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Oval Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Weitere Bedeutungen sind unter Begriffsklärung aufgeführt Der Begriff late

Oval

Der Begriff Oval (lateinisch ovum ‚Ei‘) bezeichnet eine ebene rundliche konvexe Figur, die im weitesten Sinne dem Profil eines Vogeleis ähnelt. Sie umfasst Kreise und Ellipsen als Spezialfälle, wobei ein beliebiges Oval im Gegensatz zu diesen keine Symmetrieachse besitzen muss.

Oval mit einer Symmetrieachse
Klassendiagramm einiger Ovale: Von oben nach unten werden die Kurven immer spezieller.

Die Verwendung des Begriffs ist nicht immer ganz einheitlich, gelegentlich wird er auch rein beschreibend verwandt. In der Analysis lässt er sich jedoch formal mit Hilfe ebener Kurven definieren, in diesem Zusammenhang spricht man dann auch von Eikurven oder Eilinien.

Ein dreidimensionaler rundlicher konvexer Körper (allgemeiner auch eine abgeschlossene konvexe Teilmenge des ) wird als Ovoid bezeichnet. In diesem Sinne ist ein Oval mit seinem Inneren dann ein zweidimensionales Ovoid.

In der projektiven Geometrie werden die Begriffe Oval und Ovoid ohne Differenzierbarkeits- und Konvexitätsbedingungen ausschließlich mit Hilfe von Inzidenzbedingungen („Jede Gerade trifft ein Oval bzw. Ovoid in höchstens 2 Punkten“) als quadratische Mengen definiert. Ein Oval, wie es im vorliegenden Artikel erläutert wird, ist im projektiven Abschluss der reellen Ebene stets ein Oval im Sinne der projektiven Definition, falls man zusätzlich verlangt, dass die Krümmung des Ovals auf keinem Abschnitt verschwindet. Ein solches Oval ist dann der Rand einer streng konvexen Menge, d. h., es enthält keine Geradenstücke.

Formale Definition und Eigenschaften Bearbeiten

Oval ohne Symmetrieachsen

Die rundliche Form eines Ovals erhält man, indem man für eine geschlossene Kurve Glattheit und Konvexität verlangt (s. glattes konvexes Oval im Klassendiagramm). Dies führt dann zu der folgenden Definition:

Diese Definition erfasst jedoch nicht alle geometrischen Figuren, die gelegentlich als Ovale bezeichnet werden. So erfüllen zum Beispiel Ovale, die aus unterschiedlichen Kreisbögen zusammengesetzt sind, diese Definition nicht, da ihre zweite Ableitung nicht auf der gesamten Kurve stetig ist. Möchte man auch solche Fälle erfassen, so muss man Abstriche an die Glattheit der Kurve machen (Differentiationsklasse oder statt ). Gelegentlich wird daher auch nur die Konvexität gefordert. Dies hat jedoch den Nachteil, dass die Definition dann auch Figuren umfasst, die man normalerweise kaum als „eiförmig“ empfindet wie zum Beispiel konvexe Polygone.

Ein Oval im Sinne der obigen Definition besitzt die folgenden Eigenschaften:

Oval mit Tangente, Sekante und Passante
  • Ein Oval ist eine Jordan-Kurve, d. h., es besitzt keine Schlingen oder Schlaufen.
  • Die orientierte Krümmung eines Ovals besitzt keinen Vorzeichenwechsel, d. h., je nach Durchlaufsinn ist die orientierte Krümmung für jeden Punkt des Ovals entweder nichtnegativ oder nichtpositiv. Anschaulich bedeutet dies, dass es keine Wendungen oder Einbuchtungen besitzt. Man kann es nur in einer reinen Linkskurve bzw. Rechtskurve durchlaufen.
  • Das Innere eines Ovals ist eine konvexe Menge, und das Oval bildet deren Rand.
  • Für Ovale gilt der Vierscheitelsatz, das heißt, die Krümmung eines Ovals besitzt mindestens vier Extremstellen.
  • Besitzt ein Punkt des Ovals eine Tangente, so befindet sich das gesamte Oval auf einer Seite der Tangente.
  • Verlangt man zusätzlich, dass die Krümmung des Ovals auf keinem Abschnitt verschwindet, das heißt, die Krümmung nimmt höchstens in isolierten Punkten den Wert Null an, dann existiert in jedem Punkt des Ovals die obige Tangente. Allgemeiner gilt dann für eine beliebige Gerade, dass sie mit dem Oval entweder keinen Punkt (Passante), genau einen Punkt (Tangente) oder genau zwei Punkte (Sekante) gemeinsam hat.

Beispiele und Konstruktionen Bearbeiten

Ovale können mit völlig unterschiedlichen Verfahren konstruiert werden. Eine Reihe von Konstruktionsverfahren erhält man aus den verschiedenen Konstruktionsverfahren für Ellipsen, die man jeweils an einer geeigneten Stelle leicht modifiziert.

Man kann eine Ellipse erzeugen, indem man einen Kegel mit einer Ebene schneidet (siehe Kegelschnitte). Verwendet man nun statt des Kegels bestimmte andere Rotationskörper, beispielsweise eine rotierte Hyperbel, so erhält man bei einem Schnitt mit einer Ebene auch von Ellipsen verschiedene Ovale. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die konstanten Parameter und (Längen der Halbachsen) einer Ellipse in ihrer Parameterdarstellung oder in ihrer algebraischen Gleichung durch Funktionen zu ersetzen.

Man kann eine Ellipse als die Menge der Punkte definieren, für die die Summe der Abstände zu den beiden Brennpunkten und konstant ist . Ersetzt man nun diese Summe der Abstände durch eine gewichtete Summe , so bildet die Punktmenge ein Oval, das nur noch eine Symmetrieachse besitzt, auf der ein spitzes und ein stumpfes Ende liegen. Ein solches Oval wird auch als Kartesisches Oval bezeichnet.

Das Konstruktionsverfahren von de La Hire erzeugt eine Ellipse mit Hilfe zweier konzentrischer Kreise. Verschiebt man nun den Mittelpunkt des äußeren Kreises ein wenig und behält sonst aber die restlichen Schritte des Konstruktionsverfahrens bei, dann erhält man ein (neues) Oval. Dieses besitzt eine Symmetrieachse, wenn man den Mittelpunkt des äußeren Kreises entlang der Ellipsenachsen verschiebt. Verschiebt man den Mittelpunkt außerhalb der Achsen, dann entsteht ein Oval ohne Symmetrieachsen.

Die Lösungsmenge einer Gleichung mit zwei Unbekannten beziehungsweise bestimmte Teilmengen von ihr lassen sich oft als Kurven in der Ebene auffassen. Bei einer geeigneten Gleichung erhält man dabei ein Oval. Wenn eine solche Lösungskurve kein Oval ist, dafür aber eine konvexe Schlaufe besitzt, so kann durch Hinzufügen eines Korrekturterms aus der Schlaufe ein Oval erzeugt werden.

Ovale aus Kreisbögen und Geraden Bearbeiten

Ovale lassen sich auch aus Kreisbögen und Geradenstücken zusammensetzen. Allerdings besitzen solche Ovale eine geringere Glattheit als in der obigen Definition gefordert, da sie lediglich in liegen. Die Krümmung ist auf den Teilabschnitten konstant und an den Nahtstellen existiert keine gemeinsame Krümmung, sondern lediglich eine gemeinsame Tangente. Bestehen solche Ovale lediglich aus Kreisbögen und besitzen genau eine Symmetrieachse, so spricht man auch von euklidischen Eiern. Ein Beispiel hierfür ist das Moss-Ei.

Ovale zusammengesetzt aus Kreisbögen und Geradenstücken

Ovale in Natur, Technik und Kultur Bearbeiten

Für Beispiele ovaler Grundrisse in der Architektur siehe:

Literatur Bearbeiten

  • A.B. Ivanov: Oval. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  • Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel: Elementare Differentialgeometrie mit Maple. Vieweg+Teubner-Verlag, 1998, ISBN 3-528-06991-0, S. 43 ff. (Auszug in der Google-Buchsuche)
  • Volkmar Wünsch: Differentialgeometrie: Kurven und Flächen. Vieweg+Teubner-Verlag 1997, ISBN 3-8154-2095-4, S. 92 ff. (Auszug in der Google-Buchsuche)
  • John A. Adam: A Mathematical Nature Walk. Princeton University Press, 2009, ISBN 0-691-12895-2, S. 124–136
  • Oval. In: Charles Hutton: A Philosophical and Mathematical Dictionary. Band 2. 1815, S. 141; Textarchiv – Internet Archive.
  • Arnold Emch: Some Properties of Closed Convex Curves in a Plane. In: American Journal of Mathematics, Oktober, 1913, Band 35, Nr. 4, S. 407–41 (JSTOR:2370404)
  • N. Hansen Ball: On Ovals. In: The American Mathematical Monthly, August–September 1930, Band 37, Nr. 7, S. 348–353 (JSTOR:2299271)
  • Alexander J. Hahn: Mathematical excursions to the world’s great buildings. Princeton University Press, 2012, S. 36–39, 169–171
  • Angelo Alessandro Mazzotti: All Sides to an Oval. Springer, 2017, ISBN 978-3-319-39374-2
  • Robert A. Dixon: Mathographics. Dover, 1991, ISBN 9780486266398, S. 3–12, 76, 159, 161

Weblinks Bearbeiten

Commons: Ovale – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Heinrich Behnke: Fundamentals of Mathematics. MIT Press 1974, ISBN 0-262-02069-6, S. 572 (Auszug in der Google-Buchsuche)
  2. Oval in der Encyclopaedia of Mathematics (englisch)
  3. Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel: Elementare Differentialgeometrie mit Maple. Vieweg+Teubner Verlag, 1998, ISBN 3-528-06991-0, S. 43 ff. (Auszug in der Google-Buchsuche)
  4. Volkmar Wünsch: Differentialgeometrie: Kurven und Flächen. Vieweg+Teubner Verlag, 1997, ISBN 3-8154-2095-4, S. 92 ff. (Auszug in der Google-Buchsuche)
  5. Catherine Cavagnaro, William T. Haight: Dictionary of Classical and Theoretical Mathematics. CRC Press, 2001, ISBN 1-58488-050-3, S. 88 (Auszug in der Google-Buchsuche)
  6. Robert Clarke James, Glenn James: Math Dictionary. Springer, 1992, ISBN 0-412-99041-5, S. 300 (Auszug in der Google-Buchsuche)
  7. Ian R. Porteous: Geometric Differentiation. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-00264-8, S. 36 (Auszug in der Google-Buchsuche)
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Veröffentlichungsdatum:
Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Weitere Bedeutungen sind unter Oval Begriffsklarung aufgefuhrt Der Begriff Oval lateinisch ovum Ei bezeichnet eine ebene rundliche konvexe Figur die im weitesten Sinne dem Profil eines Vogeleis ahnelt Sie umfasst Kreise und Ellipsen als Spezialfalle wobei ein beliebiges Oval im Gegensatz zu diesen keine Symmetrieachse besitzen muss Oval mit einer SymmetrieachseKlassendiagramm einiger Ovale Von oben nach unten werden die Kurven immer spezieller Die Verwendung des Begriffs ist nicht immer ganz einheitlich gelegentlich wird er auch rein beschreibend verwandt In der Analysis lasst er sich jedoch formal mit Hilfe ebener Kurven definieren in diesem Zusammenhang spricht man dann auch von Eikurven oder Eilinien Ein dreidimensionaler rundlicher konvexer Korper allgemeiner auch eine abgeschlossene konvexe Teilmenge des R n displaystyle mathbb R n wird als Ovoid bezeichnet 1 In diesem Sinne ist ein Oval mit seinem Inneren dann ein zweidimensionales Ovoid In der projektiven Geometrie werden die Begriffe Oval und Ovoid ohne Differenzierbarkeits und Konvexitatsbedingungen ausschliesslich mit Hilfe von Inzidenzbedingungen Jede Gerade trifft ein Oval bzw Ovoid in hochstens 2 Punkten als quadratische Mengen definiert Ein Oval wie es im vorliegenden Artikel erlautert wird ist im projektiven Abschluss der reellen Ebene stets ein Oval im Sinne der projektiven Definition falls man zusatzlich verlangt dass die Krummung des Ovals auf keinem Abschnitt verschwindet Ein solches Oval ist dann der Rand einer streng konvexen Menge d h es enthalt keine Geradenstucke Inhaltsverzeichnis 1 Formale Definition und Eigenschaften 2 Beispiele und Konstruktionen 3 Ovale aus Kreisbogen und Geraden 4 Ovale in Natur Technik und Kultur 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseFormale Definition und Eigenschaften Bearbeiten nbsp Oval ohne SymmetrieachsenDie rundliche Form eines Ovals erhalt man indem man fur eine geschlossene Kurve Glattheit und Konvexitat verlangt s glattes konvexes Oval im Klassendiagramm Dies fuhrt dann zu der folgenden Definition Eine geschlossene zweimal stetig differenzierbare konvexe Kurve in der Ebene heisst Oval auch Eikurve oder Eilinie 2 3 4 Diese Definition erfasst jedoch nicht alle geometrischen Figuren die gelegentlich als Ovale bezeichnet werden So erfullen zum Beispiel Ovale die aus unterschiedlichen Kreisbogen zusammengesetzt sind diese Definition nicht da ihre zweite Ableitung nicht auf der gesamten Kurve stetig ist Mochte man auch solche Falle erfassen so muss man Abstriche an die Glattheit der Kurve machen Differentiationsklasse C 0 displaystyle C 0 nbsp oder C 1 displaystyle C 1 nbsp statt C 2 displaystyle C 2 nbsp Gelegentlich wird daher auch nur die Konvexitat gefordert 5 6 Dies hat jedoch den Nachteil dass die Definition dann auch Figuren umfasst die man normalerweise kaum als eiformig empfindet wie zum Beispiel konvexe Polygone Ein Oval im Sinne der obigen Definition besitzt die folgenden Eigenschaften nbsp Oval mit Tangente Sekante und PassanteEin Oval ist eine Jordan Kurve d h es besitzt keine Schlingen oder Schlaufen Die orientierte Krummung eines Ovals besitzt keinen Vorzeichenwechsel d h je nach Durchlaufsinn ist die orientierte Krummung fur jeden Punkt des Ovals entweder nichtnegativ oder nichtpositiv Anschaulich bedeutet dies dass es keine Wendungen oder Einbuchtungen besitzt Man kann es nur in einer reinen Linkskurve bzw Rechtskurve durchlaufen Das Innere eines Ovals ist eine konvexe Menge und das Oval bildet deren Rand Fur Ovale gilt der Vierscheitelsatz das heisst die Krummung eines Ovals besitzt mindestens vier Extremstellen 7 Besitzt ein Punkt des Ovals eine Tangente so befindet sich das gesamte Oval auf einer Seite der Tangente Verlangt man zusatzlich dass die Krummung des Ovals auf keinem Abschnitt verschwindet das heisst die Krummung nimmt hochstens in isolierten Punkten den Wert Null an dann existiert in jedem Punkt des Ovals die obige Tangente Allgemeiner gilt dann fur eine beliebige Gerade dass sie mit dem Oval entweder keinen Punkt Passante genau einen Punkt Tangente oder genau zwei Punkte Sekante gemeinsam hat Beispiele und Konstruktionen BearbeitenOvale konnen mit vollig unterschiedlichen Verfahren konstruiert werden Eine Reihe von Konstruktionsverfahren erhalt man aus den verschiedenen Konstruktionsverfahren fur Ellipsen die man jeweils an einer geeigneten Stelle leicht modifiziert Man kann eine Ellipse erzeugen indem man einen Kegel mit einer Ebene schneidet siehe Kegelschnitte Verwendet man nun statt des Kegels bestimmte andere Rotationskorper beispielsweise eine rotierte Hyperbel so erhalt man bei einem Schnitt mit einer Ebene auch von Ellipsen verschiedene Ovale Eine weitere Moglichkeit besteht darin die konstanten Parameter a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp Langen der Halbachsen einer Ellipse in ihrer Parameterdarstellung a cos t b sin t displaystyle a cdot cos t b cdot sin t nbsp oder in ihrer algebraischen Gleichung x 2 a 2 y 2 b 2 1 displaystyle tfrac x 2 a 2 tfrac y 2 b 2 1 nbsp durch Funktionen zu ersetzen Man kann eine Ellipse als die Menge der Punkte P displaystyle P nbsp definieren fur die die Summe der Abstande zu den beiden Brennpunkten F 1 displaystyle F 1 nbsp und F 2 displaystyle F 2 nbsp konstant ist F 1 P F 2 P 2 a displaystyle left F 1 P F 2 P 2a right nbsp Ersetzt man nun diese Summe der Abstande durch eine gewichtete Summe k 1 F 1 P k 2 F 2 P 2 a displaystyle left k 1 cdot F 1 P k 2 cdot F 2 P 2a right nbsp so bildet die Punktmenge ein Oval das nur noch eine Symmetrieachse besitzt auf der ein spitzes und ein stumpfes Ende liegen Ein solches Oval wird auch als Kartesisches Oval bezeichnet Das Konstruktionsverfahren von de La Hire erzeugt eine Ellipse mit Hilfe zweier konzentrischer Kreise Verschiebt man nun den Mittelpunkt des ausseren Kreises ein wenig und behalt sonst aber die restlichen Schritte des Konstruktionsverfahrens bei dann erhalt man ein neues Oval Dieses besitzt eine Symmetrieachse wenn man den Mittelpunkt des ausseren Kreises entlang der Ellipsenachsen verschiebt Verschiebt man den Mittelpunkt ausserhalb der Achsen dann entsteht ein Oval ohne Symmetrieachsen nbsp Ellipse x 2 4 y 2 1 1 displaystyle frac x 2 4 frac y 2 1 1 nbsp nbsp x 2 4 y 2 1 0 2 x 1 displaystyle frac x 2 4 frac y 2 1 0 2 cdot x 1 nbsp nbsp Ellipse F 1 P F 2 P 22 84 displaystyle F 1 P F 2 P 22 84 nbsp nbsp F 1 P 1 43 F 2 P 22 84 displaystyle F 1 P textbf 1 43 cdot F 2 P 22 84 nbsp nbsp Konstruktion mit konzentrischen Kreisen nbsp Konstruktion mit exzentrischen KreisenDie Losungsmenge einer Gleichung mit zwei Unbekannten beziehungsweise bestimmte Teilmengen von ihr lassen sich oft als Kurven in der Ebene auffassen Bei einer geeigneten Gleichung erhalt man dabei ein Oval Wenn eine solche Losungskurve kein Oval ist dafur aber eine konvexe Schlaufe besitzt so kann durch Hinzufugen eines Korrekturterms aus der Schlaufe ein Oval erzeugt werden nbsp Elliptische Kurve y 2 x 1 x 2 x 3 displaystyle y 2 x 1 cdot x 2 cdot x 3 nbsp nbsp Lamesches Oval x 2 4 y 1 4 1 displaystyle left frac x 2 right 4 left frac y 1 right 4 1 nbsp nbsp Lemniskate x 2 y 2 2 x 2 y 2 0 displaystyle x 2 y 2 2 x 2 y 2 0 nbsp nbsp Cassinische Kurve x 2 y 2 2 x 2 y 2 0 01 0 displaystyle x 2 y 2 2 x 2 y 2 textbf 0 01 0 nbsp nbsp Szego Kurve x 2 y 2 e 2 x 2 displaystyle x 2 y 2 e 2 cdot x 2 nbsp nbsp x 2 y 2 0 02 e 2 x 2 displaystyle x 2 y 2 textbf 0 02 e 2 cdot x 2 nbsp nbsp Kartesisches Blatt x 3 y 3 3 x y displaystyle x 3 y 3 3 cdot x cdot y nbsp nbsp x 3 y 3 0 06 3 x y displaystyle x 3 y 3 textbf 0 06 3 cdot x cdot y nbsp Ovale aus Kreisbogen und Geraden BearbeitenOvale lassen sich auch aus Kreisbogen und Geradenstucken zusammensetzen Allerdings besitzen solche Ovale eine geringere Glattheit als in der obigen Definition gefordert da sie lediglich in C 1 displaystyle C 1 nbsp liegen Die Krummung ist auf den Teilabschnitten konstant und an den Nahtstellen existiert keine gemeinsame Krummung sondern lediglich eine gemeinsame Tangente Bestehen solche Ovale lediglich aus Kreisbogen und besitzen genau eine Symmetrieachse so spricht man auch von euklidischen Eiern Ein Beispiel hierfur ist das Moss Ei nbsp nbsp nbsp nbsp Ovale zusammengesetzt aus Kreisbogen und GeradenstuckenOvale in Natur Technik und Kultur BearbeitenFur Beispiele ovaler Grundrisse in der Architektur siehe Kategorie Ovalkirche Fort Boyard Skulpturenhalle Neuss Modellbau zu Malsch JaBee TowerLiteratur BearbeitenA B Ivanov Oval In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Helmut Reckziegel Markus Kriener Knut Pawel Elementare Differentialgeometrie mit Maple Vieweg Teubner Verlag 1998 ISBN 3 528 06991 0 S 43 ff Auszug in der Google Buchsuche Volkmar Wunsch Differentialgeometrie Kurven und Flachen Vieweg Teubner Verlag 1997 ISBN 3 8154 2095 4 S 92 ff Auszug in der Google Buchsuche John A Adam A Mathematical Nature Walk Princeton University Press 2009 ISBN 0 691 12895 2 S 124 136 Oval In Charles Hutton A Philosophical and Mathematical Dictionary Band 2 1815 S 141 Textarchiv Internet Archive Arnold Emch Some Properties of Closed Convex Curves in a Plane In American Journal of Mathematics Oktober 1913 Band 35 Nr 4 S 407 41 JSTOR 2370404 N Hansen Ball On Ovals In The American Mathematical Monthly August September 1930 Band 37 Nr 7 S 348 353 JSTOR 2299271 Alexander J Hahn Mathematical excursions to the world s great buildings Princeton University Press 2012 S 36 39 169 171 Angelo Alessandro Mazzotti All Sides to an Oval Springer 2017 ISBN 978 3 319 39374 2 Robert A Dixon Mathographics Dover 1991 ISBN 9780486266398 S 3 12 76 159 161Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Ovale Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Eric W Weisstein Oval In MathWorld englisch Norbert Harthun Iris Rennert Die Ei Kurve als Schnitt des Hyperbolischen Kegels PDF 158 kB Egg curves auf mathematische basteleien de englisch Paul L Rosin On the Construction of Ovals PDF 395 kB users cs cf ac uk englisch Andre Heck Mathematical Brooding over an Egg In Loci Online Journal der MAA August 2008 Egg Math Sammlung von webbasierten Unterrichtseinheiten zur Mathematik rundum das Ei englisch Einzelnachweise Bearbeiten Heinrich Behnke Fundamentals of Mathematics MIT Press 1974 ISBN 0 262 02069 6 S 572 Auszug in der Google Buchsuche Oval in der Encyclopaedia of Mathematics englisch Helmut Reckziegel Markus Kriener Knut Pawel Elementare Differentialgeometrie mit Maple Vieweg Teubner Verlag 1998 ISBN 3 528 06991 0 S 43 ff Auszug in der Google Buchsuche Volkmar Wunsch Differentialgeometrie Kurven und Flachen Vieweg Teubner Verlag 1997 ISBN 3 8154 2095 4 S 92 ff Auszug in der Google Buchsuche Catherine Cavagnaro William T Haight Dictionary of Classical and Theoretical Mathematics CRC Press 2001 ISBN 1 58488 050 3 S 88 Auszug in der Google Buchsuche Robert Clarke James Glenn James Math Dictionary Springer 1992 ISBN 0 412 99041 5 S 300 Auszug in der Google Buchsuche Ian R Porteous Geometric Differentiation Cambridge University Press 2001 ISBN 0 521 00264 8 S 36 Auszug in der Google Buchsuche Normdaten Sachbegriff GND 4194780 0 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Oval amp oldid 235114945