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Sattelpunktsnäherung In der Analysis wird die verwendet um Integrale der Form I lim N e N f x d x displaystyle I lim N t

Sattelpunktsnäherung

In der Analysis wird die Sattelpunktsnäherung verwendet, um Integrale der Form

näherungsweise zu berechnen. Die Methode stammt von Pierre Simon de Laplace (1774) und wird manchmal nach ihm benannt. Sie ist Teil der asymptotischen Analyse.

Falls die Funktion analytisch ist und ein globales Minimum bei besitzt, so erhält man:

mit

Die zweite Ableitung ist positiv, da hier ein Minimum vorliegt. Das Ergebnis gilt asymptotisch, das heißt für gegen Unendlich.

Dabei können auch endliche Integrationsgrenzen vorliegen.

Die Verallgemeinerung der Sattelpunktnäherung in die komplexe Zahlenebene wird auch Sattelpunktmethode genannt. Aus ihr erklärt sich die Benennung nach einem Sattelpunkt.

Alternative Formulierung Bearbeiten

Es kann auch ein anderes Vorzeichen im Exponenten betrachtet werden:

Mit anderem Vorzeichen gilt für

falls bei ein globales Maximum vorliegt asymptotisch:

mit .

Da hier ein Maximum vorliegt, ist die zweite Ableitung negativ.

Begründung Bearbeiten

Betrachtet wird der erste Fall (Minimum bei ), die Argumentation im zweiten Fall ist analog.

Für große wird die Exponentialfunktion außerhalb der Umgebung von beliebig klein. Deshalb wird um in eine Taylorreihe entwickelt:

(Wegen des globalen Minimums bei ist )

Einsetzen ins Integral liefert

Die Größe ist also der Grenzwert des Produkts aus und dem nichtelementaren Integral. Letzteres ist eng mit dem gaußschen Fehlerintegral bzw. der Gauß-Verteilung verwandt. Das Integral ist von der Form , wobei gilt. Es ist insbesondere , da das Minimum bei eine positive zweite Ableitung bedingt, was im Folgenden wichtig sein wird:

Für alle mit lässt sich folgende Relation (bspw. über Substitution ) zeigen:

Weiterhin beeinflusst eine Verschiebung von um die Konstante nicht den Wert von , da sich das Integral durch die lineare Substitution mit leicht in das obige Integral überführen lässt, dessen Wert bereits bekannt ist.

Man erhält also mit :

Somit folgt für (asymptotisch):

Anwendungen Bearbeiten

Die Sattelpunktsnäherung und Sattelpunktmethoden findet verschiedene Anwendungen in der theoretischen Physik, unter anderem in der statistischen Physik im Grenzfall großer Systeme, in der Quantenfeldtheorie bei der Auswertung von Pfadintegralen oder in der Optik.

Eine Anwendung ist die Stirlingformel

für große .

Aus der Definition der Gammafunktion folgt

Mit der Variablentransformation (so dass ::) erhält man:

Nun kann man die Sattelpunktnäherung in der zweiten Form (für Maxima) anwenden mit

mit den Ableitungen

Das Maximum von f liegt bei mit dem Wert der zweiten Ableitung −1. Man erhält mit der Sattelpunktnäherung:

Verallgemeinerung Bearbeiten

Die Sattelpunktnäherung wird bei Betrachtung im Komplexen in der Methode des steilsten Abstiegs (englisch: Method of steepest descent) bzw. der Methode der stationären Phase (englisch: Method of stationary phase) verallgemeinert (allgemein Sattelpunktmethode). Ziel ist die asymptotische Auswertung von geschlossenen Wegintegralen in der komplexen Zahlenebene ()

für große reelle . Dabei deformiert man im Komplexen den Integrationsweg so, dass ein stationärer Punkt (Nullstelle der ersten Ableitung von g) von auf dem Integrationsweg liegt und geht dann ähnlich wie oben vor (unter zusätzlicher Anwendung des Cauchyschen Integralsatzes). In der Version der Methode des steilsten Abstiegs legt man den Integrationsweg bei so, dass der Realteil u von g dort ein Maximum hat. Da der Realteil u von g eine harmonische Funktion ist, können und nicht dasselbe Vorzeichen haben: es liegt ein Sattelpunkt vor und man legt den Integrationsweg längs des Wegs des „steilsten Abstiegs“. Daher der Name der Methode.

Bei der Methode der stationären Phase werden speziell Integrale betrachtet, bei denen der Exponent der Exponentialfunktion längs des Weges imaginär ist:

Mit einer reellen Funktion u und großem .

Die Methode wurde zuerst von Peter Debye 1909 zur Abschätzung von Besselfunktionen veröffentlicht, aber auch schon von Bernhard Riemann benutzt.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Sattelpunktmethode. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Analysis wird die Sattelpunktsnaherung verwendet um Integrale der Form I lim N e N f x d x displaystyle I lim N to infty int limits infty infty e Nf x mathrm d x naherungsweise zu berechnen Die Methode stammt von Pierre Simon de Laplace 1774 und wird manchmal nach ihm benannt Sie ist Teil der asymptotischen Analyse Falls die Funktion f x displaystyle f x analytisch ist und ein globales Minimum bei x 0 displaystyle x 0 besitzt so erhalt man I lim N e N f x 0 2 p N f x 0 displaystyle I lim N to infty e Nf x 0 sqrt frac 2 pi Nf x 0 mit f x 0 2 f x x 2 x x 0 gt 0 displaystyle left f x 0 frac partial 2 f x partial x 2 right x x 0 gt 0 Die zweite Ableitung ist positiv da hier ein Minimum vorliegt Das Ergebnis gilt asymptotisch das heisst fur N displaystyle N gegen Unendlich Dabei konnen auch endliche Integrationsgrenzen a b displaystyle left a b right vorliegen Die Verallgemeinerung der Sattelpunktnaherung in die komplexe Zahlenebene wird auch Sattelpunktmethode genannt Aus ihr erklart sich die Benennung nach einem Sattelpunkt Inhaltsverzeichnis 1 Alternative Formulierung 2 Begrundung 3 Anwendungen 4 Verallgemeinerung 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseAlternative Formulierung BearbeitenEs kann auch ein anderes Vorzeichen im Exponenten betrachtet werden Mit anderem Vorzeichen gilt fur I lim N e N f x d x displaystyle I lim N to infty int limits infty infty e Nf x mathrm d x nbsp falls bei x 0 displaystyle x 0 nbsp ein globales Maximum vorliegt asymptotisch I lim N e N f x 0 2 p N f x 0 displaystyle I lim N to infty e Nf x 0 sqrt frac 2 pi N f x 0 nbsp mit f x 0 2 f x x 2 x x 0 lt 0 displaystyle left f x 0 frac partial 2 f x partial x 2 right x x 0 lt 0 nbsp Da hier ein Maximum vorliegt ist die zweite Ableitung negativ Begrundung BearbeitenBetrachtet wird der erste Fall Minimum bei x 0 displaystyle x 0 nbsp die Argumentation im zweiten Fall ist analog Fur grosse N displaystyle N nbsp wird die Exponentialfunktion ausserhalb der Umgebung von x 0 displaystyle x 0 nbsp beliebig klein Deshalb wird f x displaystyle f x nbsp um x 0 displaystyle x 0 nbsp in eine Taylorreihe entwickelt f x f x 0 1 2 f x 0 x x 0 2 displaystyle f x approx f x 0 frac 1 2 f x 0 x x 0 2 nbsp Wegen des globalen Minimums bei x 0 displaystyle x 0 nbsp ist f x 0 0 displaystyle f x 0 0 nbsp Einsetzen ins Integral liefert I lim N e N f x 0 N 1 2 f x 0 x x 0 2 d x lim N e N f x 0 e N 1 2 f x 0 x x 0 2 d x displaystyle I lim N to infty int limits infty infty e Nf x 0 N frac 1 2 f x 0 x x 0 2 mathrm d x lim N to infty e Nf x 0 int limits infty infty e N frac 1 2 f x 0 x x 0 2 mathrm d x nbsp Die Grosse I textstyle I nbsp ist also der Grenzwert N textstyle N to infty nbsp des Produkts aus e N f x 0 textstyle e Nf x 0 nbsp und dem nichtelementaren Integral Letzteres ist eng mit dem gaussschen Fehlerintegral F z textstyle Phi z nbsp bzw der Gauss Verteilung verwandt Das Integral e N 2 f x 0 x x 0 2 d x textstyle int infty infty e frac N 2 f x 0 x x 0 2 mathrm d x nbsp ist von der Form e a x b 2 d x textstyle int infty infty e a x b 2 mathrm d x nbsp wobei a N 2 f x 0 gt 0 u n d b x 0 textstyle a frac N 2 f x 0 gt 0 mathrm und b x 0 nbsp gilt Es ist insbesondere a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp da das Minimum bei x 0 textstyle x 0 nbsp eine positive zweite Ableitung bedingt was im Folgenden wichtig sein wird Fur alle a displaystyle a nbsp mit ℜ a gt 0 displaystyle Re a gt 0 nbsp lasst sich folgende Relation bspw uber Substitution y x a x d x 1 a d y textstyle y x sqrt a x mathrm d x frac 1 sqrt a mathrm d y nbsp zeigen e a x 2 d x p a displaystyle int infty infty e ax 2 mathrm d x sqrt frac pi a nbsp Weiterhin beeinflusst eine Verschiebung von y displaystyle y nbsp um die Konstante b textstyle b nbsp nicht den Wert von e a y b 2 d y textstyle int infty infty e a y b 2 mathrm d y nbsp da sich das Integral durch die lineare Substitution x y y b d x 1 d y textstyle x y y b mathrm d x 1 mathrm d y nbsp mit lim y x y textstyle lim y to pm infty x y pm infty nbsp leicht in das obige Integral e a x 2 d x textstyle int infty infty e ax 2 mathrm d x nbsp uberfuhren lasst dessen Wert bereits bekannt ist Man erhalt also mit a N 2 f x 0 gt 0 u n d b x 0 textstyle a frac N 2 f x 0 gt 0 mathrm und b x 0 nbsp e N 2 f x 0 x x 0 2 d x p N 2 f x 0 displaystyle int infty infty e frac N 2 f x 0 x x 0 2 mathrm d x sqrt frac pi frac N 2 f x 0 nbsp Somit folgt fur I displaystyle I nbsp asymptotisch I lim N e N f x d x lim N e N f x 0 e N 1 2 f x 0 x x 0 2 d x lim N e N f x 0 2 p N f x 0 displaystyle I lim N to infty int limits infty infty e Nf x mathrm d x lim N to infty e Nf x 0 int limits infty infty e N frac 1 2 f x 0 x x 0 2 mathrm d x lim N to infty e Nf x 0 sqrt frac 2 pi Nf x 0 nbsp Anwendungen BearbeitenDie Sattelpunktsnaherung und Sattelpunktmethoden findet verschiedene Anwendungen in der theoretischen Physik unter anderem in der statistischen Physik im Grenzfall grosser Systeme in der Quantenfeldtheorie bei der Auswertung von Pfadintegralen oder in der Optik Eine Anwendung ist die Stirlingformel N 2 p N N N e N displaystyle N approx sqrt 2 pi N N N e N nbsp fur grosse N displaystyle N nbsp Aus der Definition der Gammafunktion folgt N G N 1 0 e x x N d x displaystyle N Gamma N 1 int 0 infty e x x N mathrm d x nbsp Mit der Variablentransformation x N z displaystyle x Nz nbsp so dass d x N d z displaystyle mathrm d x N mathrm d z nbsp erhalt man N 0 e N z N z N N d z N N 1 0 e N z z N d z N N 1 0 e N z e N ln z d z N N 1 0 e N ln z z d z displaystyle begin aligned N amp int 0 infty e Nz left Nz right N N mathrm d z amp N N 1 int 0 infty e Nz z N mathrm d z amp N N 1 int 0 infty e Nz e N ln z mathrm d z amp N N 1 int 0 infty e N ln z z mathrm d z end aligned nbsp Nun kann man die Sattelpunktnaherung in der zweiten Form fur Maxima anwenden mit f z ln z z displaystyle f left z right ln z z nbsp mit den Ableitungen f z 1 z 1 displaystyle f z frac 1 z 1 nbsp f z 1 z 2 displaystyle f z frac 1 z 2 nbsp Das Maximum von f liegt bei z 0 1 displaystyle z 0 1 nbsp mit dem Wert der zweiten Ableitung 1 Man erhalt mit der Sattelpunktnaherung N N N 1 2 p N e N 2 p N N N e N displaystyle N approx N N 1 sqrt frac 2 pi N e N sqrt 2 pi N N N e N nbsp Verallgemeinerung BearbeitenDie Sattelpunktnaherung wird bei Betrachtung im Komplexen in der Methode des steilsten Abstiegs englisch Method of steepest descent bzw der Methode der stationaren Phase englisch Method of stationary phase verallgemeinert allgemein Sattelpunktmethode Ziel ist die asymptotische Auswertung von geschlossenen Wegintegralen in der komplexen Zahlenebene z x i y displaystyle z x iy nbsp C f z e l g z d z displaystyle displaystyle int C f z e lambda g z mathrm d z nbsp fur grosse reelle l displaystyle lambda nbsp Dabei deformiert man im Komplexen den Integrationsweg so dass ein stationarer Punkt Nullstelle der ersten Ableitung von g z 0 displaystyle z 0 nbsp von g z displaystyle g z nbsp auf dem Integrationsweg liegt und geht dann ahnlich wie oben vor unter zusatzlicher Anwendung des Cauchyschen Integralsatzes In der Version der Methode des steilsten Abstiegs legt man den Integrationsweg bei z 0 displaystyle z 0 nbsp so dass der Realteil u von g dort ein Maximum hat Da der Realteil u von g eine harmonische Funktion ist konnen 2 u x 2 displaystyle partial 2 u over partial x 2 nbsp und 2 u y 2 displaystyle partial 2 u over partial y 2 nbsp nicht dasselbe Vorzeichen haben es liegt ein Sattelpunkt vor und man legt den Integrationsweg langs des Wegs des steilsten Abstiegs Daher der Name der Methode Bei der Methode der stationaren Phase werden speziell Integrale betrachtet bei denen der Exponent der Exponentialfunktion langs des Weges imaginar ist C f z e i l u z d z displaystyle displaystyle int C f z e i lambda u z mathrm d z nbsp Mit einer reellen Funktion u und grossem l displaystyle lambda nbsp Die Methode wurde zuerst von Peter Debye 1909 zur Abschatzung von Besselfunktionen veroffentlicht aber auch schon von Bernhard Riemann benutzt 1 Literatur BearbeitenJon Matthews R L Walker Mathematical Methods of Physics Addison Wesley Kapitel 3 6 Saddle Point Methods Philip M Morse Herman Feshbach Methods of Theoretical Physics Band 1 McGraw Hill 1953 Kapitel 4 6 Arthur Erdelyi Asymptotic Expansions Dover 1956 Nicolaas Govert de Bruijn Asymptotic Methods in Analysis Wiley 1961Weblinks BearbeitenVorlesungsskript Gajjar Method of Steepest Descent pdfEinzelnachweise Bearbeiten Sattelpunktmethode In Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik 1 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Mannheim Heidelberg 2000 ISBN 3 8274 0439 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sattelpunktsnaherung amp oldid 237182178