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Tomonaga Luttinger Flüssigkeit Eine benannt nach Shin ichirō Tomonaga und Joaquin Mazdak Luttinger häufig auch einfach a

Tomonaga-Luttinger-Flüssigkeit

Eine Tomonaga-Luttinger-Flüssigkeit (benannt nach Shin’ichirō Tomonaga und Joaquin Mazdak Luttinger), häufig auch einfach als Luttinger-Flüssigkeit bezeichnet, ist ein theoretisches Modell zur Beschreibung von wechselwirkenden Elektronen (oder anderen Fermionen) in einem eindimensionalen elektrischen Leiter (z. B. Quantendrähte wie Kohlenstoffnanoröhren). Ein solches Modell ist nötig, da das gewöhnlich benutzte Modell der Fermi-Flüssigkeit in einer Dimension versagt.

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Man nimmt an, dass das Luttinger-Modell das universelle Verhalten bei niedrigen Frequenzen (langen Wellenlängen) eines jeden eindimensionalen Systems wechselwirkender Fermionen beschreibt (sofern dieses nicht einen Phasenübergang in einen anderen Zustand ausgeführt hat).

Tomonaga studierte 1950 eindimensionale Systeme geladener Fermionen und sagte deren Beschreibung durch Bosonen voraus (wie schon, wie sich später erwies, Pascual Jordan in den 1930er Jahren im Versuch einer Neutrino-Theorie des Lichts). Luttinger stellte 1963 (ohne die Arbeit von Tomonaga zu kennen) ein spezielles exakt lösbares Modell vor und Elliott Lieb und Daniel Mattis klärten dessen exakte Lösbarkeit durch Bosonisierung. Der Name Luttinger-Flüssigkeit wurde 1981 durch F. Duncan M. Haldane geprägt.

Eigenschaften Bearbeiten

Zu den wesentlichen Eigenschaften einer Luttinger-Flüssigkeit zählen:

  • Die Antwort der Ladungs- oder Teilchendichte auf eine äußere Störung sind Dichtewellen (Plasmonen), deren Geschwindigkeit durch die Stärke der Wechselwirkung und die mittlere Dichte bestimmt wird. Für nichtwechselwirkende Systeme ist diese Ausbreitungsgeschwindigkeit gleich der Fermi-Geschwindigkeit, während sie bei abstoßender (anziehender) Wechselwirkung zwischen Fermionen größer (kleiner) als diese ist.
  • Ebenso gibt es Spindichtewellen, deren Geschwindigkeit in erster Näherung der Fermi-Geschwindigkeit entspricht. Diese pflanzen sich unabhängig von den Ladungsdichtewellen fort. Man spricht daher von Spin-Ladungs-Trennung.
  • Ladungs- und Spinwellen sind also separate elementare Anregungen der Luttinger-Flüssigkeit, im Gegensatz zu den Quasiteilchen der Fermi-Flüssigkeit, die sowohl Spin als auch Ladung besitzen. Die mathematische Beschreibung geschieht am einfachsten mittels dieser Wellen. Man löst die eindimensionale Wellengleichung, und ein Großteil der Arbeit besteht darin, zurück zu transformieren um die Eigenschaften der Teilchen zu erhalten. Eine weitere Schwierigkeit besteht in der Behandlung von Störstellen und anderen Fällen, in denen die Rückstreuung (engl. backscattering) eine wesentliche Rolle spielt.
  • Selbst am absoluten Nullpunkt ändert sich die Impulsverteilung der Teilchen nirgends abrupt, im Gegensatz zur Fermi-Flüssigkeit, wo deren Unstetigkeit die Fermi-Fläche definiert.
  • Die impulsabhängige Spektralfunktion weist keinen Quasiteilchen-Peak auf (also keinen Scheitel, dessen Breite oberhalb des Fermi-Niveaus viel kleiner wird als die Anregungsenergie). Stattdessen gibt es eine algebraische Singularität mit einem nicht-universellen Exponenten, der von der Stärke der Wechselwirkung abhängt.
  • In der Nähe von Störstellen treten die üblichen Friedel-Oszillationen der Ladungsdichte mit einem Wellenvektor von auf. Für große Abstände von der Störstelle verschwinden diese , wobei der Exponent von der Wechselwirkung abhängt ( für eine Fermi-Flüssigkeit).
  • Bei niedrigen Temperaturen ist die Streuung an diesen Friedel-Oszillationen so stark, dass die renormierte effektive Stärke der Störstelle unendlich wird und damit den Quantendraht abschnürt. Genauer gesagt: die Leitfähigkeit geht mit abnehmender Temperatur und angelegter Spannung gegen Null (und folgt dabei einem Potenzgesetz, dessen Exponent von der Wechselwirkung abhängt)
  • Ebenso ist bei kleinen Spannungen und Temperaturen die Tunnelrate in die Luttinger-Flüssigkeit unterdrückt.

Anwendungen Bearbeiten

Zu den physikalischen Systemen von denen man glaubt, dass sie sich mit dem Luttinger-Modell beschreiben lassen, zählen:

  • künstliche Quantendrähte (eindimensionale Elektronenstreifen), die zum Beispiel mit Hilfe einer Gate-Spannung in einem zweidimensionalen Elektronengas erzeugt werden (oder auch lithographisch, oder Rasterkraftmikroskop etc.)
  • Elektronen in Kohlenstoffnanoröhren
  • Elektronen in Randzuständen des Quanten-Hall-Effekts (und dessen gebrochenzahliger Variante)
  • Elektronen, die entlang eindimensionaler Molekülketten (zum Beispiel bestimmte organische molekulare Kristalle) hüpfen (engl. hopping)
  • fermionische Atome in quasi-eindimensionalen Atomfallen

Der Nachweis der charakteristischen Eigenschaften einer Luttinger-Flüssigkeit in diesen Systemen ist ein aktuelles Forschungsgebiet der experimentellen Festkörperphysik.

Literatur Bearbeiten

  • Vieri Mastropietro, Daniel Charles Mattis: Luttinger Model. The First 50 Years and Some New Directions. World Scientific, 2013, ISBN 978-981-4520-71-3 (Zusammenfassung bei World Scientific).
  • Sebastian Mietke: Rastertunnelmikroskopie und -spektroskopie an Au/Ge(001)-Nanodrähten. Ein Modellsystem der Luttinger-Flüssigkeit. Kassel University Press, 2014, ISBN 978-3-86219-724-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  • H.J. Schulz, G. Cuniberti, P. Pieri: Fermi liquids and Luttinger liquids. In: G. Morandi et al. Eds. (Hrsg.): Field Theories for Low-Dimensional Condensed Matter Systems. Springer, 2000, ISBN 3-540-67177-3, arxiv:cond-mat/9807366.
  • Johannes Voit: One-dimensional Fermi liquids. In: Rep. Prog. Phys. Band 58, 1995, S. 977–1116, doi:10.1088/0034-4885/58/9/002.
  • Johannes Voit: A brief introduction to Luttinger liquids. In: Proceedings of the International Winterschool on Electronic Properties of Novel Materials. Kirchberg März 2000, arxiv:cond-mat/0005114.
  • K. Schonhammer: Physics in one dimension: theoretical concepts for quantum many-body systems. In: J. Phys. Condens. Matter 25, 2013, S. 25, arxiv:1212.1632.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Sin-itiro Tomonaga: Remarks on Bloch’s Method of Sound Waves applied to Many-Fermion Problems. In: Prog. Theor. Phys. Band 5, Nr. 4, 1950, S. 544–569, doi:10.1143/ptp/5.4.544.
  2. ↑ Daniel C. Mattis, Elliott H. Lieb: Exact Solution of a Many-Fermion System and Its Associated Boson Field. In: J. Math. Phys. Band 6, Nr. 2, 1965, S. 304–312, doi:10.1063/1.1704281 (eingeschränkte Vorschau bei SpringerLink [abgerufen am 22. Dezember 2014]).
  3. J.M. Luttinger: An exactly soluable model of a many-fermion system. In: J. Math. Phys. Band 4, Nr. 9, 1963, S. 1154–1162, doi:10.1063/1.1704046.
  4. F.D.M. Haldane: 'Luttinger liquid theory' of one-dimensional quantum fluids. I. Properties of the Luttinger model and their extension to the general 1D interacting spinless Fermi gas. In: J. Phys. C. Band 14, Nr. 19, 1981, S. 2585–2919, doi:10.1088/0022-3719/14/19/010.
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Eine Tomonaga Luttinger Flussigkeit benannt nach Shin ichirō Tomonaga und Joaquin Mazdak Luttinger haufig auch einfach als Luttinger Flussigkeit bezeichnet ist ein theoretisches Modell zur Beschreibung von wechselwirkenden Elektronen oder anderen Fermionen in einem eindimensionalen elektrischen Leiter z B Quantendrahte wie Kohlenstoffnanorohren Ein solches Modell ist notig da das gewohnlich benutzte Modell der Fermi Flussigkeit in einer Dimension versagt Dieser Artikel wurde in die Qualitatssicherung der Redaktion Physik eingetragen Wenn du dich mit dem Thema auskennst bist du herzlich eingeladen dich an der Prufung und moglichen Verbesserung des Artikels zu beteiligen Der Meinungsaustausch daruber findet derzeit nicht auf der Artikeldiskussionsseite sondern auf der Qualitatssicherungs Seite der Physik statt Man nimmt an dass das Luttinger Modell das universelle Verhalten bei niedrigen Frequenzen langen Wellenlangen eines jeden eindimensionalen Systems wechselwirkender Fermionen beschreibt sofern dieses nicht einen Phasenubergang in einen anderen Zustand ausgefuhrt hat Tomonaga studierte 1950 eindimensionale Systeme geladener Fermionen 1 und sagte deren Beschreibung durch Bosonen voraus wie schon wie sich spater erwies Pascual Jordan in den 1930er Jahren im Versuch einer Neutrino Theorie des Lichts 2 Luttinger stellte 1963 ohne die Arbeit von Tomonaga zu kennen ein spezielles exakt losbares Modell vor 3 und Elliott Lieb und Daniel Mattis klarten dessen exakte Losbarkeit durch Bosonisierung 2 Der Name Luttinger Flussigkeit wurde 1981 durch F Duncan M Haldane gepragt 4 Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Anwendungen 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenZu den wesentlichen Eigenschaften einer Luttinger Flussigkeit zahlen Die Antwort der Ladungs oder Teilchendichte auf eine aussere Storung sind Dichtewellen Plasmonen deren Geschwindigkeit durch die Starke der Wechselwirkung und die mittlere Dichte bestimmt wird Fur nichtwechselwirkende Systeme ist diese Ausbreitungsgeschwindigkeit gleich der Fermi Geschwindigkeit wahrend sie bei abstossender anziehender Wechselwirkung zwischen Fermionen grosser kleiner als diese ist Ebenso gibt es Spindichtewellen deren Geschwindigkeit in erster Naherung der Fermi Geschwindigkeit entspricht Diese pflanzen sich unabhangig von den Ladungsdichtewellen fort Man spricht daher von Spin Ladungs Trennung Ladungs und Spinwellen sind also separate elementare Anregungen der Luttinger Flussigkeit im Gegensatz zu den Quasiteilchen der Fermi Flussigkeit die sowohl Spin als auch Ladung besitzen Die mathematische Beschreibung geschieht am einfachsten mittels dieser Wellen Man lost die eindimensionale Wellengleichung und ein Grossteil der Arbeit besteht darin zuruck zu transformieren um die Eigenschaften der Teilchen zu erhalten Eine weitere Schwierigkeit besteht in der Behandlung von Storstellen und anderen Fallen in denen die Ruckstreuung engl backscattering eine wesentliche Rolle spielt Selbst am absoluten Nullpunkt andert sich die Impulsverteilung der Teilchen nirgends abrupt im Gegensatz zur Fermi Flussigkeit wo deren Unstetigkeit die Fermi Flache definiert Die impulsabhangige Spektralfunktion weist keinen Quasiteilchen Peak auf also keinen Scheitel dessen Breite oberhalb des Fermi Niveaus viel kleiner wird als die Anregungsenergie Stattdessen gibt es eine algebraische Singularitat mit einem nicht universellen Exponenten der von der Starke der Wechselwirkung abhangt In der Nahe von Storstellen treten die ublichen Friedel Oszillationen der Ladungsdichte mit einem Wellenvektor von 2 k F displaystyle 2k F nbsp auf Fur grosse Abstande x displaystyle x nbsp von der Storstelle verschwinden diese 1 x g displaystyle sim 1 x g nbsp wobei der Exponent g displaystyle g nbsp von der Wechselwirkung abhangt g 1 displaystyle g 1 nbsp fur eine Fermi Flussigkeit Bei niedrigen Temperaturen ist die Streuung an diesen Friedel Oszillationen so stark dass die renormierte effektive Starke der Storstelle unendlich wird und damit den Quantendraht abschnurt Genauer gesagt die Leitfahigkeit geht mit abnehmender Temperatur und angelegter Spannung gegen Null und folgt dabei einem Potenzgesetz dessen Exponent von der Wechselwirkung abhangt Ebenso ist bei kleinen Spannungen und Temperaturen die Tunnelrate in die Luttinger Flussigkeit unterdruckt Anwendungen BearbeitenZu den physikalischen Systemen von denen man glaubt dass sie sich mit dem Luttinger Modell beschreiben lassen zahlen kunstliche Quantendrahte eindimensionale Elektronenstreifen die zum Beispiel mit Hilfe einer Gate Spannung in einem zweidimensionalen Elektronengas erzeugt werden oder auch lithographisch oder Rasterkraftmikroskop etc Elektronen in Kohlenstoffnanorohren Elektronen in Randzustanden des Quanten Hall Effekts und dessen gebrochenzahliger Variante Elektronen die entlang eindimensionaler Molekulketten zum Beispiel bestimmte organische molekulare Kristalle hupfen engl hopping fermionische Atome in quasi eindimensionalen AtomfallenDer Nachweis der charakteristischen Eigenschaften einer Luttinger Flussigkeit in diesen Systemen ist ein aktuelles Forschungsgebiet der experimentellen Festkorperphysik Literatur BearbeitenVieri Mastropietro Daniel Charles Mattis Luttinger Model The First 50 Years and Some New Directions World Scientific 2013 ISBN 978 981 4520 71 3 Zusammenfassung bei World Scientific Sebastian Mietke Rastertunnelmikroskopie und spektroskopie an Au Ge 001 Nanodrahten Ein Modellsystem der Luttinger Flussigkeit Kassel University Press 2014 ISBN 978 3 86219 724 8 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche H J Schulz G Cuniberti P Pieri Fermi liquids and Luttinger liquids In G Morandi et al Eds Hrsg Field Theories for Low Dimensional Condensed Matter Systems Springer 2000 ISBN 3 540 67177 3 arxiv cond mat 9807366 Johannes Voit One dimensional Fermi liquids In Rep Prog Phys Band 58 1995 S 977 1116 doi 10 1088 0034 4885 58 9 002 Johannes Voit A brief introduction to Luttinger 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