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Satz von Menelaos Der benannt nach dem griechischen Mathematiker Menelaos Alexandria etwa 100 n Chr macht eine Aussage ü

Satz von Menelaos

Der Satz von Menelaos, benannt nach dem griechischen Mathematiker Menelaos (Alexandria, etwa 100 n. Chr.), macht eine Aussage über Streckenverhältnisse, die beim Schnitt einer Geraden mit einem Dreieck entstehen.

Fall 1
Fall 2

Satz Bearbeiten

Gegeben seien ein Dreieck ABC und eine Gerade, welche die Dreiecksseiten [BC], [CA] und [AB] beziehungsweise ihre Verlängerungen in den Punkten X, Y und Z schneidet. Dann gilt:

Umgekehrt kann man aus der Richtigkeit dieser Beziehung folgern, dass die Punkte X, Y und Z auf einer Geraden liegen.

Hierbei ist das Teilverhältnis von , das für drei auf einer Geraden liegende Punkte mit definiert wird durch . Wenn zwischen und liegt, ist dieses Teilverhältnis gleich , andernfalls gleich .

Betrachtet man nur die Streckenlängen, so kann man die obige Gleichung auch in folgender Form schreiben:

Da die Orientierung hierbei verloren geht, ist diese Gleichung nicht ausreichend für eine Umkehrung des Satzes, vgl. Satz von Ceva.

Beweis Bearbeiten

Zum Beweis des Satzes

Der Satz von Menelaos lässt sich mit Hilfe des Strahlensatzes beweisen. Man betrachtet drei Lote auf die gegebene Gerade, die von den Ecken A, B und C ausgehen. Die Längen der Lotstrecken seien mit , und bezeichnet.

Aus dem Strahlensatz erhält man folgende Verhältnisgleichungen:

Multipliziert man diese drei Gleichungen miteinander, so ergibt sich

und weiter (durch Multiplikation mit dem Nenner)

Anwendung Bearbeiten

Der Satz von Menelaos liefert zusammen mit seiner Umkehrung ein Kriterium für kollineare Punkte. Eine Folgerung ist der Satz von Ceva.

Literatur Bearbeiten

  • Hans Schupp: Elementargeometrie. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 124 ff., S. 136 (Uni-Taschenbücher 669 Mathematik)
  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 78–81
  • Branko Grunbaum, G. C. Shephard: Ceva, Menelaus, and the Area Principle. In: Mathematics Magazine, Band 68, Nr. 4, Okt. 1995, S. 254–268 (JSTOR:2690569)

Weblinks Bearbeiten

Commons: Menelaos's theorem – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Menelaos benannt nach dem griechischen Mathematiker Menelaos Alexandria etwa 100 n Chr macht eine Aussage uber Streckenverhaltnisse die beim Schnitt einer Geraden mit einem Dreieck entstehen Fall 1Fall 2 Inhaltsverzeichnis 1 Satz 2 Beweis 3 Anwendung 4 Literatur 5 WeblinksSatz BearbeitenGegeben seien ein Dreieck ABC und eine Gerade welche die Dreiecksseiten BC CA und AB beziehungsweise ihre Verlangerungen in den Punkten X Y und Z schneidet Dann gilt T V B C X T V C A Y T V A B Z 1 displaystyle TV B C X cdot TV C A Y cdot TV A B Z 1 nbsp Umgekehrt kann man aus der Richtigkeit dieser Beziehung folgern dass die Punkte X Y und Z auf einer Geraden liegen Hierbei ist T V U V W displaystyle TV U V W nbsp das Teilverhaltnis von U V W displaystyle U V W nbsp das fur drei auf einer Geraden liegende Punkte U V W displaystyle U V W nbsp mit U V displaystyle U neq V nbsp definiert wird durch W U T V U V W V W displaystyle W U TV U V W cdot V W nbsp Wenn W displaystyle W nbsp zwischen U displaystyle U nbsp und V displaystyle V nbsp liegt ist dieses Teilverhaltnis gleich U W W V displaystyle overline UW overline WV nbsp andernfalls gleich U W W V displaystyle overline UW overline WV nbsp Betrachtet man nur die Streckenlangen so kann man die obige Gleichung auch in folgender Form schreiben A Z B X C Y A Y B Z C X displaystyle overline AZ cdot overline BX cdot overline CY overline AY cdot overline BZ cdot overline CX nbsp Da die Orientierung hierbei verloren geht ist diese Gleichung nicht ausreichend fur eine Umkehrung des Satzes vgl Satz von Ceva Beweis Bearbeiten nbsp Zum Beweis des SatzesDer Satz von Menelaos lasst sich mit Hilfe des Strahlensatzes beweisen Man betrachtet drei Lote auf die gegebene Gerade die von den Ecken A B und C ausgehen Die Langen der Lotstrecken seien mit a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp und c displaystyle c nbsp bezeichnet Aus dem Strahlensatz erhalt man folgende Verhaltnisgleichungen A Z B Z a b displaystyle overline AZ overline BZ a b nbsp B X C X b c displaystyle overline BX overline CX b c nbsp C Y A Y c a displaystyle overline CY overline AY c a nbsp Multipliziert man diese drei Gleichungen miteinander so ergibt sich A Z B Z B X C X C Y A Y a b b c c a a b c b c a 1 displaystyle frac overline AZ overline BZ cdot frac overline BX overline CX cdot frac overline CY overline AY frac a b cdot frac b c cdot frac c a frac a cdot b cdot c b cdot c cdot a 1 nbsp und weiter durch Multiplikation mit dem Nenner A Z B X C Y A Y B Z C X displaystyle overline AZ cdot overline BX cdot overline CY overline AY cdot overline BZ cdot overline CX nbsp Anwendung BearbeitenDer Satz von Menelaos liefert zusammen mit seiner Umkehrung ein Kriterium fur kollineare Punkte Eine Folgerung ist der Satz von Ceva Literatur BearbeitenHans Schupp Elementargeometrie Schoningh Paderborn 1977 ISBN 3 506 99189 2 S 124 ff S 136 Uni Taschenbucher 669 Mathematik Max Koecher Aloys Krieg Ebene Geometrie 3 Auflage Springer Verlag Berlin 2007 ISBN 978 3 540 49327 3 S 78 81 Branko Grunbaum G C Shephard Ceva Menelaus and the Area Principle In Mathematics Magazine Band 68 Nr 4 Okt 1995 S 254 268 JSTOR 2690569 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Menelaos s theorem Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Eric W Weisstein Menelaus Theorem In MathWorld englisch Menelaos Theorem ein animierter geometrischer Beweis des Satzes von Menelaos englisch Paul Yiu Euclidean Geometry Notes PDF 1012 kB Skript Florida Atlantic University S 87 102 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Menelaos amp oldid 217125915