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Prüfergruppe In der Mathematik speziell in der Gruppentheorie nennt man für eine Primzahl p jede zur multiplikativen Gru

Prüfergruppe

In der Mathematik, speziell in der Gruppentheorie, nennt man für eine Primzahl p jede zur multiplikativen Gruppe

isomorphe Gruppe eine p-Prüfergruppe oder eine p-quasizyklische Gruppe. besteht aus den komplexen Einheitswurzeln, deren Ordnung eine Potenz von p ist.

Es handelt sich um eine abelsche, abzählbare Gruppe.

Definitionsgemäß sind die p-Prüfergruppen untereinander isomorph, daher spricht man ohne nähere Präzisierung einfach von der p-Prüfergruppe. Man sagt, eine Gruppe G sei eine Prüfergruppe, wenn es eine Primzahl p gibt, so dass G eine p-Prüfergruppe ist. Die Prüfergruppen zu verschiedenen Primzahlen sind nicht isomorph.

Die Prüfergruppen sind zu Ehren des Mathematikers Heinz Prüfer benannt.

Äquivalente Definitionen Bearbeiten

Es seien p eine Primzahl und G eine Gruppe. Jede der folgenden fünf Eigenschaften ist äquivalent dazu, dass G eine p-Prüfergruppe ist, und jede dieser Eigenschaften kann daher als Definition der Prüfergruppen verwendet werden.

a) G ist isomorph zur Faktorgruppe , wobei die von den rationalen Zahlen mit gebildete Untergruppe von bezeichnet.

b) G ist isomorph zur Faktorgruppe , wobei F die freie abelsche Gruppe (das heißt der freie -Modul) mit einer abzählbar unendlichen Basis und R die von erzeugte Untergruppe von F ist.

c) G hat eine Präsentation

d) G hat ein Erzeugendensystem so dass , und für alle .

e) G ist die Vereinigung einer aufsteigenden Folge , wobei Cn für jeden Index n eine zyklische Gruppe der Ordnung pn ist.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Jede echte Untergruppe einer Prüfergruppe ist zyklisch und insbesondere endlich. Die Prüfergruppe besitzt für jede Zahl n genau eine Untergruppe der Ordnung pn. Die Menge der Untergruppen einer Prüfergruppe ist durch die Inklusion wohlgeordnet. Die Prüfergruppe ist also als -Modul nicht noethersch.
  • Eine unendliche, abelsche Gruppe ist genau dann eine Prüfergruppe, wenn sie isomorph zu jeder Faktorgruppe nach einer echten Untergruppe ist.
  • Die Prüfergruppen sind teilbar. Ihre Bedeutung erschließt sich aus dem folgenden Satz:

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. J. Calai: Éléments de théorie des groupes, Kapitel IV, Übung. 34, Seite 172
  2. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Seite 94: Quasicyclic Groups
  3. J.J. Rotman: An Introduction to the Theory of Groups, 4. Auflage 1999, Satz 10.13 und Übung 10.5
  4. J. Calais: Éléments de théorie des groupes, Presses universitaires de France, Paris 1984, Kapitel IV, Übung 34, Seite 172
  5. B. Baumslag et B. Chandler, Group Theory, Mc-Graw Hill, 1968, Satz 6.31, Seite 206
  6. Dass jede Prüfergruppe diese Eigenschaft hat, findet sich in J. Calais: Éléments de théorie des groupes, Presses universitaires de France, Paris 1984, Kapitel IV, Übung. 34, f), Seite 172. Für die Umkehrung siehe J.J. Rotman: An Introduction to the Group Theory, 4. Auflage 1999, exerc. 10.40, iii, p. 330.
  7. J.J. Rotman: An Introduction to the Group Theory, 4. Auflage 1999, Satz 10.28, Seite 323
  8. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 4.1.5
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In der Mathematik speziell in der Gruppentheorie nennt man fur eine Primzahl p jede zur multiplikativen Gruppe C p exp 2 p i n p m n Z m N displaystyle mathbb C p infty exp 2 pi mathrm i n p m mid n in mathbb Z m in mathbb N isomorphe Gruppe eine p Prufergruppe oder eine p quasizyklische Gruppe 1 2 C p displaystyle mathbb C p infty besteht aus den komplexen Einheitswurzeln deren Ordnung eine Potenz von p ist Es handelt sich um eine abelsche abzahlbare Gruppe Definitionsgemass sind die p Prufergruppen untereinander isomorph daher spricht man ohne nahere Prazisierung einfach von der p Prufergruppe Man sagt eine Gruppe G sei eine Prufergruppe wenn es eine Primzahl p gibt so dass G eine p Prufergruppe ist Die Prufergruppen zu verschiedenen Primzahlen sind nicht isomorph Die Prufergruppen sind zu Ehren des Mathematikers Heinz Prufer benannt Aquivalente Definitionen BearbeitenEs seien p eine Primzahl und G eine Gruppe Jede der folgenden funf Eigenschaften ist aquivalent dazu dass G eine p Prufergruppe ist und jede dieser Eigenschaften kann daher als Definition der Prufergruppen verwendet werden a G ist isomorph zur Faktorgruppe Z 1 p Z displaystyle mathbb Z 1 p mathbb Z nbsp wobei Z 1 p displaystyle mathbb Z 1 p nbsp die von den rationalen Zahlen n p m displaystyle n p m nbsp mit n Z m N displaystyle n in mathbb Z m in mathbb N nbsp gebildete Untergruppe von Q displaystyle mathbb Q nbsp bezeichnet Beweis Der Homomorphismus Z 1 p C p q exp 2 p i q displaystyle mathbb Z 1 p rightarrow mathbb C p infty q mapsto exp 2 pi iq nbsp ist surjektiv und hat den Kern Z displaystyle mathbb Z nbsp b G ist isomorph zur Faktorgruppe F R displaystyle F R nbsp wobei F die freie abelsche Gruppe das heisst der freie Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul mit einer abzahlbar unendlichen Basis a 0 a 1 a n displaystyle a 0 a 1 ldots a n ldots nbsp und R die von p a 0 a 0 p a 1 a 1 p a 2 a n p a n 1 displaystyle pa 0 a 0 pa 1 a 1 pa 2 ldots a n pa n 1 ldots nbsp erzeugte Untergruppe von F ist 3 c G hat eine Prasentation x 1 x 2 x 1 p 1 x 2 p x 1 x 3 p x 2 displaystyle langle x 1 x 2 dots x 1 p 1 x 2 p x 1 x 3 p x 2 dots rangle nbsp Beweis Sei L eine freie nichtabelsche Gruppe uber einer abzahlbaren Basis c 0 c 1 c n displaystyle c 0 c 1 ldots c n ldots nbsp und S der von c 0 p c 0 c 1 p c 1 c 2 p c n c n 1 p displaystyle c 0 p c 0 c 1 p c 1 c 2 p ldots c n c n 1 p ldots nbsp erzeugte Normalteiler Fur jede naturliche Zahl j sei x j displaystyle x j nbsp das kanonische Bild von c j displaystyle c j nbsp in L S displaystyle L S nbsp Es ist klar dass von je zwei der Elemente x j displaystyle x j nbsp eines eine Potenz des anderen ist das heisst die x j displaystyle x j nbsp vertauschen miteinander Da sie L S displaystyle L S nbsp erzeugen ist L S displaystyle L S nbsp abelsch mit anderen Worten S enthalt die Kommutatorgruppe K L Nach dem zweiten Isomorphiesatz ist L S displaystyle L S nbsp daher isomorph zu L K L S K L displaystyle L K L S K L nbsp Nun ist L K L displaystyle L K L nbsp eine freie abelsche Gruppe frei als abelsche Gruppe mit den Bildern d 0 d 1 d n displaystyle d 0 d 1 ldots d n ldots nbsp der Elemente c 0 c 1 c n displaystyle c 0 c 1 ldots c n ldots nbsp als Basis in L K L displaystyle L K L nbsp und S K L displaystyle S K L nbsp wird von d 0 p d 0 d 1 p d 1 d 2 p d n d n 1 p displaystyle d 0 p d 0 d 1 p d 1 d 2 p ldots d n d n 1 p ldots nbsp erzeugt Jetzt schliesst man mittels b weiter d G hat ein Erzeugendensystem a n n Z displaystyle a n n in mathbb Z nbsp so dass a 0 1 displaystyle a 0 not 1 nbsp a 0 p 1 displaystyle a 0 p 1 nbsp und a n 1 p a n displaystyle a n 1 p a n nbsp fur alle n 0 displaystyle n geq 0 nbsp 4 e G ist die Vereinigung einer aufsteigenden Folge C 0 C 1 C n displaystyle C 0 leq C 1 leq ldots leq C n leq ldots nbsp wobei Cn fur jeden Index n eine zyklische Gruppe der Ordnung pn ist 5 Eigenschaften BearbeitenJede echte Untergruppe einer Prufergruppe ist zyklisch und insbesondere endlich Die Prufergruppe besitzt fur jede Zahl n genau eine Untergruppe der Ordnung pn Die Menge der Untergruppen einer Prufergruppe ist durch die Inklusion wohlgeordnet Die Prufergruppe ist also als Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul nicht noethersch Eine unendliche abelsche Gruppe ist genau dann eine Prufergruppe wenn sie isomorph zu jeder Faktorgruppe nach einer echten Untergruppe ist 6 Die Prufergruppen sind teilbar Ihre Bedeutung erschliesst sich aus dem folgenden Satz Jede teilbare abelsche Gruppe ist isomorph zu einer endlichen oder unendlichen direkten Summe in der jeder Summand eine Prufergruppe oder isomorph zur additiven Gruppe der rationalen Zahlen ist 7 8 Beispielsweise ist die additive Gruppe Q Z displaystyle mathbb Q mathbb Z nbsp die direkte Summe ihrer p Sylowgruppen die nichts anderes als die p Prufergruppen sind Einzelnachweise Bearbeiten J Calai Elements de theorie des groupes Kapitel IV Ubung 34 Seite 172 D J S Robinson A Course in the Theory of Groups Springer Verlag 1996 ISBN 0 387 94461 3 Seite 94 Quasicyclic Groups J J Rotman An Introduction to the Theory of Groups 4 Auflage 1999 Satz 10 13 und Ubung 10 5 J Calais Elements de theorie des groupes Presses universitaires de France Paris 1984 Kapitel IV Ubung 34 Seite 172 B Baumslag et B Chandler Group Theory Mc Graw Hill 1968 Satz 6 31 Seite 206 Dass jede Prufergruppe diese Eigenschaft hat findet sich in J Calais Elements de theorie des groupes Presses universitaires de France Paris 1984 Kapitel IV Ubung 34 f Seite 172 Fur die Umkehrung siehe J J Rotman An Introduction to the Group Theory 4 Auflage 1999 exerc 10 40 iii p 330 J J Rotman An Introduction to the Group Theory 4 Auflage 1999 Satz 10 28 Seite 323 D J S Robinson A Course in the Theory of Groups Springer Verlag 1996 ISBN 0 387 94461 3 Satz 4 1 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Prufergruppe amp oldid 225002066