeichnis 1 Vorkommen 2 Riemann Hilbert Problem 2 1 Formulierung 3 Existenz und Eindeutigkeit der Losung 4 Beispiele 4 1 Skalares Hilbert Riemann Problem 4 2 Nichtlineare Schrodinger Gleichung 5 EinzelnachweiseVorkommen BearbeitenViele Problemstellungen lassen sich als Riemann Hilbert Probleme formulieren und sind Startpunkt fur asymptotische Analyse Klassische Riemann Hilbert Probleme sind das Losen von Differentialgleichungen wie der Painleve Gleichung vom Typ 2 Airy Funktion oder das Finden von orthogonalen Polynome wie man sie in der Spektraltheorie von Zufallsmatrizen benotigt Auch lasst sich das Finden von Losungen fur nichtlineare partielle Differentialgleichungen wie der KdV Gleichung als RHP formulieren 1 Riemann Hilbert Problem BearbeitenEine orientierte glatte Kurve G C displaystyle Gamma subset mathbb C nbsp teilt die komplexe Ebene in W W G displaystyle Omega cup Omega cup Gamma nbsp auf wobei die positive Seite W displaystyle Omega nbsp links von G displaystyle Gamma nbsp liegt Mit M z displaystyle M z nbsp respektive M z displaystyle M z nbsp bezeichnen wir die Limits von der positiven Seite x W displaystyle x in Omega nbsp resp der negativen Seite x W displaystyle x in Omega nbsp nach z G displaystyle z in Gamma nbsp M z lim x z M x displaystyle M z lim limits x to z M x nbsp M z lim x z M x displaystyle M z lim limits x to z M x nbsp sofern diese existieren Weiter sei u displaystyle u nbsp die Menge der Punkte in denen sich die Kurve selbst uberschneidet Dann definiere G u G u displaystyle Gamma u Gamma setminus u nbsp Formulierung Bearbeiten Sei n N displaystyle n in mathbb N nbsp G C displaystyle Gamma subset mathbb C nbsp eine orientierte glatte Kurve und J G u GL n C displaystyle J Gamma u to operatorname GL n mathbb C nbsp eine glatte Funktion Dann definiert das paar G J displaystyle Gamma J nbsp ein Riemann Hilbert Problem Gesucht wird eine Funktion M C C n n displaystyle M mathbb C to mathbb C n times n nbsp so dass M displaystyle M nbsp ist analytisch auf C G displaystyle mathbb C setminus Gamma nbsp M z M z J z z G u displaystyle M z M z J z quad z in Gamma u nbsp M z I n displaystyle M z to I n nbsp wenn z displaystyle z to infty nbsp Existenz und Eindeutigkeit der Losung BearbeitenDie Existenz einer Losung zu einem RHP zu zeigen ist keine triviale Aufgabe und oft schwieriger als die Eindeutigkeit Eine klassische Methode fur ein RHP ist die Methode des steilsten Anstiegs englisch Method of steepest descent von Deift und Zhou 2 Beispiele BearbeitenSkalares Hilbert Riemann Problem Bearbeiten Sei n 1 displaystyle n 1 nbsp und G R displaystyle Gamma mathbb R nbsp orientiert in Richtung displaystyle infty nbsp 3 Da wir eine skalare Funktion suchen konnen wir unter Anwendung des Logarithmus die Problemstellung etwas umschreiben log M z log M z log J z z G u displaystyle log M z log M z log J z quad z in Gamma u nbsp welches sich mit Sokhotski Plemeljs Formel losen lasst Die Losung hat folgende Form log M z 1 2 p i R log J s s z d s displaystyle log M z frac 1 2 pi i int mathbb R frac log J s s z mathrm d s nbsp allerdings existiert dieses Integral nicht immer Nichtlineare Schrodinger Gleichung Bearbeiten Betrachte die nichtlineare Schrodinger Gleichung 4 i ps t ps x x 2 ps 2 ps 0 ps x 0 ps 0 x S R displaystyle begin cases i psi t psi xx 2 psi 2 psi 0 psi x 0 psi 0 x in mathcal S mathbb R end cases nbsp wobei S R displaystyle mathcal S mathbb R nbsp den Schwartz Raum bezeichnet Wir wahlen G R displaystyle Gamma mathbb R nbsp orientiert in Richtung displaystyle infty nbsp und weiter sei fur z G displaystyle z in Gamma nbsp J x t z 1 r z 2 r e 2 i 2 t z 2 x z r z e 2 i 2 t z 2 x z 1 displaystyle J x t z begin pmatrix 1 r z 2 amp bar r e 2i 2tz 2 xz r z e 2i 2tz 2 xz amp 1 end pmatrix nbsp wobei r z S R displaystyle r z in mathcal S mathbb R nbsp den durch die inverse Streutransformation zu y 0 displaystyle y 0 nbsp assoziierten Reflexionskoeffizient bezeichnet Dann ist G J x t displaystyle Gamma J x t nbsp ein RHP Einzelnachweise Bearbeiten Thomas Bothner On the origins of Riemann Hilbert problems in mathematics In IOP Publishing Hrsg Nonlinearity 2021 doi 10 1088 1361 6544 abb543 Percy Deift Xin Zhou A steepest descent method for oscillatory Riemann Hilbert problems In American Mathematical Society Hrsg Bulletin of the American Mathematical Society N S Nr 26 1992 S 119 124 doi 10 2307 2946540 Percy Deift Orthogonal Polynomials and Random Matrices A Riemann Hilbert Approach Hrsg American Mathematical Society Rhode Island 2000 ISBN 978 0 8218 8344 0 S 2 Percy Deift Orthogonal Polynomials and Random Matrices A Riemann Hilbert Approach Hrsg American Mathematical Society Rhode Island 2000 ISBN 978 0 8218 8344 0 S 12 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Riemann Hilbert Problem amp oldid 220328897