Der Kehrwert auch der reziproke Wert oder das Reziproke einer von 0 displaystyle 0 verschiedenen Zahl x displaystyle x ist in der Arithmetik diejenige Zahl die mit x displaystyle x multipliziert die Zahl 1 displaystyle 1 ergibt er wird als 1 x displaystyle tfrac 1 x oder x 1 displaystyle x 1 notiert Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 1 1 Kernaussagen 1 2 Summe aus Zahl und Kehrwert 1 3 Summe zweier Kehrwerte 1 4 Summe aufeinanderfolgender Kehrwerte 2 Beispiele 3 Verallgemeinerung 4 Verwandte Themen 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenKernaussagen Bearbeiten nbsp Der Graph der Kehrwertfunktion ist eine Hyperbel Je naher eine Zahl bei 0 displaystyle 0 nbsp liegt desto weiter ist ihr Kehrwert von 0 displaystyle 0 nbsp entfernt Die Zahl 0 displaystyle 0 nbsp selbst hat keinen Kehrwert und ist auch kein Kehrwert Die durch y f x 1 x displaystyle y f x tfrac 1 x nbsp beschriebene Kehrwertfunktion siehe Abbildung hat dort eine Polstelle Der Kehrwert einer positiven Zahl ist positiv der Kehrwert einer negativen Zahl ist negativ Dies findet seinen geometrischen Ausdruck darin dass der Graph in zwei Hyperbelaste zerfallt die im ersten bzw dritten Quadranten liegen Die Kehrwertfunktion ist eine Involution d h der Kehrwert des Kehrwerts von x displaystyle x nbsp ist wieder x displaystyle x nbsp Ist eine Grosse y displaystyle y nbsp umgekehrt proportional zu einer Grosse x displaystyle x nbsp dann ist sie proportional zum Kehrwert von x displaystyle x nbsp Den Kehrbruch eines Bruches also den Kehrwert eines Quotienten a b displaystyle tfrac a b nbsp mit a b 0 displaystyle a b neq 0 nbsp erhalt man indem man Zahler und Nenner miteinander vertauscht 1 a b b a displaystyle frac 1 frac a b frac b a nbsp Daraus folgt die Rechenregel fur das Dividieren durch einen Bruch Durch einen Bruch wird dividiert indem man mit seinem Kehrwert multipliziert Siehe auch Bruchrechnung Den Kehrwert 1 n displaystyle tfrac 1 n nbsp einer naturlichen Zahl n displaystyle n nbsp nennt man einen Stammbruch Auch zu jeder von 0 displaystyle 0 nbsp verschiedenen komplexen Zahl z a b i displaystyle z a b mathrm i nbsp mit reellen Zahlen a b displaystyle a b nbsp gibt es einen Kehrwert 1 z displaystyle tfrac 1 z nbsp Mit dem Absolutbetrag z a 2 b 2 displaystyle z sqrt a 2 b 2 nbsp von z displaystyle z nbsp und der zu z displaystyle z nbsp konjugiert komplexen Zahl z a b i displaystyle overline z a b mathrm i nbsp gilt 1 a b i 1 z z z z z z 2 a b i a 2 b 2 a a 2 b 2 b a 2 b 2 i displaystyle frac 1 a b mathrm i frac 1 z frac overline z z overline z frac overline z z 2 frac a b mathrm i a 2 b 2 frac a a 2 b 2 frac b a 2 b 2 mathrm i nbsp Summe aus Zahl und Kehrwert Bearbeiten Die Summe aus einer positiven reellen Zahl und ihrem Kehrwert betragt mindestens 2 displaystyle 2 nbsp 1 2 x 1 x 2 displaystyle x frac 1 x geq 2 nbsp Beweisvariante 1 Figur 1 x 1 x 2 4 x 1 x x 1 x 2 displaystyle left x frac 1 x right 2 geq 4 cdot x cdot frac 1 x Leftrightarrow x frac 1 x geq 2 nbsp Beweisvariante 2 Figur 2 1 x 2 x x 1 x 2 displaystyle frac 1 x geq 2 x Leftrightarrow x frac 1 x geq 2 nbsp Beweisvariante 3 Figur 3 x 1 x 2 2 2 x 1 x 2 displaystyle left x frac 1 x right 2 2 2 left x frac 1 x right 2 nbsp nach dem Satz des Pythagoras x 1 x 2 2 2 x 1 x 2 displaystyle Leftrightarrow left x frac 1 x right 2 geq 2 2 Leftrightarrow x frac 1 x geq 2 nbsp Beweisvariante 4 Figur 4 Nach dem Strahlensatz sind die Dreiecke D E F displaystyle DEF nbsp und D B C displaystyle DBC nbsp ahnlich Es gilt x 1 1 1 x displaystyle frac x 1 frac 1 frac 1 x nbsp Ohne Beschrankung der Allgemeinheit wird hier x 1 displaystyle x geq 1 nbsp vorausgesetzt 1 2 1 x 1 2 1 1 x 1 1 x 2 1 2 x 1 x 2 1 2 x x 1 x 2 displaystyle frac 1 2 cdot 1 cdot x frac 1 2 cdot 1 cdot frac 1 x geq 1 cdot 1 Leftrightarrow frac x 2 frac 1 2x geq 1 Leftrightarrow x 2 1 geq 2x Leftrightarrow x frac 1 x geq 2 nbsp Grafische Veranschaulichung der Beweisvarianten nbsp nbsp nbsp nbsp Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4 Summe zweier Kehrwerte Bearbeiten nbsp Figur 5Die Summe der Kehrwerte zweier positiver reeller Zahlen a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp mit der Summe 1 displaystyle 1 nbsp betragt mindestens 4 displaystyle 4 nbsp 1 a 1 b 4 displaystyle frac 1 a frac 1 b geq 4 nbsp fur a b 1 displaystyle a b 1 nbsp Beweis Gemass Figur 5 gilt 4 a b 1 1 a b 4 displaystyle 4ab leq 1 Leftrightarrow frac 1 ab geq 4 nbsp 1 a 1 b a b a b 1 a b 4 displaystyle frac 1 a frac 1 b frac a b ab frac 1 ab geq 4 nbsp was zu beweisen war 3 Summe aufeinanderfolgender Kehrwerte Bearbeiten Fur jede naturliche Zahl n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp gilt 1 n 1 n 1 1 n 2 1 n 2 gt 1 displaystyle frac 1 n frac 1 n 1 frac 1 n 2 frac 1 n 2 gt 1 nbsp Den Beweis liefert die Abschatzung 1 n 1 n 1 1 n 2 1 n 2 gt 1 n 1 n 2 1 n 2 1 n 2 1 n 1 n 2 n 2 n 1 n 1 1 n 1 displaystyle frac 1 n frac 1 n 1 frac 1 n 2 frac 1 n 2 gt frac 1 n left frac 1 n 2 frac 1 n 2 frac 1 n 2 right frac 1 n frac 1 n 2 left n 2 n right frac 1 n 1 frac 1 n 1 nbsp 4 Beispiele BearbeitenDer Kehrwert von 1 displaystyle 1 nbsp ist wiederum 1 displaystyle 1 nbsp Der Kehrwert von 0 001 displaystyle 0 001 nbsp ist 1000 displaystyle 1000 nbsp Der Kehrwert von 2 displaystyle 2 nbsp ist 1 2 0 5 displaystyle tfrac 1 2 0 5 nbsp Der Kehrwert des Bruches 2 5 displaystyle tfrac 2 5 nbsp ist 5 2 2 1 2 2 5 displaystyle tfrac 5 2 2 tfrac 1 2 2 5 nbsp Der Kehrwert der komplexen Zahl 3 4 i displaystyle 3 4 mathrm i nbsp ist 1 3 4 i 3 25 4 25 i displaystyle tfrac 1 3 4 mathrm i tfrac 3 25 tfrac 4 25 mathrm i nbsp Verallgemeinerung BearbeitenEine Verallgemeinerung des Kehrwerts ist das multiplikativ Inverse x 1 displaystyle x 1 nbsp zu einer Einheit x displaystyle x nbsp eines unitaren Ringes Es ist ebenfalls durch die Eigenschaft x 1 x x x 1 1 displaystyle x 1 cdot x x cdot x 1 1 nbsp definiert wobei 1 displaystyle 1 nbsp das Einselement des Ringes bezeichnet Wenn es sich z B um einen Ring von Matrizen handelt so ist das Einselement nicht die Zahl 1 displaystyle 1 nbsp sondern die Einheitsmatrix Matrizen zu denen keine inverse Matrix existiert heissen singular Verwandte Themen BearbeitenIst eine Grosse proportional zum Kehrwert einer anderen liegt reziproke Proportionalitat vor Literatur BearbeitenHintergrundwissen fur Lehramtsstudenten zur Arithmetik Friedhelm Padberg Didaktik der Arithmetik Fur Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung 3 erweiterte vollig uberarbeitete Auflage Nachdruck Spektrum Akademischer Verlag Munchen 2009 ISBN 978 3 8274 0993 5 Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Kehrwert Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme UbersetzungenEinzelnachweise Bearbeiten Roger B Nelsen Beweise ohne Worte Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald Springer Spektrum Springer Verlag Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50330 0 Seite 145 Roger B Nelsen Proof without Words The Sum of a Positive Number and Its Reciprocal Is at Least Two four proofs Mathematics Magazine vol 67 no 5 Dec 1994 S 374 Claudi Alsina Roger B Nelsen Perlen der Mathematik 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte fur mathematische Erkundungsreisen Springer Spektrum Springer Verlag GmbH Berlin 2015 ISBN 978 3 662 45460 2 Seiten 237 und 301 Ross Honsberger Gitter Reste Wurfel Friedrich Vieweg amp Sohn Verlagsgesellschaft mbH Braunschweig 1984 ISBN 978 3 528 08476 9 S 155 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kehrwert amp oldid 230462276
