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Satz von Ceva Der ist eine geometrische Aussage über Ecktransversalen im Dreieck die der italienische Mathematiker Giova

Satz von Ceva

Der Satz von Ceva ist eine geometrische Aussage über Ecktransversalen im Dreieck, die der italienische Mathematiker Giovanni Ceva (1647 bis 1734) 1678 in seinem Werk De lineis rectis bewies. Der Satz wurde allerdings bereits im 11. Jahrhundert durch den Mathematiker und Emir von Zaragossa Yusuf al-Mutaman beschrieben.

Satz von Ceva
Satz von Ceva mit parallelen Geraden

In einem Dreieck seien , und drei Ecktransversalen (also Verbindungsstrecken zwischen einer Ecke und einem Punkt auf der gegenüber liegenden Seite beziehungsweise deren Verlängerung), die sich in einem Punkt innerhalb oder außerhalb des Dreiecks schneiden. Dann gilt:

Hierbei ist das (orientierte, also eventuell negative) Teilverhältnis von , was für drei auf einer Gerade liegenden Punkte mit definiert wird durch . Wenn zwischen und liegt, ist das genannte Teilverhältnis gleich , andernfalls gleich .

Die oben angegebene Gleichung lässt sich mithilfe des Satzes von Menelaos beweisen.

Umgekehrt kann aus der Richtigkeit dieser Gleichung gefolgert werden, dass sich die Geraden , und in einem Punkt schneiden oder parallel sind. Diese Umkehrung des Satzes von Ceva wird häufig in der Dreiecksgeometrie für Beweise aus dem Themenbereich "Ausgezeichnete Punkte im Dreieck" verwendet.

Wenn die Gleichung gilt, folgt daraus auch:

Da die Orientierung hierbei verloren geht, ist diese Gleichung nicht ausreichend für eine Umkehrung des Satzes, vgl. Satz von Menelaos.

Eine Verallgemeinerung des Satzes von Ceva ist der Satz von Routh.

Formuliert man den Satz von Ceva für die reelle projektive Ebene beziehungsweise für den projektiven Abschluss der hier verwendeten (affinen) reellen Anschauungsebene, so kann man den Satz und seine Umkehrung ohne den Sonderfall der parallelen Geraden formulieren.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Aufl. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 78–81
  • Branko Grunbaum, G. C. Shephard: Ceva, Menelaus, and the Area Principle. Mathematics Magazine, Band 68, Nr. 4 (Okt., 1995), S. 254–268 (JSTOR:2690569)
  • James E. Lightner: A New Look at Centers of a Triangle. The Mathematics Teacher, Band 68, Nr. 7 (NOVEMBER 1975), S. 612–615 (JSTOR:27960289)

Weblinks Bearbeiten

Commons: Ceva's theorem – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien
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Der Satz von Ceva ist eine geometrische Aussage uber Ecktransversalen im Dreieck die der italienische Mathematiker Giovanni Ceva 1647 bis 1734 1678 in seinem Werk De lineis rectis bewies Der Satz wurde allerdings bereits im 11 Jahrhundert durch den Mathematiker und Emir von Zaragossa Yusuf al Mutaman beschrieben Satz von CevaO A D C F B E A F B D C E A E B F C D 1 displaystyle O AD cap CF cap BE Rightarrow frac AF cdot BD cdot CE AE cdot BF cdot CD 1 Satz von Ceva mit parallelen GeradenO A D C F B E A F B D C E A E B F C D 1 displaystyle O AD parallel CF parallel BE Rightarrow frac AF cdot BD cdot CE AE cdot BF cdot CD 1 In einem Dreieck A B C displaystyle ABC seien A D displaystyle AD B E displaystyle BE und C F displaystyle CF drei Ecktransversalen also Verbindungsstrecken zwischen einer Ecke und einem Punkt auf der gegenuber liegenden Seite beziehungsweise deren Verlangerung die sich in einem Punkt O displaystyle O innerhalb oder ausserhalb des Dreiecks schneiden Dann gilt T V A B F T V B C D T V C A E 1 displaystyle TV A B F cdot TV B C D cdot TV C A E 1 Hierbei ist T V U V W displaystyle TV U V W das orientierte also eventuell negative Teilverhaltnis von U V W displaystyle U V W was fur drei auf einer Gerade liegenden Punkte U V W displaystyle U V W mit W V displaystyle W neq V definiert wird durch U W T V U V W W V displaystyle overrightarrow UW TV U V W cdot overrightarrow WV Wenn W displaystyle W zwischen U displaystyle U und V displaystyle V liegt ist das genannte Teilverhaltnis gleich U W W V displaystyle overline UW overline WV andernfalls gleich U W W V displaystyle overline UW overline WV Die oben angegebene Gleichung lasst sich mithilfe des Satzes von Menelaos beweisen Umgekehrt kann aus der Richtigkeit dieser Gleichung gefolgert werden dass sich die Geraden A D displaystyle AD B E displaystyle BE und C F displaystyle CF in einem Punkt schneiden oder parallel sind Diese Umkehrung des Satzes von Ceva wird haufig in der Dreiecksgeometrie fur Beweise aus dem Themenbereich Ausgezeichnete Punkte im Dreieck verwendet Wenn die Gleichung gilt folgt daraus auch A F B D C E A E B F C D displaystyle overline AF cdot overline BD cdot overline CE overline AE cdot overline BF cdot overline CD Da die Orientierung hierbei verloren geht ist diese Gleichung nicht ausreichend fur eine Umkehrung des Satzes vgl Satz von Menelaos Eine Verallgemeinerung des Satzes von Ceva ist der Satz von Routh Formuliert man den Satz von Ceva fur die reelle projektive Ebene beziehungsweise fur den projektiven Abschluss der hier verwendeten affinen reellen Anschauungsebene so kann man den Satz und seine Umkehrung ohne den Sonderfall der parallelen Geraden formulieren Siehe auch BearbeitenCevasche StreckenLiteratur BearbeitenMax Koecher Aloys Krieg Ebene Geometrie 3 Aufl Springer Verlag Berlin 2007 ISBN 978 3 540 49327 3 S 78 81 Branko Grunbaum G C Shephard Ceva Menelaus and the Area Principle Mathematics Magazine Band 68 Nr 4 Okt 1995 S 254 268 JSTOR 2690569 James E Lightner A New Look at Centers of a Triangle The Mathematics Teacher Band 68 Nr 7 NOVEMBER 1975 S 612 615 JSTOR 27960289 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Ceva s theorem Album mit Bildern Videos und Audiodateien Ceva s theorem auf cut the knot org Jurgen Richter Gebert Meditations on Ceva s Theorem Paul Yiu Euclidean Geometry Notes Skript Florida Atlantic University S 87 102 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Ceva amp oldid 227614635