−1 ist in der Mathematik die additive Inverse der 1, das heißt, wenn es zu 1 addiert wird, erhält man das neutrale Element der Addition 0. Es ist eine negative ganze Zahl, die größer als minus zwei (−2) und kleiner als null ist.
Minus Eins hat einige ähnliche, aber zu der positiven Eins leicht verschiedene Eigenschaften.
−1 steht mit der eulerschen Identität in Beziehung, da e iπ = −1.
In der Informatik ist −1 ein verbreiteter Initialwert für solche Integer-Variablen, deren Werte typischerweise nicht negativ sind, und zeigt damit an, dass die Variable (noch) keine sinnvolle Information enthält.
Algebraische Eigenschaften Bearbeiten
Eine Zahl mit −1 zu multiplizieren ist äquivalent zum Vorzeichenwechsel. Dies kann gezeigt werden mittels des Distributivgesetzes und des Axioms, dass 1 das neutrale Element der Multiplikation ist: Für eine reelle Zahl x gilt
wobei ausgenutzt wird, dass eine reelle Zahl x mal 0 gleich 0 ist, was sich aus Kürzung der folgenden Gleichung ergibt
In anderen Worten
damit ist (−1)·x das additive Inverse zu x bzw. −x.
Quadrieren von −1 Bearbeiten
Das Quadrat von −1 (das heißt −1 mal −1) ist gleich 1. In der Folge ist ein Produkt von zwei negativen Zahlen positiv.
Um das algebraisch zu beweisen, beginnt man mit der Gleichung
Die erste Gleichung folgt aus obigem Ergebnis. Die zweite folgt aus der Definition von −1 als additivem Inversen von 1: Es ist genau die Zahl die 0 ergibt, wenn sie zu 1 addiert wird. Durch Anwendung der Distributivgesetzes sieht man
Die zweite Gleichung folgt aus der Tatsache, dass 1 das neutrale Element der Multiplikation ist. Durch Addition von 1 auf beiden Seiten der letzten Gleichung folgt
Die obigen Folgerungen gelten auch in jedem Ring, der die abstrakte Algebra der ganzen und reellen Zahlen verallgemeinert.
Quadratwurzel von −1 Bearbeiten
Die komplexe Zahl i erfüllt i² = −1 und wird damit als Quadratwurzel von −1 betrachtet. Die einzige andere komplexe Zahl x, welche die Gleichung x² = −1 erfüllt, ist −i. In der Quaternion-Algebra, welche die komplexe Ebene enthält, hat die Gleichung x² = −1 unendlich viele Lösungen.
Potenzen von negativen Ganzzahlen Bearbeiten
Die Potenz von reellen Zahlen ohne null kann auf negative Exponenten erweitert werden. Es wird definiert x−1 = 1/x; das heißt wird eine Zahl mit −1 potenziert, so erhält man ihren Kehrwert. Wird diese Definition auf negative Ganzzahlen erweitert, bleibt das Exponentialgesetz für reelle Zahlen a, b ungleich 0 erhalten: xaxb = x(a + b)
Potenzen mit negativen Exponenten können auf die invertierbaren Elemente eines Rings durch die Definition von x−1 als inverses Element der Multiplikation mit x erweitert werden.
Binäre Darstellung im Computer Bearbeiten
Es gibt auf Computersystemen eine Reihe verschiedener Darstellungen von −1 und negativen ganzen Zahlen im Allgemeinen. Die meistverwendete ist das Zweierkomplement ihrer positiven Form. Minus eins hat im Zweierkomplement die gleiche Darstellung wie die positive Ganzzahl 2n − 1, wobei n die Anzahl der binären Stellen in der Darstellung ist (die Anzahl von Bits im Datentypen). Beispielsweise repräsentiert 111111112 (binär) bzw. FF16 (hex) für n = 8 die Zahl −1 im Zweierkomplement, aber 255 in der Standarddarstellung.
Siehe auch Bearbeiten
Einzelnachweise Bearbeiten
- Jayant V. Deshpande: Mathematical analysis and applications, ISBN 1842651897
- mathforum.org