www.wikidata.de-de.nina.az

Lippmann Schwinger Gleichung Die nach Bernard Lippmann und Julian Schwinger verwendet man in der quantenmechanischen Stö

Lippmann-Schwinger-Gleichung

Die Lippmann-Schwinger-Gleichung (nach Bernard Lippmann und Julian Schwinger) verwendet man in der quantenmechanischen Störungstheorie und speziell in der Streutheorie. Sie hat die Form einer Integralgleichung für die gesuchte Wellenfunktion und ist eine Alternative zur direkten Lösung der Schrödingergleichung, wobei die Randbedingungen in der Definition der verwendeten Greenschen Funktionen stecken.

In der quantenmechanischen Störungstheorie Bearbeiten

Allgemein wird in der Störungstheorie der Hamiltonoperator zerlegt in den „freien Hamiltonoperator“ , zu dem eine Lösung bekannt ist, und einen als kleine Störung behandelten Teil (Potential) :

Eigenfunktionen des freien Hamiltonoperators erfüllen die Gleichung

wobei der zugehörige Eigenwert ist.

Als „freie Greensche Funktion“ bezeichnet man einen Operator , für den gilt:

Dieser Operator ist also gewissermaßen eine Umkehrfunktion zum freien Hamiltonoperator. Eine mathematisch korrekte Darstellung erfordert die Betrachtung von als Distribution.

Nun werden in analoger Weise die unbekannten Eigenfunktionen des vollständigen Hamiltonoperators sowie seine Greensche Funktion definiert.

Damit gilt die Lippmann-Schwinger-Gleichung:

Diese Gleichung wird üblicherweise iterativ gelöst, wobei die Beschränkung auf die erste nichttriviale Ordnung als Bornsche Näherung bezeichnet wird.

In der Streutheorie Bearbeiten

Die Lippmann-Schwinger-Gleichung findet entsprechend vor allem in der Streutheorie Anwendung. Hierbei wird berechnet, wie sich die Wellenfunktion eines Teilchens bei der Streuung an einem Potential V ändert, wobei als freier Hamiltonoperator der kinetische Anteil für ein freies Teilchen verwendet wird:

mit dem Impulsoperator .

Zur Herleitung der Lippmann-Schwinger-Gleichung für ein stationäres Streuproblem geht man von der Schrödingergleichung aus:

mit

wobei zu beachten ist, dass es sich um eine elastische Streuung handelt, d. h. der Betrag des Impulsvektors wird nicht geändert: und für alle Vektoren .

Umgestellt und mit der Forderung ergibt sich:

Dies lässt sich mit der Methode der Greenschen Funktionen lösen:

Daraus ergibt sich die Lippmann-Schwinger-Gleichung der Streutheorie:

Hier wurde explizit die Ortsdarstellung gewählt.

Diese Gleichung lässt sich iterativ lösen, indem man auf der rechten Seite durch die bis dahin gewonnene Lösung ersetzt und als Startwert der Iteration etwa wählt:

Die erste Iteration

ist dann die bereits oben erwähnte Bornsche Näherung in Ortsdarstellung.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Bernard Lippmann und Julian Schwinger: Variational principles for scattering processes. I. In: Physical Review. Band 79, Nr. 3, 1950, S. 469–480, doi:10.1103/PhysRev.79.469. Gleichung 1.84 auf S. 475.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Lippmann Schwinger Gleichung nach Bernard Lippmann und Julian Schwinger verwendet man in der quantenmechanischen Storungstheorie und speziell in der Streutheorie 1 Sie hat die Form einer Integralgleichung fur die gesuchte Wellenfunktion ps displaystyle psi und ist eine Alternative zur direkten Losung der Schrodingergleichung wobei die Randbedingungen in der Definition der verwendeten Greenschen Funktionen stecken In der quantenmechanischen Storungstheorie BearbeitenAllgemein wird in der Storungstheorie der Hamiltonoperator H displaystyle H nbsp zerlegt in den freien Hamiltonoperator H 0 displaystyle H 0 nbsp zu dem eine Losung bekannt ist und einen als kleine Storung behandelten Teil Potential V displaystyle V nbsp H H 0 V displaystyle H H 0 V nbsp Eigenfunktionen ϕ 0 displaystyle phi 0 rangle nbsp des freien Hamiltonoperators erfullen die Gleichung E H 0 ϕ 0 0 displaystyle left E H 0 right phi 0 rangle 0 nbsp wobei E displaystyle E nbsp der zugehorige Eigenwert ist Als freie Greensche Funktion bezeichnet man einen Operator G 0 displaystyle G 0 nbsp fur den gilt G 0 E H 0 ϕ 0 ϕ 0 displaystyle G 0 left E H 0 right phi 0 rangle phi 0 rangle nbsp Dieser Operator ist also gewissermassen eine Umkehrfunktion zum freien Hamiltonoperator Eine mathematisch korrekte Darstellung erfordert die Betrachtung von G 0 displaystyle G 0 nbsp als Distribution Nun werden in analoger Weise die unbekannten Eigenfunktionen ps displaystyle psi rangle nbsp des vollstandigen Hamiltonoperators sowie seine Greensche Funktion G displaystyle G nbsp definiert Damit gilt die Lippmann Schwinger Gleichung ps ϕ 0 G 0 V ps displaystyle psi rangle phi 0 rangle G 0 V psi rangle nbsp Diese Gleichung wird ublicherweise iterativ gelost wobei die Beschrankung auf die erste nichttriviale Ordnung als Bornsche Naherung bezeichnet wird In der Streutheorie BearbeitenDie Lippmann Schwinger Gleichung findet entsprechend vor allem in der Streutheorie Anwendung Hierbei wird berechnet wie sich die Wellenfunktion eines Teilchens bei der Streuung an einem Potential V andert wobei als freier Hamiltonoperator der kinetische Anteil fur ein freies Teilchen verwendet wird H 0 p 2 2 m displaystyle hat H 0 frac hat mathbf p 2 2m nbsp mit dem Impulsoperator p displaystyle hat mathbf p nbsp Zur Herleitung der Lippmann Schwinger Gleichung fur ein stationares Streuproblem geht man von der Schrodingergleichung aus ℏ 2 2 m D V r ps k E k ps k displaystyle left frac hbar 2 2m Delta V vec r right psi k E k psi k nbsp mit der kinetischen Energie E k ℏ 2 k 2 2 m displaystyle E k frac hbar 2 vec k 2 2m nbsp eines freien Teilchens seiner Einschussrichtung k k displaystyle frac vec k k nbsp seiner Streurichtung k k r r n displaystyle frac vec k prime k frac vec r r vec n nbsp wobei zu beachten ist dass es sich um eine elastische Streuung handelt d h der Betrag des Impulsvektors wird nicht geandert k k displaystyle k prime k nbsp und fur alle Vektoren v v displaystyle vec v v nbsp Umgestellt und mit der Forderung E 0 displaystyle E geq 0 nbsp ergibt sich D k 2 ps k 2 m ℏ 2 V r ps k U r ps k displaystyle left Delta k 2 right psi k frac 2m hbar 2 V vec r psi k U vec r psi k nbsp Dies lasst sich mit der Methode der Greenschen Funktionen losen D k 2 ϕ 0 0 ϕ 0 1 2 p 3 2 e i k r D k 2 G r d r G r 1 4 p e i k r r ps k r ϕ 0 d 3 r G r r U r ps k r displaystyle begin aligned left Delta k 2 right phi 0 0 quad amp Rightarrow quad phi 0 frac 1 2 pi 3 2 e i vec k vec r left Delta k 2 right G vec r delta vec r quad amp Rightarrow quad G vec r frac 1 4 pi frac e ikr r psi k vec r phi 0 amp int d 3 vec r prime G vec r vec r prime cdot U vec r prime psi k vec r prime end aligned nbsp Daraus ergibt sich die Lippmann Schwinger Gleichung der Streutheorie ps k r 1 2 p 3 2 e i k r 2 m 4 p ℏ 2 d 3 r e i k r r r r V r ps k r displaystyle psi k vec r frac 1 2 pi 3 2 e i vec k cdot vec r frac 2m 4 pi hbar 2 int d 3 vec r prime cdot frac e ik vec r vec r prime vec r vec r prime V vec r prime psi k vec r prime nbsp Hier wurde explizit die Ortsdarstellung gewahlt Diese Gleichung lasst sich iterativ losen indem man auf der rechten Seite ps k r displaystyle psi k vec r nbsp durch die bis dahin gewonnene Losung ersetzt und als Startwert der Iteration etwa wahlt ps k 0 r ϕ 0 r displaystyle psi k 0 vec r phi 0 vec r nbsp Die erste Iteration ps k 1 r 1 2 p 3 2 e i k r 2 m 4 p ℏ 2 d 3 r e i k r r r r V r 1 2 p 3 2 e i k r displaystyle psi k 1 vec r frac 1 2 pi 3 2 e i vec k vec r frac 2m 4 pi hbar 2 int d 3 vec r prime cdot frac e ik vec r vec r prime vec r vec r prime V vec r prime frac 1 2 pi 3 2 e i vec k vec r prime nbsp ist dann die bereits oben erwahnte Bornsche Naherung in Ortsdarstellung Einzelnachweise Bearbeiten Bernard Lippmann und Julian Schwinger Variational principles for scattering processes I In Physical Review Band 79 Nr 3 1950 S 469 480 doi 10 1103 PhysRev 79 469 Gleichung 1 84 auf S 475 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lippmann Schwinger Gleichung amp oldid 188613443