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Losgröße Als wird in der Betriebswirtschaftslehre insbesondere Industriebetriebslehre und Produktionswirtschaft jene Men

Losgröße

Als Losgröße wird in der Betriebswirtschaftslehre (insbesondere Industriebetriebslehre) und Produktionswirtschaft jene Menge von Produkten eines Fertigungsauftrages bezeichnet, die im Rahmen der Losfertigung die Fertigungsstufen des Produktionsprozesses als zusammengehörige Produktgruppe durchlaufen.

Allgemeines Bearbeiten

Unter einer Losgröße versteht man die in einem einzigen Produktionsprozess gefertigte Stückzahl eines Produktes, beispielsweise die Auflage eines Buches. Die Losfertigung wiederum wurde nach dem Los (siehe auch Baulos) benannt. Die Losgröße ist eine der wichtigsten Einflussgrößen auf den Lagerbestand. Je mehr Losgrößen sich im Produktionsprozess befinden, umso höher steigen der Lagerbestand und – ceteris paribus – das Lagerrisiko und die Lagerkosten.

Klassifikationsmerkmale der Modelle zur Bestimmung optimaler Losgröße Bearbeiten

In die Modellierung entsprechender Losgrößenprobleme können mehrere für die Praxis relevante Parameter einfließen:

Arten Bearbeiten

Es gibt drei Hauptarten von Losgrößen:

  • Statische Losgrößen: Die Losgrößen sind festgelegt durch Kundenauftrag, logistische Einheitsgrößen (wie Container oder Transportbehälter) oder statische Optimierungsverfahren.
    • Periodische Losgrößen sind bestimmt durch den konstanten Verbrauch innerhalb einer Zeitspanne (etwa Tagesverbrauch, Wochenverbrauch, Monatsverbrauch).
    • Die Klassische Losformel wurde 1928 von Kurt Andler vorgestellt.
  • Dynamische Losgrößen sind nach ökonomischen Optimierungsverfahren festgelegt und werden dauerhaft überwacht.
    • Stück-/Periodenausgleichsverfahren;
    • gleitende wirtschaftliche Losgröße;
    • Kostenausgleichsverfahren;
    • Groff-Regel: Sie nutzt die Tatsache, dass nach der klassischen Losgrößenformel beim Kostenminimum zusätzlich anfallende Lagerkosten gleich der Los-Fixkostenerparnis sind.
    • Das Wagner-Whitin-Verfahren ist ein exaktes Stückkostenverfahren, das optimale Losgrößen bei dynamischen Bedarf bestimmt.
    • Silver-Meal Heuristik: für die Produktion werden Losgrößen ermittelt, welche die Bedarfe abdecken und gleichzeitig die Gesamtkosten minimieren.
  • Optimierende Losgrößen erfordern eine Prozesskostenrechnung.
    • Beim Zeitungsverkäufer-Modell handelt es sich um ein stochastisches Bestandsmanagement, bei dem die Fixkosten der Bestellung unberücksichtigt bleiben. Täglich wird aufgrund der Nachfrage in der Vergangenheit entschieden, wie hoch der Lagerbestand sein soll; nicht verkaufte Mengen können nur noch an den Hersteller zu einem Rücknahmepreis zurückgegeben werden.

Das jeweilige Losgrößenverfahren steuert, wie viele einzelne Bedarfsmengen zu einer Bestellmenge zusammengefasst werden.

Optimale Losgröße Bearbeiten

Das Problem der optimalen Losgröße wurde bereits 1915 von Ford W. Harris behandelt. Die optimale Losgröße ergibt sich

Dabei sind:
= Jahresverbrauch (Stück),
= Einstandspreis pro Stück,
= Losgröße,
= Kostensatz der Lagerhaltung (in % des Einstandspreises),
= Kosten je Beschaffungsvorgang.

Losgrößenmodelle Bearbeiten

Losgrößenmodelle können nach dem Informationsgrad, der Durchlaufzeit, der Produkte und der Maschinen klassifiziert werden:

  • Statische Losgrößenverfahren
    • Exakte Losgröße,
    • Feste Losgröße,
    • Auffüllen bis zum Höchstbestand,
    • Bestellpunktdisposition mit oder ohne Berücksichtigung externer Bedarfe.
  • Periodische Losgrößenverfahren
    • Tageslosgröße,
    • Wochenlosgröße,
    • Monatslosgröße,
    • Losgrößen nach flexiblen Periodenlängen, analog zu Rechnungsperioden (Periodenlosgrößen).
  • Optimierende Losgrößenverfahren

Weitere Modelle Bearbeiten

Statisch-deterministische Modelle (Ein Produkt) Bearbeiten

Diesen Modellen ist gemein, dass die Nachfrage konstant (statisch) und vorab bekannt (deterministisch) ist. Grundmodell ist das unkapazitierte, einstufige, Einproduktmodell mit unendlicher Produktionsgeschwindigkeit. Für die Details des Grundmodells siehe Klassische Losformel.

Endliche Produktionsgeschwindigkeit Bearbeiten

Als Kosten je Zeiteinheit ergeben sich

mit

  • und sind Hilfsgrößen:
  • - Zyklusdauer
  • - Lagerhaltungskosten je Zeiteinheit
  • - fixe Rüstkosten je Rüstvorgang
  • - Bedarf pro Zeit (Absatzgeschwindigkeit)
  • - Produktion pro Zeit (Produktionsgeschwindigkeit)
  • - Losgröße
  • - Belegungszeitanteil auf der Maschine

Als Kosten ergeben sich somit bzw. .

Durch ableiten und Nullsetzen erhält man die optimalen Größen bzw. .

Weitere Verallgemeinerungen Bearbeiten

  • Rabatte: Es werden zwei verschiedene Ausprägungen unterschieden:
    • Der Rabatt bezieht sich auf die gesamte Bestellmenge. Bsp.: 5 €/Stück – ab einer Menge von 1000 Stück: 4 €/Stück für die gesamte Menge
    • Der Rabatt bezieht sich auf alle Einheiten über einer bestimmten Grenze. Bsp.: 5 €/Stück – ab einer Menge von 1000 Stück: 4 €/Stück für die Menge die 1000 überschreitet.
  • Sprungfixe Lagerkosten
  • Veränderliche Einstandspreise

Statisch-deterministische Modelle (mehrere Produkte) Bearbeiten

Für den Fall, dass keine Kopplung zwischen den Produkten existiert, ergibt sich die optimale Bestellpolitik aus der separaten Anwendung des Standardmodells auf die einzelnen Produkte. Kopplungen ergeben sich beispielsweise durch Lose aus verschiedenen Produkten für die die losfixen Kosten nur einmal anfallen. Analog ist das Bestellmengenmodell mit Sammelbestellungen bei dem für die Sammelbestellung nur einmal die Bestellfixen Kosten anfallen. Außerdem existieren Modelle mit Lagerkapazitätsbeschränkungen und Modelle bei denen alle Produkte auf einer Engpassmaschine zu fertigen sind. Letzteres ist als Problem optimaler Sortenschaltung bekannt.

Beispielmodell Bearbeiten

Ein einfaches Modell mit Kapazitätsbeschränkung sieht wie folgt aus:

  • Die einzelnen Produkte werden in einem gemeinsamen Lager gelagert. Die Kapazität sei [m²]
  • sei der Bedarf des Produktes in Mengeneinheiten pro Zeiteinheit [ME/ZE]
  • fixe Losauflagekosten / (fixe Bestellkosten) für Produkt j
  • Lagerhaltungskosten für Produkt j
  • Kapazitätsbedarf einer ME von Produkt j (z. B. m² an Stellfläche)
  • wird zur Vereinfachung der Darstellung benutzt

Die Zielfunktion ist

Unter den Nebenbedingungen

Im ungünstigsten Fall werden alle Lose zeitgleich aufgelegt. Die Summe der noch zu bestimmenden Losgrößen muss also kleiner oder gleich der Lagerkapazität sein.

Lösung des Modells Bearbeiten

Vernachlässigt man die Lagerkapazität und wendet für jedes Produkt die Formel des Standardmodells an, so erhält man als optimale Losgröße bzw. optimale Zyklusdauer:

Falls die Kapazitätsrestriktion erfüllt ist, hat man die optimale Lösung gefunden. Falls nicht so gilt:

Die Lagerkapazität wird also vollständig genutzt. Die optimale Losgröße ergibt sich durch Lagrange-Multiplikation mit der Kapazitätsrestriktion:

Leitet man nun nach und ab, so erhält man ein Gleichungssystem mit n+1 Gleichungen und Unbekannten.

Man erhält

die optimalen Loßgrößen in Abhängigkeit von .

Diese kann man in die partiellen Ableitungen einsetzen und erhält eine streng monotone Funktion die an einer Stelle den Wert annimmt:

Diese Stelle lässt sich mit iterativen Verfahren wie dem Newton-Verfahren bestimmen.

Statisch-deterministische Modelle mit mehrstufiger Produktion Bearbeiten

Bei mehrstufiger Produktion sind nicht nur für jedes Produkt, sondern auch für jede Produktionsstufe Loßgrößen zu bilden. Die Ausgestaltung eines konkreten Problems hängt stark von der Produktstruktur ab. Bei konvergierender Struktur werden mehrere Einzelteile zu einem Gesamtprodukt zusammengefügt. Bei divergierender Struktur werden aus einem Zwischenprodukt verschiedene Endprodukte hergestellt. Mischungen können ebenfalls vorkommen.

Dynamisch-deterministische Modelle Bearbeiten

Bei dynamisch-deterministischen Modellen wird der Planungszeitraum in endlich viele, gleich lange Perioden unterteilt, während die statisch-deterministischen Modelle in der Regel von einem unendlich langen Planungszeitraum ausgehen. Das Grundmodell von Wagner und Whitin, teilweise auch Wagner-Whitin-Modell genannt, behandelt nur ein Produkt, mit nur einer Produktionsstufe, ohne Kapazitätsgrenzen. Es lässt sich mit der dynamischen Optimierung lösen. Es lässt sich als Warehouse Location Problem interpretieren: Die Eröffnung eines Standortes entspricht dann der Auflage eines Loßes und die Kunden entsprechen den einzelnen Perioden. Der Wagner-Whitin-Algorithmus liefert ein optimales Ergebnis. Außerdem existieren noch einige Heuristiken:

Stochastische Modelle Bearbeiten

Stochastische Modelle gehen von zufallsbedingten Bedarfen aus. Das bekannteste ist das Zeitungsjungen-Modell.

Wirtschaftliche Aspekte Bearbeiten

Die in der Fachliteratur untersuchte optimale Losgröße ist mit der optimalen Bestellmenge formal vergleichbar. Mit steigenden Losgrößen ist ein zunehmender Lagerbestand verbunden, der die Lagerkosten und den Zinsaufwand wegen der wachsenden Kapitalbindung und damit das Lagerrisiko erhöht. Diese Kostensteigerungen wirken der Kostensenkung entgegen, welche durch die Kostendegression einer zunehmenden Produktionsmenge (Gesetz der Massenproduktion) entsteht.

Literatur Bearbeiten

  • Wolfgang Domschke, Armin Scholl, Stefan Voß: Produktionsplanung. Ablauforganisatorische Aspekte. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-63560-2.
  • Horst Tempelmeier: Material-Logistik. Grundlagen der Bedarfs- und Losgrößenplanung in PPS-Systemen. 3., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58928-7.
  • Sigfrid Gahse: Lagerdisposition mit elektronischen Datenverarbeitungsanlagen, Neue Betriebswirtschaft, 18. Jg. (1965), S. 4

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Günter Wöhe/Ulrich Döring, Einführung in die Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, 25. Auflage, 2013, S. 304; ISBN 978-3800646876
  2. Jörg Dittrich/Peter Mertens/Michael Hau/Andreas Hufgard, Dispositionsparameter in der Produktionsplanung mit SAP, 2009, S. 102/125; ISBN 978-3834895783
  3. Wolfgang Domschke/Armin Scholl/Stefan Voß, Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 69–75.
  4. Lutz Schwalbach, RPA, Software, Apps und IT-Applikationen im Einkauf, 2020, S. 88
  5. Karl Schaufelbühl/Matthias Blattner/Walter Hugentobler, Integrale Betriebswirtschaftslehre, 2020, S. 249
  6. Kurt Andler, Rationalisierung der Fabrikation und optimale Losgröße, 1929, S. 48 ff.
  7. Richard Vahrenkamp, Produktionsmanagement, 2008, S. 154 f.
  8. Carsten Schmidt/Günther Schuh, Produktionsmanagement, Band 5, 2014, S. 213
  9. Carsten Schmidt/Günther Schuh, Produktionsmanagement, Band 5, 2014, S. 213
  10. Lutz Schwalbach, Optimierungen der Beschaffung, 2019, S. 90 f.
  11. Ulrich Thonemann, Operations Management, 2009, S. 209
  12. Ford Whitman Harris, Operations and Cost, 1915, S. 1 ff.
  13. Karl Schaufelbühl/Matthias Blattner/Walter Hugentobler, Integrale Betriebswirtschaftslehre, 2020, S. 251
  14. Armin Scholl, Modellierung logistischer Systeme, in: Dieter Arnold/Heinz Isermann/Axel Kuhn/Kai Furmans/Horst Tempelmeiser (Hrsg.), Handbuch Logistik, 2008, S. 36; ISBN 978-3540729280
  15. Wolfgang Domschke/Armin Scholl/Stefan Voß, Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 79–81.
  16. Wolfgang Domschke/Armin Scholl/Stefan Voß, Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 84.
  17. Wolfgang Domschke/Armin Scholl/Stefan Voß, Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 90.
  18. Wolfgang Domschke/Armin Scholl/Stefan Voß, Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 87–89.
  19. Wolfgang Domschke/Armin Scholl/Stefan Voß, Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 103.
  20. Wolfgang Domschke/Armin Scholl/Stefan Voß, Produktionsplanung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. 1997, S. 115–128.
  21. Ludwig Pack, Optimale Bestellmenge und optimale Losgröße, 1964, S. 9
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Veröffentlichungsdatum:
Als Losgrosse wird in der Betriebswirtschaftslehre insbesondere Industriebetriebslehre und Produktionswirtschaft jene Menge von Produkten eines Fertigungsauftrages bezeichnet die im Rahmen der Losfertigung die Fertigungsstufen des Produktionsprozesses als zusammengehorige Produktgruppe durchlaufen Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines 2 Klassifikationsmerkmale der Modelle zur Bestimmung optimaler Losgrosse 3 Arten 4 Optimale Losgrosse 5 Losgrossenmodelle 6 Weitere Modelle 6 1 Statisch deterministische Modelle Ein Produkt 6 1 1 Endliche Produktionsgeschwindigkeit 6 1 2 Weitere Verallgemeinerungen 6 2 Statisch deterministische Modelle mehrere Produkte 6 2 1 Beispielmodell 6 2 2 Losung des Modells 6 3 Statisch deterministische Modelle mit mehrstufiger Produktion 6 4 Dynamisch deterministische Modelle 6 5 Stochastische Modelle 7 Wirtschaftliche Aspekte 8 Literatur 9 EinzelnachweiseAllgemeines BearbeitenUnter einer Losgrosse versteht man die in einem einzigen Produktionsprozess gefertigte Stuckzahl eines Produktes beispielsweise die Auflage eines Buches 1 Die Losfertigung wiederum wurde nach dem Los siehe auch Baulos benannt Die Losgrosse ist eine der wichtigsten Einflussgrossen auf den Lagerbestand 2 Je mehr Losgrossen sich im Produktionsprozess befinden umso hoher steigen der Lagerbestand und ceteris paribus das Lagerrisiko und die Lagerkosten Klassifikationsmerkmale der Modelle zur Bestimmung optimaler Losgrosse BearbeitenIn die Modellierung entsprechender Losgrossenprobleme konnen mehrere fur die Praxis relevante Parameter einfliessen 3 Informationsgrad Qualitat der in die Modellierung eingehenden Daten so aussern sich im Gegensatz zu deterministischen Informationen stochastische also Schwankungen unterworfene Daten in hoheren Lagerbestanden bzw Produktions bzw Rustzeiten Zeitliche Entwicklung mit statischer und dynamischer Nachfrage Wahl des Planungszeitraumes die bei der Planung zu berucksichtigende Weite des Planungshorizonts Insbesondere bei rollierender Planung geht man von endlichen Planungszeitraumen aus Dynamische Modelle gehen jedoch von unendlichem Planungshorizonten aus Anzahl der Produkte Umfang des Produktionsprogramms im Rahmen eines Einprodukt bzw Mehrproduktunternehmens Anzahl der Dispositionsstufen Tiefe der Produktionsstruktur mit einstufiger oder mehrstufiger Fertigung Beachtung von Kapazitaten kapazitive oder nicht kapazitive Betrachtung mit Einbeziehung von vorhandenen Ressourcen oder Finanzmittel Zu berucksichtigende Kosten Betrachtung von Rust Lager Produktionskosten Art der Produktweitergabe Art des Austausches von Losen zwischen einzelnen Stufen oder Zwischenlager Bei geschlossener Fertigung verlasst das komplette Los die letzte Produktionsstufe wahrend bei offener Fertigung bereits das erste fertiggestellte Stuck eines Loses weitergereicht werden kann Erzeugnisstruktur Art der Fertigung mit serieller konvergierender divergierender und genereller Fertigung Berucksichtigung von Fehlmengen Falls Fehlmengen erlaubt sind wird unterschieden zwischen Verzugsmengen die spater nachgeliefert werden und ganzlich verlorenen Auftragen Fertigungsgeschwindigkeit einfache Modelle gehen von unendlich hoher Fertigungsgeschwindigkeit aus komplexere von einer endlichen die meist als konstant angenommen wird Gegebenenfalls konnen auch reihenfolgeabhangige Rustzeiten berucksichtigt werden Ziele Die meisten Modelle versuchen die Gesamtkosten zu minimieren Manche Modelle beziehen sich aber auf die Maximierung des Servicegrades der Lieferbereitschaft oder auf eine moglichst gleichmassige Kapazitatsauslastung Arten BearbeitenEs gibt drei Hauptarten von Losgrossen 4 Statische Losgrossen Die Losgrossen sind festgelegt durch Kundenauftrag logistische Einheitsgrossen wie Container oder Transportbehalter oder statische Optimierungsverfahren 5 Periodische Losgrossen sind bestimmt durch den konstanten Verbrauch innerhalb einer Zeitspanne etwa Tagesverbrauch Wochenverbrauch Monatsverbrauch Die Klassische Losformel wurde 1928 von Kurt Andler vorgestellt 6 Dynamische Losgrossen sind nach okonomischen Optimierungsverfahren festgelegt und werden dauerhaft uberwacht 7 Stuck Periodenausgleichsverfahren gleitende wirtschaftliche Losgrosse Kostenausgleichsverfahren Groff Regel Sie nutzt die Tatsache dass nach der klassischen Losgrossenformel beim Kostenminimum zusatzlich anfallende Lagerkosten gleich der Los Fixkostenerparnis sind 8 Das Wagner Whitin Verfahren ist ein exaktes Stuckkostenverfahren das optimale Losgrossen bei dynamischen Bedarf bestimmt 9 Silver Meal Heuristik fur die Produktion werden Losgrossen ermittelt welche die Bedarfe abdecken und gleichzeitig die Gesamtkosten minimieren Optimierende Losgrossen erfordern eine Prozesskostenrechnung 10 Beim Zeitungsverkaufer Modell handelt es sich um ein stochastisches Bestandsmanagement bei dem die Fixkosten der Bestellung unberucksichtigt bleiben Taglich wird aufgrund der Nachfrage in der Vergangenheit entschieden wie hoch der Lagerbestand sein soll nicht verkaufte Mengen konnen nur noch an den Hersteller zu einem Rucknahmepreis zuruckgegeben werden 11 Das jeweilige Losgrossenverfahren steuert wie viele einzelne Bedarfsmengen zu einer Bestellmenge zusammengefasst werden Optimale Losgrosse BearbeitenDas Problem der optimalen Losgrosse wurde bereits 1915 von Ford W Harris behandelt 12 Die optimale Losgrosse L o s o p t displaystyle Los opt nbsp ergibt sich 13 L o s o p t p 2 M K B E L H S displaystyle Los opt sqrt vphantom p frac 2 cdot M cdot K B E cdot L HS nbsp Dabei sind M displaystyle M nbsp Jahresverbrauch Stuck E displaystyle E nbsp Einstandspreis pro Stuck L o s displaystyle Los nbsp Losgrosse L H S displaystyle L HS nbsp Kostensatz der Lagerhaltung in des Einstandspreises K B displaystyle K B nbsp Kosten je Beschaffungsvorgang Losgrossenmodelle BearbeitenLosgrossenmodelle konnen nach dem Informationsgrad der Durchlaufzeit der Produkte und der Maschinen klassifiziert werden 14 Statische LosgrossenverfahrenBei den statischen Losgrossenverfahren wird die Losgrosse ausschliesslich anhand von Mengenvorgaben aus dem jeweiligen Materialstammsatz gebildet Es gibt unterschiedliche Kriterien nach denen die Losgrosse berechnet werden kann Exakte Losgrosse Feste Losgrosse Auffullen bis zum Hochstbestand Bestellpunktdisposition mit oder ohne Berucksichtigung externer Bedarfe Periodische LosgrossenverfahrenBei den periodischen Losgrossenverfahren werden die Bedarfsmengen einer oder mehrerer Perioden zu einer Losgrosse zusammengefasst Die Anzahl der Perioden die zu einem Bestellvorschlag zusammengefasst werden sollen kann man beliebig festlegen Man unterscheidet Tageslosgrosse Wochenlosgrosse Monatslosgrosse Losgrossen nach flexiblen Periodenlangen analog zu Rechnungsperioden Periodenlosgrossen Optimierende LosgrossenverfahrenBei den optimierenden Losgrossenverfahren werden Bedarfsmengen mehrerer Perioden zu einer Losgrosse zusammengefasst wobei zwischen losgrossenfixen Kosten und Lagerhaltungskosten ein Kostenoptimum ermittelt wird Die verschiedenen Optimierungsverfahren unterscheiden sich nur in der Art des Kostenminimums Weitere Modelle BearbeitenStatisch deterministische Modelle Ein Produkt Bearbeiten Diesen Modellen ist gemein dass die Nachfrage konstant statisch und vorab bekannt deterministisch ist Grundmodell ist das unkapazitierte einstufige Einproduktmodell mit unendlicher Produktionsgeschwindigkeit Fur die Details des Grundmodells siehe Klassische Losformel Endliche Produktionsgeschwindigkeit Bearbeiten Als Kosten je Zeiteinheit ergeben sich 15 K t f t 1 2 l m a x c displaystyle K tau frac f tau frac 1 2 l mathrm max c nbsp mit l m a x displaystyle l mathrm max nbsp und t p displaystyle t p nbsp sind Hilfsgrossen t p q p displaystyle t p q p nbsp l m a x q t p b q 1 r b 1 r t displaystyle l mathrm max q t p b q 1 rho b 1 rho tau nbsp t displaystyle tau nbsp Zyklusdauer c displaystyle c nbsp Lagerhaltungskosten je Zeiteinheit f displaystyle f nbsp fixe Rustkosten je Rustvorgang b displaystyle b nbsp Bedarf pro Zeit Absatzgeschwindigkeit p displaystyle p nbsp Produktion pro Zeit Produktionsgeschwindigkeit q displaystyle q nbsp Losgrosse r b p displaystyle rho b p nbsp Belegungszeitanteil auf der MaschineAls Kosten ergeben sich somit K t f t 1 2 b 1 r t c displaystyle K tau frac f tau frac 1 2 b 1 rho tau c nbsp bzw K q f b q 1 2 q 1 r c displaystyle K q frac fb q frac 1 2 q 1 rho c nbsp Durch ableiten und Nullsetzen erhalt man die optimalen Grossen q 2 b f c 1 r displaystyle q sqrt frac 2bf c 1 rho nbsp bzw t 2 f c 1 r b displaystyle tau sqrt frac 2f c 1 rho b nbsp Weitere Verallgemeinerungen Bearbeiten Rabatte Es werden zwei verschiedene Auspragungen unterschieden Der Rabatt bezieht sich auf die gesamte Bestellmenge Bsp 5 Stuck ab einer Menge von 1000 Stuck 4 Stuck fur die gesamte Menge Der Rabatt bezieht sich auf alle Einheiten uber einer bestimmten Grenze Bsp 5 Stuck ab einer Menge von 1000 Stuck 4 Stuck fur die Menge die 1000 uberschreitet Fur beide Falle lasst sich im ersten Schritt fur die einzelnen Rabattstaffeln das Standardmodell anwenden mit entsprechenden minimalen Kosten Durch einen Vergleich der einzelnen Minima erhalt man das globale Minimum Sprungfixe Lagerkosten Veranderliche EinstandspreiseStatisch deterministische Modelle mehrere Produkte Bearbeiten Fur den Fall dass keine Kopplung zwischen den Produkten existiert ergibt sich die optimale Bestellpolitik aus der separaten Anwendung des Standardmodells auf die einzelnen Produkte Kopplungen ergeben sich beispielsweise durch Lose aus verschiedenen Produkten fur die die losfixen Kosten nur einmal anfallen Analog ist das Bestellmengenmodell mit Sammelbestellungen bei dem fur die Sammelbestellung nur einmal die Bestellfixen Kosten anfallen Ausserdem existieren Modelle mit Lagerkapazitatsbeschrankungen und Modelle bei denen alle Produkte auf einer Engpassmaschine zu fertigen sind 16 Letzteres ist als Problem optimaler Sortenschaltung bekannt 17 Beispielmodell Bearbeiten Ein einfaches Modell mit Kapazitatsbeschrankung sieht wie folgt aus 18 Die einzelnen Produkte werden in einem gemeinsamen Lager gelagert Die Kapazitat sei k displaystyle kappa nbsp m b j displaystyle b j nbsp sei der Bedarf des Produktes j 1 2 n displaystyle j 1 2 dots n nbsp in Mengeneinheiten pro Zeiteinheit ME ZE f j displaystyle f j nbsp fixe Losauflagekosten fixe Bestellkosten fur Produkt j c j displaystyle c j nbsp Lagerhaltungskosten fur Produkt j k j displaystyle k j nbsp Kapazitatsbedarf einer ME von Produkt j z B m an Stellflache w c j b j 2 displaystyle w c j b j 2 nbsp wird zur Vereinfachung der Darstellung benutztDie Zielfunktion ist min K q j 1 n b j q j f j 0 5 c j q j displaystyle min K q sum j 1 n b j q j f j 0 5c j q j nbsp Unter den Nebenbedingungen j 1 n q j k j k displaystyle sum j 1 n q j k j leqq kappa nbsp Im ungunstigsten Fall werden alle Lose zeitgleich aufgelegt Die Summe der noch zu bestimmenden Losgrossen muss also kleiner oder gleich der Lagerkapazitat k displaystyle kappa nbsp sein q j gt 0 displaystyle q j gt 0 nbsp Losung des Modells Bearbeiten Vernachlassigt man die Lagerkapazitat und wendet fur jedes Produkt die Formel des Standardmodells an so erhalt man als optimale Losgrosse bzw optimale Zyklusdauer q j e 2 b j f j c j und t f e q j e b j f j w j displaystyle q j e sqrt frac 2b j f j c j quad text und quad tau f e frac q j e b j sqrt frac f j w j nbsp Falls die Kapazitatsrestriktion erfullt ist hat man die optimale Losung gefunden Falls nicht so gilt j 1 n q j k j k displaystyle sum j 1 n q j k j kappa nbsp Die Lagerkapazitat wird also vollstandig genutzt Die optimale Losgrosse ergibt sich durch Lagrange Multiplikation mit der Kapazitatsrestriktion L q l j 1 n b j q j f j 0 5 c j q j l j 1 n q j k j k displaystyle L q lambda sum j 1 n b j q j f j 0 5c j q j lambda left sum j 1 n q j k j kappa right nbsp Leitet man nun nach q 1 q 2 q n displaystyle q 1 q 2 dots q n nbsp und l displaystyle lambda nbsp ab so erhalt man ein Gleichungssystem mit n 1 Gleichungen und Unbekannten Man erhalt q j 2 b j f j c j 2 l k j displaystyle q j sqrt frac 2b j f j c j 2 lambda k j nbsp die optimalen Lossgrossen in Abhangigkeit von l displaystyle lambda nbsp Diese kann man in die partiellen Ableitungen einsetzen und erhalt eine streng monotone Funktion die an einer Stelle den Wert k displaystyle kappa nbsp annimmt j 1 n k j 2 b j f j c j 2 l k j k displaystyle sum j 1 n k j sqrt frac 2b j f j c j 2 lambda k j kappa nbsp Diese Stelle lasst sich mit iterativen Verfahren wie dem Newton Verfahren bestimmen Statisch deterministische Modelle mit mehrstufiger Produktion Bearbeiten Bei mehrstufiger Produktion sind nicht nur fur jedes Produkt sondern auch fur jede Produktionsstufe Lossgrossen zu bilden Die Ausgestaltung eines konkreten Problems hangt stark von der Produktstruktur ab Bei konvergierender Struktur werden mehrere Einzelteile zu einem Gesamtprodukt zusammengefugt Bei divergierender Struktur werden aus einem Zwischenprodukt verschiedene Endprodukte hergestellt Mischungen konnen ebenfalls vorkommen 19 Dynamisch deterministische Modelle Bearbeiten Hauptartikel Dynamische Losgrossenermittlung Bei dynamisch deterministischen Modellen wird der Planungszeitraum in endlich viele gleich lange Perioden unterteilt wahrend die statisch deterministischen Modelle in der Regel von einem unendlich langen Planungszeitraum ausgehen Das Grundmodell von Wagner und Whitin teilweise auch Wagner Whitin Modell genannt behandelt nur ein Produkt mit nur einer Produktionsstufe ohne Kapazitatsgrenzen Es lasst sich mit der dynamischen Optimierung losen Es lasst sich als Warehouse Location Problem interpretieren Die Eroffnung eines Standortes entspricht dann der Auflage eines Losses und die Kunden entsprechen den einzelnen Perioden Der Wagner Whitin Algorithmus liefert ein optimales Ergebnis Ausserdem existieren noch einige Heuristiken 20 gleitende wirtschaftliche oder dynamische Losgrosse least unit cost method Stuckperiodenausgleich part period method Silver Meal Heuristik Verfahren von GroffStochastische Modelle Bearbeiten Stochastische Modelle gehen von zufallsbedingten Bedarfen aus Das bekannteste ist das Zeitungsjungen Modell Wirtschaftliche Aspekte BearbeitenDie in der Fachliteratur untersuchte optimale Losgrosse ist mit der optimalen Bestellmenge formal vergleichbar Mit steigenden Losgrossen ist ein zunehmender Lagerbestand verbunden der die Lagerkosten und den Zinsaufwand wegen der wachsenden Kapitalbindung und damit das Lagerrisiko erhoht Diese Kostensteigerungen wirken der Kostensenkung entgegen welche durch die Kostendegression einer zunehmenden Produktionsmenge Gesetz der Massenproduktion entsteht 21 Literatur BearbeitenWolfgang Domschke Armin Scholl Stefan Voss Produktionsplanung Ablauforganisatorische Aspekte 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Berlin u a 1997 ISBN 3 540 63560 2 Horst Tempelmeier Material Logistik Grundlagen der Bedarfs und Losgrossenplanung in PPS Systemen 3 vollstandig uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Berlin u a 1995 ISBN 3 540 58928 7 Sigfrid Gahse Lagerdisposition mit elektronischen Datenverarbeitungsanlagen Neue Betriebswirtschaft 18 Jg 1965 S 4Einzelnachweise Bearbeiten Gunter Wohe Ulrich Doring Einfuhrung in die Allgemeine Betriebswirtschaftslehre 25 Auflage 2013 S 304 ISBN 978 3800646876 Jorg Dittrich Peter Mertens Michael Hau Andreas Hufgard Dispositionsparameter in der Produktionsplanung mit SAP 2009 S 102 125 ISBN 978 3834895783 Wolfgang Domschke Armin Scholl Stefan Voss Produktionsplanung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage 1997 S 69 75 Lutz Schwalbach RPA Software Apps und IT Applikationen im Einkauf 2020 S 88 Karl Schaufelbuhl Matthias Blattner Walter Hugentobler Integrale Betriebswirtschaftslehre 2020 S 249 Kurt Andler Rationalisierung der Fabrikation und optimale Losgrosse 1929 S 48 ff Richard Vahrenkamp Produktionsmanagement 2008 S 154 f Carsten Schmidt Gunther Schuh Produktionsmanagement Band 5 2014 S 213 Carsten Schmidt Gunther Schuh Produktionsmanagement Band 5 2014 S 213 Lutz Schwalbach Optimierungen der Beschaffung 2019 S 90 f Ulrich Thonemann Operations Management 2009 S 209 Ford Whitman Harris Operations and Cost 1915 S 1 ff Karl Schaufelbuhl Matthias Blattner Walter Hugentobler Integrale Betriebswirtschaftslehre 2020 S 251 Armin Scholl Modellierung logistischer Systeme in Dieter Arnold Heinz Isermann Axel Kuhn Kai Furmans Horst Tempelmeiser Hrsg Handbuch Logistik 2008 S 36 ISBN 978 3540729280 Wolfgang Domschke Armin Scholl Stefan Voss Produktionsplanung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage 1997 S 79 81 Wolfgang Domschke Armin Scholl Stefan Voss Produktionsplanung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage 1997 S 84 Wolfgang Domschke Armin Scholl Stefan Voss Produktionsplanung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage 1997 S 90 Wolfgang Domschke Armin Scholl Stefan Voss Produktionsplanung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage 1997 S 87 89 Wolfgang Domschke Armin Scholl Stefan Voss Produktionsplanung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage 1997 S 103 Wolfgang Domschke Armin Scholl Stefan Voss Produktionsplanung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage 1997 S 115 128 Ludwig Pack Optimale Bestellmenge und optimale Losgrosse 1964 S 9Normdaten Sachbegriff GND 4036367 3 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Losgrosse amp oldid 239081948