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Ovoid Projektive Geometrie Ein Ovoid ist in der projektiven Geometrie eine kugelähnliche Punktmenge Fläche in einem proj

Ovoid (Projektive Geometrie)

Ein Ovoid ist in der projektiven Geometrie eine kugelähnliche Punktmenge (Fläche) in einem projektiven Raum der Dimension . Ein Ovoid ist das räumliche Analogon zu einem Oval in einer projektiven Ebene. Die einfachsten Beispiele in reellen projektiven Räumen sind Hyperkugeln (Quadriken).

Zur Definition eines Ovoids:
t Tangente, s Sekante

Die wesentlichen geometrischen Eigenschaften eines Ovoids sind:

1) Eine Gerade trifft in höchstens 2 Punkten,

2) die Tangenten in einem Punkt überdecken eine Hyperebene (und nicht mehr),

3) enthält keine Geraden.

Eigenschaft 2) schließt ausgeartete Fälle (Kegel, …) aus. Eigenschaft 3) schließt Regelflächen (z. B. einschalige Hyperboloide) aus.

Auf der einen Seite macht die Tatsache, dass es keine nicht-desarguesschen projektiven Räume gibt, die Diskussion gegenüber dem ebenen Fall (es gibt nicht-desarguessche Ebenen) einfacher, andererseits gibt es nicht in jedem pappusschen Raum (projektiver Raum über einem Körper) eine Quadrik, die ein Ovoid ist. (In jeder pappusschen Ebene aber gibt es ovale Kegelschnitte!)

Ein Ovoid ist aufgrund der Definition eine spezielle quadratische Menge.

Ovoide spielen bei der Konstruktion von Möbius-Ebenen bzw. Möbius-Räumen eine wesentliche Rolle.

Definition eines Ovoids Bearbeiten

  • Eine Menge von Punkten in einem projektiven Raum der Dimension heißt Ovoid, wenn gilt:

Ein Ovoid ist bezüglich der Hyperebenenschnitte eine homogene Struktur, denn es gilt

  • Ist ein Ovoid und eine Hyperebene, die wenigstens 2 Punkte von enthält, so ist ein Ovoid (Oval, falls d=3) in der Hyperebene .

Für endliche projektive Räume der Dimension (d. h., Punktmenge und Geradenmenge sind endlich, der Raum ist über einem Körper koordinatisierbar) gilt:

  • Ist ein Ovoid in einem endlichen projektiven Raum der Dimension , so ist .
  • In einem projektiven Raum der Ordnung (d. h., jede Gerade enthält Punkte) und Dimension ist eine Menge von Punkten genau dann ein Ovoid, wenn ist und keine drei Punkte von kollinear (auf einer Gerade) liegen.

Ersetzt man in der Definition das Wort projektiv durch affin, so erhält man die Definition eines affinen Ovoids.

Gibt es zu einem (projektiven) Ovoid eine passante Hyperebene, so kann man diese als Fernhyperebene erklären und das Ovoid ist in dem zugehörigen affinen Raum ein affines Ovoid. Umgekehrt ist jedes affine Ovoid in dem projektiven Abschluss (Zufügen einer Fernhyperebene) ein (projektives) Ovoid.

Beispiele Bearbeiten

Im reellen projektiven Raum (inhomogene Darstellung) Bearbeiten

  1. (Hyperkugel)

Die beiden Beispiele sind Quadriken und projektiv äquivalent. (Siehe hierzu auch die Beispiele in Oval.)

Wie bei Ovalen erhält man hier einfache Beispiele, die keine Quadriken sind:

Bemerkung: Die reellen Beispiele lassen sich nicht auf den komplexen Fall (Räume über ) übertragen. In komplexen projektiven Räumen der Dimension gibt es keine ovoidalen Quadriken. Im komplexen Fall liegen auf einer nichtausgearteten Quadrik immer Geraden.

Aber es gilt:

  • In jedem nicht-endlichen projektiven Raum lassen sich mit Hilfe transfiniter Induktion Ovoide nachweisen.

Endliche Beispiele Bearbeiten

  • Ist ein Ovoid in einem endlichen projektiven Raum der Dimension über einem Körper der Charakteristik , so ist eine Quadrik.

Dass das letzte Resultat im geraden Fall falsch ist, zeigen die folgenden Beispiele:

  • Es sei ungerade und der Automorphismus

Dann ist

Wann ist ein Ovoid eine Quadrik? Bearbeiten

Eine ovoidale Quadrik zeichnet sich durch besonders viele Symmetrien aus. Es gilt:

  • Es sei ein Ovoid in einem projektiven Raum und eine Hyperebene eines mindestens 2-dimensionalen desargueschen projektiven Raums (im 2-dim. Fall ist ein Oval) der Charakteristik . Liegt das Ovoid symmetrisch zu jedem Punkt (d. h., es gibt eine involutorische Perspektivität mit Zentrum , die invariant lässt), so ist pappussch und eine Quadrik.
  • Ein Ovoid in einem pappusschen projektiven Raum ist eine Quadrik, wenn die Gruppe der invariant lassenden Projektivitäten auf 3-fach transitiv operiert, d. h., zu 2 Tripeln von Punkten gibt es eine Projektivität mit .

Im endlichen Fall folgt aus dem Satz von Segre:

  • Es sei ein Ovoid in einem endlichen desargueschen projektiven 3-dimensionalen Raum ungerader Ordnung. Dann ist pappussch und eine Quadrik.

Verallgemeinerung: Halbovoid Bearbeiten

Lässt man bei der Definition eines Ovoids die Bedingung (1) weg, so erhält man die Definition eines Halbovoids:

Halb hat also hier keine mengenmäßige Bedeutung, sondern bedeutet schwächere Voraussetzungen.

Ein Halbovoid ist eine spezielle hermitesche Menge (engl.: semi quadratic set), die eine Verallgemeinerung der quadratischen Menge ist. Die Eigenschaft, die eine hermitesche von einer quadratischen Menge unterscheidet, ist, dass eine Gerade mit einer hermiteschen Menge mehr als 2 Punkte gemeinsam haben kann ohne, dass sie ganz enthalten ist.

Beispiele von Halbovoiden sind isotrope Punktmengen von hermiteschen Formen, sog. hermitesche Quadriken.

Auch für Halbovoide findet man in der Literatur Kriterien, wann ein Halbovoid eine hermitesche Quadrik ist. (z. B.)

Halbovoide werden analog den ovoidalen Möbiusebenen, zur Konstruktion von Möbius-Geometrien verwendet.

Weblinks Bearbeiten

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. P. Dembowski: Finite Geometries. Springer-Verlag, 1968, ISBN 3-540-61786-8, S. 28
  2. P. Dembowski: Finite Geometries. Springer-Verlag, 1968, ISBN 3-540-61786-8, S. 48
  3. P. Dembowski: Finite Geometries. Springer-Verlag, 1968, ISBN 3-540-61786-8, S. 48
  4. W. Heise: Bericht über -affine Geometrien, Journ. of Geometry 1 (1971), S. 197–224, Satz 3.4.
  5. P. Dembowski: Finite Geometries. Springer-Verlag, 1968, ISBN 3-540-61786-8, S. 49
  6. P. Dembowski: Finite Geometries. Springer-Verlag, 1968, ISBN 3-540-61786-8, S. 52
  7. H. Mäurer: Ovoide mit Symmetrien an den Punkten einer Hyperebene, Abh. Math. Sem. Hamburg 45 (1976), S. 237–244
  8. J. Tits: Ovoides à Translations, Rend. Mat. 21 (1962), S. 37–59.
  9. F. Buekenhout: A Characterization of Semi Quadrics, Atti dei Convegni Lincei 17 (1976), S. 393–421.
  10. K.J. Dienst: Kennzeichnung hermitescher Quadriken durch Spiegelungen, Beiträge zur geometrischen Algebra (1977), Birkhäuser-Verlag, S. 83–85.
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Ovoid ist in der projektiven Geometrie eine kugelahnliche Punktmenge Flache in einem projektiven Raum der Dimension n 3 displaystyle n geq 3 Ein Ovoid ist das raumliche Analogon zu einem Oval in einer projektiven Ebene Die einfachsten Beispiele in reellen projektiven Raumen sind Hyperkugeln Quadriken Zur Definition eines Ovoids t Tangente s SekanteDie wesentlichen geometrischen Eigenschaften eines Ovoids O displaystyle mathcal O sind 1 Eine Gerade trifft O displaystyle mathcal O in hochstens 2 Punkten 2 die Tangenten in einem Punkt uberdecken eine Hyperebene und nicht mehr 3 O displaystyle mathcal O enthalt keine Geraden Eigenschaft 2 schliesst ausgeartete Falle Kegel aus Eigenschaft 3 schliesst Regelflachen z B einschalige Hyperboloide aus Auf der einen Seite macht die Tatsache dass es keine nicht desarguesschen projektiven Raume gibt die Diskussion gegenuber dem ebenen Fall es gibt nicht desarguessche Ebenen einfacher andererseits gibt es nicht in jedem pappusschen Raum projektiver Raum uber einem Korper eine Quadrik die ein Ovoid ist In jeder pappusschen Ebene aber gibt es ovale Kegelschnitte Ein Ovoid ist aufgrund der Definition eine spezielle quadratische Menge Ovoide spielen bei der Konstruktion von Mobius Ebenen bzw Mobius Raumen eine wesentliche Rolle Inhaltsverzeichnis 1 Definition eines Ovoids 2 Beispiele 2 1 Im reellen projektiven Raum inhomogene Darstellung 2 2 Endliche Beispiele 3 Wann ist ein Ovoid eine Quadrik 4 Verallgemeinerung Halbovoid 5 Weblinks 6 Siehe auch 7 EinzelnachweiseDefinition eines Ovoids BearbeitenEine Menge O displaystyle mathcal O nbsp von Punkten in einem projektiven Raum der Dimension 3 displaystyle geq 3 nbsp heisst Ovoid wenn gilt 1 Eine beliebige Gerade g displaystyle g nbsp trifft O displaystyle mathcal O nbsp in hochstens 2 Punkten Falls g O 0 displaystyle g cap mathcal O 0 nbsp ist heisst g displaystyle g nbsp Passante falls g O 1 displaystyle g cap mathcal O 1 nbsp ist heisst g displaystyle g nbsp Tangente und falls g O 2 displaystyle g cap mathcal O 2 nbsp ist heisst g displaystyle g nbsp Sekante 2 Fur jeden Punkt P O displaystyle P in mathcal O nbsp gilt Die Tangenten in P displaystyle P nbsp uberdecken genau eine Hyperebene die Tangential Hyperebene projektiver Unterraum der Dimension n 1 displaystyle n 1 nbsp 3 O displaystyle mathcal O nbsp enthalt keine Geraden Ein Ovoid ist bezuglich der Hyperebenenschnitte eine homogene Struktur denn es gilt Ist O displaystyle mathcal O nbsp ein Ovoid und e displaystyle varepsilon nbsp eine Hyperebene die wenigstens 2 Punkte von O displaystyle mathcal O nbsp enthalt so ist e O displaystyle varepsilon cap mathcal O nbsp ein Ovoid Oval falls d 3 in der Hyperebene e displaystyle varepsilon nbsp Fur endliche projektive Raume der Dimension d 3 displaystyle d geq 3 nbsp d h Punktmenge und Geradenmenge sind endlich der Raum ist uber einem Korper koordinatisierbar 1 gilt Ist O displaystyle mathcal O nbsp ein Ovoid in einem endlichen projektiven Raum der Dimension d 3 displaystyle d geq 3 nbsp so ist d 3 displaystyle color red d 3 nbsp Es gibt also im endlichen Fall nur im 3 dimensionalen Raum Ovoide 2 In einem projektiven Raum der Ordnung n gt 2 displaystyle n gt 2 nbsp d h jede Gerade enthalt n 1 displaystyle n 1 nbsp Punkte und Dimension d 3 displaystyle d color red 3 nbsp ist eine Menge von Punkten O displaystyle mathcal O nbsp genau dann ein Ovoid wenn O n 2 1 displaystyle mathcal O n 2 1 nbsp ist und keine drei Punkte von O displaystyle mathcal O nbsp kollinear auf einer Gerade liegen 3 Ersetzt man in der Definition das Wort projektiv durch affin so erhalt man die Definition eines affinen Ovoids Gibt es zu einem projektiven Ovoid eine passante Hyperebene so kann man diese als Fernhyperebene erklaren und das Ovoid ist in dem zugehorigen affinen Raum ein affines Ovoid Umgekehrt ist jedes affine Ovoid in dem projektiven Abschluss Zufugen einer Fernhyperebene ein projektives Ovoid Beispiele BearbeitenIm reellen projektiven Raum inhomogene Darstellung Bearbeiten O x 1 x d R d x 1 2 x d 2 1 displaystyle mathcal O x 1 x d in mathbb R d x 1 2 cdots x d 2 1 nbsp Hyperkugel O x 1 x d R d x d x 1 2 x d 1 2 Fernpunkt der x d Achse displaystyle mathcal O x 1 x d in mathbb R d x d x 1 2 cdots x d 1 2 cup text Fernpunkt der x d text Achse nbsp Die beiden Beispiele sind Quadriken und projektiv aquivalent Siehe hierzu auch die Beispiele in Oval Wie bei Ovalen erhalt man hier einfache Beispiele die keine Quadriken sind a Man fuge eine halbe Hyperkugel und ein halbes Hyperellipsoid glatt zusammen b Man ersetze in den ersten beiden Beispielen den Term x 1 2 displaystyle x 1 2 nbsp durch x 1 4 displaystyle x 1 4 nbsp Bemerkung Die reellen Beispiele lassen sich nicht auf den komplexen Fall Raume uber C displaystyle mathbb C nbsp ubertragen In komplexen projektiven Raumen der Dimension d 3 displaystyle d geq 3 nbsp gibt es keine ovoidalen Quadriken Im komplexen Fall liegen auf einer nichtausgearteten Quadrik immer Geraden Aber es gilt In jedem nicht endlichen projektiven Raum lassen sich mit Hilfe transfiniter Induktion Ovoide nachweisen 4 Endliche Beispiele Bearbeiten Ist O displaystyle mathcal O nbsp ein Ovoid in einem endlichen projektiven Raum der Dimension d 3 displaystyle d 3 nbsp uber einem Korper K displaystyle K nbsp der Charakteristik 2 displaystyle color red neq 2 nbsp so ist O displaystyle mathcal O nbsp eine Quadrik 5 Dass das letzte Resultat im geraden Fall falsch ist zeigen die folgenden Beispiele Es sei K G F 2 m m displaystyle K GF 2 m m nbsp ungerade und s displaystyle sigma nbsp der Automorphismus x x 2 m 1 2 displaystyle x mapsto x 2 frac m 1 2 nbsp Dann ist O x y z K 3 z x y x 2 x s y s Fernpunkt der z Achse displaystyle mathcal O x y z in K 3 z xy x 2 x sigma y sigma cup text Fernpunkt der z text Achse nbsp ein Ovoid im 3 dimensionalen projektiven Raum uber K displaystyle K nbsp in inhomogenen Koordinaten O displaystyle mathcal O nbsp ist nur im Fall m 1 displaystyle m 1 nbsp eine Quadrik 6 O displaystyle mathcal O nbsp heisst Tits Suzuki Ovoid Wann ist ein Ovoid eine Quadrik BearbeitenEine ovoidale Quadrik zeichnet sich durch besonders viele Symmetrien aus Es gilt Es sei O displaystyle mathcal O nbsp ein Ovoid in einem projektiven Raum P displaystyle mathfrak P nbsp und e displaystyle varepsilon nbsp eine Hyperebene eines mindestens 2 dimensionalen desargueschen projektiven Raums im 2 dim Fall ist O displaystyle mathcal O nbsp ein Oval der Charakteristik 2 displaystyle neq 2 nbsp Liegt das Ovoid symmetrisch zu jedem Punkt P e O displaystyle P in varepsilon setminus mathcal O nbsp d h es gibt eine involutorische Perspektivitat mit Zentrum P displaystyle P nbsp die O displaystyle mathcal O nbsp invariant lasst so ist P displaystyle mathfrak P nbsp pappussch und O displaystyle mathcal O nbsp eine Quadrik 7 Ein Ovoid O displaystyle mathcal O nbsp in einem pappusschen projektiven Raum ist eine Quadrik wenn die Gruppe der O displaystyle mathcal O nbsp invariant lassenden Projektivitaten auf O displaystyle mathcal O nbsp 3 fach transitiv operiert d h zu 2 Tripeln von Punkten A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 displaystyle A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 nbsp gibt es eine Projektivitat p displaystyle pi nbsp mit p A i B i i 1 2 3 displaystyle pi A i B i i 1 2 3 nbsp 8 Im endlichen Fall folgt aus dem Satz von Segre Es sei O displaystyle mathcal O nbsp ein Ovoid in einem endlichen desargueschen projektiven 3 dimensionalen Raum P displaystyle mathfrak P nbsp ungerader Ordnung Dann ist P displaystyle mathfrak P nbsp pappussch und O displaystyle mathcal O nbsp eine Quadrik Verallgemeinerung Halbovoid BearbeitenLasst man bei der Definition eines Ovoids die Bedingung 1 weg so erhalt man die Definition eines Halbovoids Eine Punktmenge O displaystyle mathcal O nbsp eines projektiven Raums heisst Halbovoid engl semi ovoid wenn gilt HO1 Fur jeden Punkt P O displaystyle P in mathcal O nbsp gilt Die Tangenten Geraden die mit O displaystyle mathcal O nbsp nur einen Punkt gemeinsam haben in P displaystyle P nbsp uberdecken genau eine Hyperebene HO2 O displaystyle mathcal O nbsp enthalt keine Geraden Halb hat also hier keine mengenmassige Bedeutung sondern bedeutet schwachere Voraussetzungen Ein Halbovoid ist eine spezielle hermitesche Menge engl semi quadratic set 9 die eine Verallgemeinerung der quadratischen Menge ist Die Eigenschaft die eine hermitesche von einer quadratischen Menge unterscheidet ist dass eine Gerade mit einer hermiteschen Menge mehr als 2 Punkte gemeinsam haben kann ohne dass sie ganz enthalten ist Beispiele von Halbovoiden sind isotrope Punktmengen von hermiteschen Formen sog hermitesche Quadriken Auch fur Halbovoide findet man in der Literatur Kriterien wann ein Halbovoid eine hermitesche Quadrik ist z B 10 Halbovoide werden analog den ovoidalen Mobiusebenen zur Konstruktion von Mobius Geometrien verwendet Weblinks BearbeitenE Hartmann Planar Circle Geometries an Introduction to Moebius Laguerre and Minkowski Planes Skript TH Darmstadt PDF 891 kB S 121 123 Siehe auch BearbeitenOval Projektive Geometrie Mobius EbeneEinzelnachweise Bearbeiten P Dembowski Finite Geometries Springer Verlag 1968 ISBN 3 540 61786 8 S 28 P Dembowski Finite Geometries Springer Verlag 1968 ISBN 3 540 61786 8 S 48 P Dembowski Finite Geometries Springer Verlag 1968 ISBN 3 540 61786 8 S 48 W Heise Bericht uber k displaystyle kappa nbsp affine Geometrien Journ of Geometry 1 1971 S 197 224 Satz 3 4 P Dembowski Finite Geometries Springer Verlag 1968 ISBN 3 540 61786 8 S 49 P Dembowski Finite Geometries Springer Verlag 1968 ISBN 3 540 61786 8 S 52 H Maurer Ovoide mit Symmetrien an den Punkten einer Hyperebene Abh Math Sem Hamburg 45 1976 S 237 244 J Tits Ovoides a Translations Rend Mat 21 1962 S 37 59 F Buekenhout A Characterization of Semi Quadrics Atti dei Convegni Lincei 17 1976 S 393 421 K J Dienst Kennzeichnung hermitescher Quadriken durch Spiegelungen Beitrage zur geometrischen Algebra 1977 Birkhauser Verlag S 83 85 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ovoid Projektive Geometrie amp oldid 233385614